1、备战高考技巧大全之高中数学黄金解题模板专题02 常见函数值域或最值的经典求法解析版【高考地位】函数值域是函数概念中三要素之一,是高考中必考内容,具有较强的综合性,贯穿整个高中数学的始终.而在高考试卷中的形式可谓千变万化,但万变不离其宗,真正实现了常考常新的考试要求.所以,我们应该掌握一些简单函数的值域求解的基本方法.【方法点评】方法一 观察法解题模板：第一步 观察函数中的特殊函数； 第二步 利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域.例1 求函数的值域.【解析】由函数，则：定义域为： 得：， 值域为：。【变式演练1】求函数的值域.【解析】2x0，082x802故函数的值域是.方法二
2、分离常数法解题模板：第一步 观察函数类型，型如； 第二步 对函数变形成形式； 第三步 求出函数在定义域范围内的值域，进而求函数的值域.例2 求函数的值域.【变式演练2】求函数的值域. 方法三 配方法解题模板：第一步 将二次函数配方成； 第二步 根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域. 例3 求函数的值域.【变式演练3】已知函数的定义域是，值域为，则的取值范围是（ ）A B C D 【答案】C【解析】试题分析：因二次函数的对称轴为,且时,函数值,当时, ,因此当时,.故当,故应选C.考点：二次函数的图象和性质.方法四 反函数法解题模板：第一步 求已知函数的反函数； 第二步 求反函数的定义域；
3、 第三步 利用反函数的定义域是原函数的值域的关系即可求出原函数的值域例4 设为，的反函数，则的最大值为 【答案】【变式演练4】求函数的值域.方法五 换元法解题模板：第一步 观察函数解析式的形式，函数变量较多且相互关联； 第二步 另新元代换整体，得一新函数，求出新函数的值域即为原函数的值域.例5 求函数的值域.例6 求函数的值域.【解析】令，原函数化为，其开口向下，并且对称轴是，故当时取得最大值为，没有最小值，故值域为. 例7 求函数，的值域.【变式演练5】 若求函数的值域.方法六 判别式法解题模板：第一步 观察函数解析式的形式，型如的函数； 第二步 将函数式化成关于的方程，且方程有解，用根的判
4、别式求出参数的取值范围， 即得函数的值域. 例9 求函数的值域.【变式演练6】求函数的值域.【解析】，当时方程有解，当时由可得，综上可知值域为.方法七 基本不等式法解题模板：第一步 观察函数解析式的形式，型如或的函数； 第二步 对函数进行配凑成形式，再利用基本不等式求函数的最值，进而得到函数的值域.例10 已知，求函数 的最小值.例11 已知函数，求的值域.【解析】，所以的值域为. 【变式演练7 】 求函数的最小值.【变式演练8】 若函数的值域为，则函数的值域是（ ）A B C D 【答案】B【解析】考点：函数的性质；基本不等式.方法八 单调性法解题模板：第一步 求出函数的单调性； 第二步 利
5、用函数的单调性求出函数的值域.例 12 求函数的值域.【点评】本题先利用复合函数的单调性确定了函数的单调区间，从而得到函数的最大值和最小值，得到函数的值域.例13 求函数的值域.【点评】（1）如果能确定函数的单调性时，可以使用函数的单调性求函数的值域.（2）本题中利用了这样一个性质：增（减）函数+增（减）函数=增（减）函数.（3）本题都是增函数，利用到了复合函数的单调性.【变式演练10】 求函数的值域.【变式演练11】 求函数的值域.【解析】由，解得，在此定义域内函数是单调递减，所以当时，函数取得最小值，所以函数的值域是.方法九 数形结合法解题模板：第一步 作出函数在定义域范围内的图像； 第二
6、步 利用函数的图像求出函数的值域.例14 如图，三地有直道相通，千米，千米，千米.现甲、乙两警员同时从地出发匀速前往地，经过小时，他们之间的距离为（单位：千米）.甲的路线是，速度为5千米/小时，乙的路线是，速度为8千米/小时.乙到达地后原地等待.设时乙到达地. （1）求与的值； （2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当时，求的表达式，并判断在上得最大值是否超过3？说明理由.【答案】（1），千米；（2）超过了3千米.【考点定位】余弦定理的实际运用，函数的值域.【名师点睛】分段函数是一类重要的函数模型解决分段函数问题，关键抓住在不同的段内研究问题，分段函数的值域，先求各段函数的值域，再求并
7、集.例15 求函数的值域.【点评】（1）对于某些具有明显几何意义的函数，我们可以利用数形结合的方法求该函数的值域.先找到函数对应的形态特征，再求该函数的值域.（2）由于对应着两点之间的斜率（差之比对应直线的斜率），所以本题可以利用斜率分析解答. 例16 求函数的值域.【解析】由得,所以函数的定义域是，设点， ，所以,所以答案填：.【点评】要迅速地找到函数对应的形，必须注意积累.这样才能提高解题的效率. 例17 某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗原料1千克、原料2千克；生产乙产品1桶需耗原料2千克，原料1千克.每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这
8、两种产品的计划中，要求每天消耗、原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ）A、1800元 B、2400元 C、2800元 D、3100元【变式演练12】 定义运算：例如，则函数的值域为（ ）A B C D 【答案】D【解析】试题分析：在平面直角坐标系中画出函数的图象,结合图象可以看出其值域为,故应选D.考点：正弦函数和余弦函数的图象和性质方法十 导数法解题模板：第一步 利用函数的导数求函数在定义域内的单调性； 第二步 利用函数的图像求出函数的值域.例18 函数，则的值域.【解析】在上是增函数，,故的值域. 【变式演练13】求函数在区
9、间上的值域.【高考再现】1. 【2019，安徽理9】若函数的最小值为3，则实数的值为 （ ） A5或8 B或5 C或 D或8【答案】D【解析】考点：函数的最值【名师点睛】对于含绝对值的不等式或函数问题，首先要考虑的是根据绝对值的意义去绝对值.常用的去绝对值方法是零点分段法，特别是用于多个绝对值的和或差的问题，另外，利用绝对值的几何意义解题会加快做题速度.本题还可以利用绝对值的几何意义进行求解.2. 【2019上海,理18】若是的最小值，则的取值范围为（ ）. (A)-1,2 (B)-1，0 (C)1，2 (D) 【答案】D【解析】由于当时，在时取得最小值，由题意当时，应该是递减的，则，此时最小
10、值为，因此，解得，选D【考点】分段函数的单调性与最值问题【名师点睛】(1)根据分段函数解析式求函数值首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解(2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围3 【2019高考重庆理第12题】函数的最小值为_.【答案】考点：1、对数的运算；2、二次函数的最值.【名师点睛】本题考查了对数运算，二次函数，换元法，配方法求最值，本题属于基础题，注意函数的定义域.4. 【2019福建,理13】要制作一个容器为4，高为的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方
11、米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_（单位：元）【答案】88【解析】试题分析：假设底面长方形的长宽分别为,. 则该容器的最低总造价是.当且仅当的时区到最小值.考点：函数的最值.【名师点睛】本题主要考查函数的应用及基本不等式，解决此题的关键是先求出函数解析式，再利用基本不等式求最值，在利用基本不等式求最值时,一定要紧扣“一正、二定、三相等”这三个条件,注意创造“定”这个条件时常要对所给式子进行拆分、组合、添加系数等处理,使之可用基本不等式来解决,若多次使用基本不等式,必须保持每次取等的一致性.5【2019高考重庆理第16题】若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是_.
12、【答案】【解析】试题分析：令，其图象如下所示（图中的实线部分）考点：1、分段函数；2、等价转换的思想；3、数形结合的思想.【名师点睛】本题考查了绝对值不等式，绝对值的性质，分段函数的图象，数形结合法，不等式的恒成立，属于基础题6 【2019高考北京，理14】设函数若，则的最小值为 ；若恰有2个零点，则实数的取值范围是 【答案】(1)1，(2)或.若函数与轴有无交点，则函数与轴有两个交点，当时与轴有无交点，在与轴有无交点，不合题意；当时，与轴有两个交点，和，由于，两交点横坐标均满足；综上所述的取值范围或.考点定位：本题考点为函数的有关性质，涉及函数图象、函数的最值，函数的零点、分类讨论思想解【名
13、师点睛】本题考查函数图象与函数零点的有关知识，本题属于中等题，第一步正确画出图象，利用函数图象研究函数的单调性，求出函数的最值，第二步涉计参数问题，针对参数进行分类讨论，按照题目所给零点的条件，找出符合零点要求的参数，讨论要全面，注意数形结合7. 【2019高考浙江，理10】已知函数，则 ，的最小值是 【答案】，.【解析】，当时，当且仅当时，等号成立，当时，当且仅当时，等号成立，故最小值为.【考点定位】分段函数【名师点睛】本题主要考查分段函数以及求函数的最值，属于容易题，在求最小值时，可以求每个分段上的最小值，再取两个最小值之中较小的一个即可，在求最小值时，要注意等号成立的条件，是否在其分段上
14、，分段函数常与数形结合，分类讨论等数学思想相结合，在复习时应予以关注.8. 【2019高考福建，理14】若函数（且）的值域是，则实数的取值范围是 【答案】【考点定位】分段函数求值域【名师点睛】本题考查分段函数的值域问题，分段函数是一个函数，其值域是各段函数值取值范围的并集，将分段函数的值域问题转化为集合之间的包含关系，是本题的一个亮点，要注意分类讨论思想的运用，属于中档题9. 【2019高考山东，理14】已知函数的定义域和值域都是，则 .【答案】 【考点定位】指数函数的性质.【名师点睛】本题考查了函数的有关概念与性质，重点考查学生对指数函数的性质的理解与应用，利用方程的思想解决参数的取值问题，
15、注意分类讨论思想方法的应用.10 【2019高考浙江，理18】已知函数，记是在区间上的最大值.（1）证明：当时，；（2）当，满足，求的最大值.【答案】（1）详见解析；（2）.试题分析：（1）分析题意可知在上单调，从而可知，分类讨论的取值范围即可求解.；（2）分析题意可知，再由可得，即可得证.【考点定位】1.二次函数的性质；2.分类讨论的数学思想.【名师点睛】本题主要考查了二次函数的性质以及分类讨论的数学思想，属于中档题，以二次函数或指对函数为背景的函数综合题是今年数学考试说明调整之后的热点题型，创新题，亮点问题常源于此，通常会结合函数与方程，不等式，化归，分类讨论的数学思想，数形结合的数学思想等知识点，综合考查学生的逻辑推理
