1、完整word版静电场的对称性问题word文档良心出品docx静电场的对称性问题太原市十二中 姚维明对称性是事物具有的一种客观不变性。对称性也是物理现象和过程在一定变换条件下所保持的某种不变性，物理学中的对称性也具有普遍性，普遍存在于力，电，光，电磁感应等现象中，如力学中的对称性，电学中的对称性，光学中的对称性同时又各具特点。物理过程中的时间对称性和空间的对称性。物理量在空间分布上的对称及作用效果的对称性等。在物理学中，对称法解题是一种常用的方法，对称法解题具有简洁方便的特点。例题 1.库伦定律公式 Fk q1q2中的 r 是指两个点电荷之间的距离，对于不能视为点电荷的问r 2题，可以根据带电体
2、的对称性，由微元法，割补法等，运用的等效的思维去处理，化非点电荷为点电荷去处理，化非点电荷为点电荷，这样可使难点得以突破，公式得以运用，从而使问题迎刃而解。下文通过实际问题的解析，看化解的方法。一、场的对称性问题1半径为 R 的圆周上五个等距离的点上分别带有电荷量为q、 q、q、 q、 -q 的五个点电荷，求它们在圆心处的电场强度。-q解析：如图，在 A 点处先放置电荷量为q 的点电荷，由对称性知五个点电A荷在圆心处的合电场为零。 然后再在 A 点处放置电荷量为 -2q的点电荷， 它在q圆心处的电场为等效为 -2q 在圆心处产生的电场。q2q方向由圆心指向 A 。所以 E0 k2qqr2如图所
3、示，一个半径为R 的圆环均匀带电ab 为一段极小的缺口，缺口长为 L （ L R），圆环带的电荷量为 QL 在圆心处放置一带电量为q 的负点电荷，试求负点电荷受到的库仑力。解析：本题的带电圆环不能当做点电荷，学生往往找不到方法，我们可以先来讨论一个封闭的圆环的情况。如图所示，再换上任取对称的两点（或两小段）P，对点处的负电荷产生吸引力 FP，同样 Q 对 O 点处的负电荷产生吸引力FQ，这两个力大小相同，方向相反，合力为零。同理还可以取 PQ.等等相互对称的点，都具有相同的结论。而圆环正是由无数这样的点组成的，不难发现，在这样的圆环中心处的点电荷受力为零。再回到例题图，只有与 ab 缺口相对称
4、的一小段没有与之相对称的对象存在，因此处于 O 点处的点电荷受到的力就是与 ab 缺口相对称的一小段 ab(如图所示 )对它产生的吸引力 .A由于 ab 很短，可以将其视为点电荷，其带电荷量为QlQ (2 R L) R 2 ，Q1Q2Ql受力方向指向 ab.由库伦定律可得 F k(2 R L) R 2r 23一个半径为 R 的绝缘球壳上均匀地带有电荷电荷量为+的电荷，另一电荷量为 q 的点电荷放在球心 O 上，由于对称性，点电荷所受的力为零，现在球壳上挖去半径为r（ r R）的一个小圆孔 A ，此时置于球心的点电荷所受的电场力的大小为多少？（已知静电力常量为 k）,方向如何？1解析：挖去的小圆
5、面上带的电量qQr 2r 2Q .4 R 24R 2设想它仍在球面上原处，由于r E 1 B 项错， D 项对，正确的选项为D。对称解读：带电薄板和点电荷的电场都具有对称性。等量异号（或同号电荷）的电场具有对称性。带电量相等的异号带电粒子在同一电场中运动轨迹具有对称性。4带电量为 +q的点电荷与均匀带电薄板相距为2d，点电荷到带电薄板的垂线通过板的几何中心若图中 a点处的电场强度为零，根据对称性，带电薄板在图中b点处产生的电场强度大小为，方向(静电力恒量为 k)解析：均匀带电薄板在ab 两对称点处产生的电场强度大小相等、方向相反，具有对称性。点电荷+q 在 a 点处产生的电场强度由点电荷电场强
6、度公式可得 Eq=kq/d 2，方向向左。题述带电薄板和点电荷+q 在 a 点处的合电场强度为零，因此带电薄板在a 点处产生的电场强度为E=Eq=kq/d 2 ，方向垂直于薄板向右。根据对称性，带电薄板在b 点处产生的电场强度为 Eb=kq/d2，方向垂直于薄板向左。4如图所示，一块长金属板MN 接地，一带电量为+Q 的点电荷 A图 4与金属板之间的垂直距离为d，求 A 与板 MN 连线中点C 处的电场强度。1kQ/9d 2，方向向左。解析：因金属板 MN 接地，其电势为零，连线中点 C 处的电场与两个相距2d 的等量异种点电荷电场中距 +Q 为 d/2 处的电场强度相同，不妨用一个处在 +Q
7、 左侧距离为 2d 的点电荷 -Q 代替大金属板，根据点电荷电场强度公式，点电荷 +Q 在 C 处产生的电场强度为E1= 4kQ，方向向左；点电荷 -Q 在 C 处产生的电场强度为 E2= 4kQd 2，方向向左；9d 2A 与板 MN 连线中点 C 处的电场强度 E= E1+ E 2=4kQ/d 2+4kQ/9d 2=4.25如图 1 所示，匀强电场 E 的区域内，在 O 点放置一点电荷 Q.a、 b、 c、d、e、f 为以 O 为球心的 球 面 上 的 点 ， aecf 平 面 与 电 场 平 行 ， bedf 平 面 与 电 场 垂 直 ， 则 下 列 说 法 中 正 确 的 是( )A
8、 b、d 两点的电场强度相同B a 点的电势等于 f 点的电势C点电荷 q 在球面上任意两点之间移动时，电场力一定做功D 将点电荷 q 在球面上任意两点之间移动时，从 a 点移动到 c 点电势能的变化量一定最大解析： b、 d 两点的场强为 Q 产生的场与匀强电场 E 的合场强，由对称可知，其大小相等，方向不同， A 错误； a、 f 两点虽在 Q 所形电场的同一等势面上，但在匀强电场 E 中此两点不等势，故 B 错误；在 bedf 面上各点电势相同，点电荷 q 在 bedf 面上移动时，电场力不做功， C 错误；从a 点移到 c 点， Q 对它的电场力不做功，但匀强电场对 q 做功最多，电势
9、能变化量一定最大，故D 正确答案： D6如图甲所示， ab 是半径为 R 的圆的一条直径，该圆处于匀强电场中，场强为 E，在圆周平面内， 将一带正电 q 的小球从 a 点以相同的动能抛出， 抛出方向不同时，小球会经过圆周上不同的点，在这些所有的点中，到达 c 点时小球的动能最大已知 cab=300，若不计重力和空气阻力，试求：(1)电场方向与直径 ab 间的夹角 ；(2) 若小球在 a 点时初速度方向与电场方向垂直 ,小球恰好能落在 c 点，则初动能为多少 ?解析：由于从 a 点以相同的初动能沿不同方向抛出的小球到达圆周上的各点时，其中到达 c 点的小球动能最大，因此过 c 点的切线一定是等势
10、线，由此可以确定电场线的方向， 至于从 a 点垂直于电场线抛出的小球可以做平抛运动处理。（ 1）用对称性判断电场的方向：有题设条件，在圆周平面内，从 a 点以相同的动能向不同方向抛出带正电的小球， 小球会经过圆周上不同的点， 且以经过 c 点时小， 可知电场线平行于圆平面， 又根据动能定理， 电场力对到达c 点的小球做功最多为 qUac。因此 Uac 最大即 c 点的电势比圆周上任何一点的电势都低，又因为圆周平面处于匀强电场中，故连接Oc，圆周上各点的电势对于Oc 对称（或作过c 点且圆周相切的线cf 是等势线） Oc 方向即为电场方向 (如图乙所示 )，它与直径 ab 的夹角为 600(2)
11、小球在匀强电场中做类平抛运动小球沿垂直于电场方向抛出，设其初速度为v0，小球质量为m在垂直于电场线方向，有：3x v0t 在沿电场线方向，有 y 1 at 2 2由图中几何关系可得： x Rcos300 y R(1 十 cos600) 且： a = qE m将、式代入、两式解得： v02所以初动能：12qEREk0mv 0 =28设待求的电场强度为 E2，因为 E1+E2=0，可得2E2= E1= 9 10 N C负号表示 E2 与 E1 反向，背向球心向左。二、运动的对称性qER4m（ 1）类竖直上抛运动的对称性例 1、板长为 L 的平行金属板与水平面成 角放置，板间有匀强电场。一个带负电电
12、量为q 质量为 m 的液滴，以速度 V 0 垂直于电场方向射入两板间，如图甲，射入后液滴沿直线运动，两极板间的电场强度 E=，液滴离开电场时的速度为。分析与解答 液滴在电场中受到重力mg 和电场力 F 两个力的作用， 由于液滴沿直线运动，由直线运动的条件可知：两个力的合力必须与速度共线。所以电场力的方向是垂直金属板斜向上，如图乙，由几何关系可得：F=Eq=mgCos ，解得： E=mg cosq由动能定理可得： （注：电场力不做功）1 mv 21 mv02 ，解得： v=v02图乙-mgLSin =2gLSin22 注 解决液滴离开电场时的速度也可以采用牛顿第二定律和运动学公式求解：F 合 =
13、mgSin =ma，解得： a=gSin 由运动学公式： vt2-v02=2as 可得： v=v022gLSin练习 3.板长为 L 的平行金属板与水平面成 角放置，板间有匀强电场。一个带负电电量为q 质量为m 的液滴，以速度v0 垂直于电场方向射入两板间，如图甲，射入后液滴沿直线运动，两极板间的电场强度 E=，液滴离开电场时的速度为。v=v022gLSin练习 4.有两个完全相同的金属球A、 B，如图， B 球固定在绝缘地板上， A 球在离 B 球为 H 的正上方由静止释放下落，与B 球发生对心碰后回跳的高为h设碰撞中无动能损失，空气阻力不计()A 若 A、 B 球带等量同种电荷，则hHB
14、若 A、 B 球带等量同种电荷，则h=H4C若 A、 B 球带等量异种电荷，则 hHD若 A、 B 球带等量异种电荷，则 h=H练习 5如图所示，一个带负电的油滴质量为 m，带电量为 q，以初速 v0从 P 点倾斜向上进入水平方向的匀强电场中，初速度与电场的夹角为 。若电场足够大，求： （ 1）油滴沿原路返回出发点经过的时间。(2)油滴运动的最远路程。(3) 小球运动到最高点时其电势能与在O 点的电势能之差。1mv02 cos22练习 6. 一个带负电的小球，质量为M、电荷量为 q。在一个如图所示的平行板电容器的右侧板边被竖直上抛，最后落在电容器左侧边同一高度处，若电容器极板是竖直放置，两板间
15、距离为d，板间电压为 U，求电荷能达到的最大高度及抛出时的初速度。解：小球在竖方向做竖直上抛运动, 时间、速率对称等大。v02最大高度 H2g上升到最大高度所用的时间 t1v0gd1 a( 2t )21 qU ( 2t )222 mdv0mdg2qu（ 2）圆周运动的对称性1绝缘的半径为R 的光滑圆环，放在竖直平面内，环上套有一个质量为m，带电量为 -q 的小球，它们处在水平向右的匀强电场中，电场强度为E（如图所示），且 qE=mg，小环从水平直径上的B点由静止开始滑动，下列下列说法正确的是：A小球的最大动能在最低点B小球的最大速度在 CD 之间C小球运动的最高点在A 点D 小球运动的最高点在
16、AD 之间2如图，用细线栓一带负电小球在方向竖直向下的匀强电场中，在竖直面内做圆周运动，电场力大于重力，下列说法正确的是（）AA、小球到最高点A 时，细线张力一定最大B、小球到最低点B 时，细线张力一定最大?OC、小球到最低点B 时，小球线速度一定最大D、小球到最低点B 时，小球电势能一定最大B5（ 3）往复运动的对称性练习 1如图， AD 是电极板， BC 是有孔的金属棱柱筒。从 A 极释放的一个无初速度的电子向 B 板方向运动，（1）电子能否到达 D 极板？（2）电子将在 A、D 间做什么运动？（3）若电源电动势为 2U 、 3U 电子还能到达 D 板吗？（4）若 CD 间距加倍，电压还是
17、 U，电子能否运动到 D 极板？（4）交变电场按矩形方波规律变化的对称性例 1 如图 1 所示， A、 B 是一对平行的金属板，在两板间加上一周期为 T 的交变电压 U， A 板电势 UA=0， B 板的电势 UB随时间发生周期性变化，规律如图 2 所示，现有一电子从 A 板上的小孔进入两极板间的电场区内，设电子的初速度和重力的影响均可忽略。A若电子是在t=0 时刻进入的，它将一直向 B 板运动B若电子是在 t=T/8 时刻进入的，它可能时而向 B 板运动，时而向 A 板运动，最后打在 B 板上C若电子是在 t=3T/8 时刻进入的，它可能时而向 B 板运动，时而向 A 板运动，最后打在 B
18、板上D若电子是在 t=T/2 时刻进入的，它可能时而向 B 板运动，时而向 A 板运动解析： 由图 2 可知，平行金属板两极的电压大小不变，只是正负变化，故带电粒子进入电场中所受的电场力大小不变，只是方向变化，则其加速度也是大小不变，只是方向变化，因此，带电粒子在电场中时而作匀加速运动，时而作匀减速运动。当电子从 t=0 时刻进入，在 0T/2 内作匀加加速运动； 在 T/2 T 内作匀减速运动， 完成一个周期变化， 然后循环， 作出其速度图象， 如图 3 所示，由图可知位移一直为正值，则电子是一直向 B 板运动， A 选项正确当电子从 t=T/8 时刻进入，在T/8 T/2 内作匀加速运动；
19、在 T/2 T 内作匀减速运动， t=7T/8 时速度为零，然后反向作加速运动；在 T3T/2 内作加速运动，当 t=9T/8 时速度又为零，完成一个周期变化，然后循环，作出其速度图6象如图 4 所示，由图可知， 在 T/8 7T/8 内的位移大于 7T/8 9T/8 内的位移， 即电子而向 B 板运动，时而向 A 板运动， 但总体上向 B 板运动， 最终打在 B 板上， B 选项正确 当电子从 t=3T/8 时刻进入，在3T/8 T/2 内作匀加速运动；在 T/2 T 内作匀减速运动， t=5T/8 时速度为零，然后反向作加速运动；在 T3T/2 内作加速运动，当 t=11T/8 时速度又为
20、零，完成一个周期，然后循环，作出其速度图象如图 5 所示，由图可知，在 3T/8 8T/8 内的位移小于 9T/8 11T/8 内的位移，即电子而向 B 板运动，时而向 A 板运动，但总体上向 A 板运动，最终打不会打 B 板上， C 选项错误同理，当电子从 T/2 时刻进入，一开始就反方向作加速运动，根本就不可能进入极板间， D 选项错误，因此本题正确的选项为 A、 B。例2 如图 6 所示，是一个匀强电场的电场强度随时间变化的图象，在这个匀强电场中有一个带电粒子，在 t=0 时刻由静止释放，若带电粒子只受电场力作用，则电场力的作用和带电粒子的运动情况是（）A带电粒子将在电场中做有往复但总体
21、上看不断向前的运动B 0 3s 内，电场力的冲量为零，电场力做功不等于零C 3s 末带电粒子回到原出发点D 0 4s 内，电场力的冲量不等于零，而电场力做的功却为零解析： 此题与上题不同之处，就是电场力不仅方向变化，而且大小也变化设带电带正电，规定电场强度的正方向为正方向，则带电粒子在0 1 秒内向负方向作加速运动；在1 2 内带电粒子先作减速运动，加速度大小为0 1 秒内的2 倍，直线的斜率为原来的2 倍，则当 t=1 5 秒速度为零，然后，再沿正方向作加速运动，在第2秒末时的速度与第1 秒末速度大小相等，方向相反；在 2 3 秒内带电粒子先沿正方向作减速运动，当t=3 秒速度为零。 3 4
22、秒内再沿负方向作加速运动， 0 3 秒完成一个周期变化。运用周期性与对称性的特点是, 作出的速度图象如图7 所示。由图可知， 0 3 秒内的位移为零，则3 秒末带电粒子回到出发点，电场力做功等于零，电场力的冲量为零，带电在电场中来回的往复运动；0 4秒内，位移不为零，则电场力做的功不为零，4 秒末的速度不为零，则电场力的冲量不等于零，因此本题正确的选项为C。（ 5）交变电场按正弦（或余弦）规律变化例 3 在平行板电容器的正中央有一电子处于静止状态，第一次电容器极板上加的电压是u1=Umsin t ，第二次极板上加的电压是 u2=Umcos t ，那么在电场力的作用下（假设交变电流的频率很高，极
23、板间的距离较宽）A两次电子都做单向直线运动B两次电子都做振动C第一次电子做单向直线运动，第二次电子做振动D第一次电子做振动，第二次电子做单向直线运动7解析： 此题与上例不同之处就是，由于加在电容器极板上的电压按正弦或余弦规律变化，故电子所受的电场力和产生的加速度亦是按正弦或余弦规律变化， 不是按线性规律变化。 如图 8 所示，当第一次电容器极板上加的压是 u1=Umsin t 时，在 0 T/4 内，电子作加速度逐渐增大的加速运动，速度达到 V1；在 T/4 T/2 内，电子继续作加速度逐渐减小的加速运动，速度达到最大 V2；在 T/2 3T/4 内，电子作加速度大小逐渐增大的减速运动， 由对
24、称性可知， 当 t=3T/4 时速度减到 V1；在 3T/4 T 内，电子继续作加速度大小逐渐减小的减速运动，由对称性可知，当 t=T 时速度为零，完成一个周期性变化，其速度图象如图 9 所示。由图可知，在一个周期 T 内位移为某一正值，故电子做单向直线运动。当第二次极板上加的电压是 u2=Umcos t 时，如图 10 所示，在 0T/4 内，电子作加速度逐渐减小的加速运动，当 t=T/4 时速度达到 V1；在 T/4 T/2 内，电子继续作加速度大小逐渐增大的减速运动，由对称性可知，当 t=T/2 时速度为零；在 T/2 3T/4 内，电子朝反方向作加速度逐渐增大的加速运动，由对称性可知，当 t=3T/4 时速度大小达到 V1；在 3T/4 T 内，电子作加速度大小逐渐减小的减速运动，由对称性可知，当 t=T 时速度为零，
