1、工程制图基础第1章 点、直线、平面的投影在工程图样中，为了在平面上表达空间物体的形状，广泛采用投影的方法。本章介绍投影法的基本概念和如何在平面上表示空间几何要素（点、直线和平面）的方法。1.1 投影法的基本知识在日常生活中，物体在光线的照射下，就会在地面或墙壁上产生一个物体的影子。人们根据这一自然物理现象，创造了用投影来表达物体形状的方法，即：光线通过物体向选定的面投射，并在该面上得到图形,这种现象就叫投影（projection）。这种确定空间几何元素和物体投影的方法，称为投影法（projection method）。投影法通常分为中心投影法（perspective projection me
2、thod）和平行投影法(parallel projection method)两种。1.1.1 中心投影法如图1-1所示，设一平面P（投影面）与光源S（投影中心）之间，有一个ABC（被投影物）。经投影中心S分别向ABC顶点A、B、C各引一直线SA、SB、SC（称为投射线），并与投影面P交于a、b、c三点。则a、b、c三点就是空间A、B、C三点在P平面上的投影，abc就是空间ABC 在P平面上的投影。图1-1 中心投影法这种投射线汇交于一点的投影方法称为中心投影法。中心投影法的投影中心位于有限远处，该投影法得到的投影图形称为中心投影。由于中心投影法得到的物体投影的大小与物体的位置有关，如果改变物
3、体（ABC）与投影中心（S）的距离，投影（abc）的大小也随之改变，即不能反映空间物体的实际大小。因此，中心投影法通常不用于绘制机械图样，而用于建筑物的外观透视图等。1.1.2 平行投影法如图1-2所示，若将投影中心S沿一不平行于投影面的方向移到无穷远处，则所有投射线将趋于相互平行。这种投射线相互平行的投影方法，称为平行投影法。平行投影法的投影中心位于无穷远处，该投影法得到的投影图形称为平行投影。投射线的方向称为投影方向。由于平行投影法中，平行移动空间物体，即改变物体与投影面的距离时，它的投影的形状和大小都不会改变。平行投影法按照投射线与投影面倾角的不同又分为正投影法（Orthogonal m
4、ethod）和斜投影法（Oblique projection method）两种：当投影方向（即投射线的方向）垂直于投影面时称为正投影法，如图1-2(a)所示；当投影方向倾斜于投影面时称为斜投影法，如图1-2(b)所示。正投影法得到的投影称为正投影，斜投影法得到的投影称为斜投影。(a) 正投影法 (b) 斜投影法图1-2 平行投影法正投影法是机械图样绘制中最常用的一种方法。本教材后续章节中提及的投影，若无特殊说明，均指正投影。1.2 点 的 投 影点(point)是构成形体最基本的几何元素,一切几何形体都可看作是点的集合。点的投影(point projection)是线(line)、面(sur
5、face)、体（body）的投影基础。1.2.1 点的单面投影如图1-3所示，已知投影面P和空间点A，过点A作P平面的垂线（投射线），得唯一投影a。反之，若已知点的投影a，就不能唯一确定A点的空间位置。也就是说，点的一个投影不能确定点的空间位置，即：单面投影不具有“可逆性”。因此，常将几何形体放置在相互垂直的两个或三个投影面之间，然后向这些投影面作投影，形成多面正投影。图1-3 点的单面投影及其空间位置关系1.2.2 点的两面投影如图1-4(a)所示，设置两个互相垂直的平面为投影面（projection plane）,其中一个是正立投影面（vertical projection plane）用
6、V表示，另一个是水平投影面（horizontal projection plane）用H表示，V面和H面组成两投影面体系。两投影面的交线为投影轴（projection axis）用OX表示。(a) 立体图 (b) 投影面展开后 (c) 投影图图1-4 点在V、H两面体系中的投影在两面投影体系中，设一空间点A，从A点分别向H面、V面作垂线（投射线），其垂足分别是点A的水平投影a和正面投影a。由于AaV、AaH，故投射面AaaOX轴并交于点aX，因此，aaXOX、aaXOX。如图1-4(a)中A点投影a、a分别在H面、V面上，要把两个投影表示在一个平面上，按照国家制图标准规定：V面不动，将H面绕O
7、X轴、按图1-4(a)中所示箭头的方向，自前向下旋转90与V面重合，如图1-4(b)所示，称为点的两面投影图。由于投影面是无限的，故在投影图上通常不画出它的边框线，这样便得到如图1-4(c)所示的点的两面投影图。从图1-4(a)和图1-4(c)，根据立体几何知识，可以知道平面AaaXa为一矩形，展开后aa形成一条投影连线并与OX轴交于点aX，且aaOX轴。同时，aaX=Aa，反映点A到H面的距离；aaX=Aa，反映点A到V面的距离。这里需要说明的是：规定空间点用大写字母表示（如A），点的水平投影用相应的小写字母表示（如a），点的正面投影用相应的小写字母并在右上角加一撇表示（如a）。从上面可以概
8、括出点的两面投影特性：（1）点的水平投影与正面投影的连线垂直于OX轴，即：aaOX；（2）点的正面投影到OX轴的距离等于点到H面的距离，点的水平投影到OX轴的距离等于点到V面的距离，即：aaX=Aa，aaX=Aa。1.2.3 点的三面投影虽然点的两面投影已能确定该点的位置，但为了更清楚地图示某些几何形体，在两投影面体系的基础上，再增加一个与V面、H面都垂直的侧立投影面（profile projection plane）, 用W表示，如图1-5(a)所示。三个投影面之间两两相交产生三条交线，即三条投影轴OX、OY、OZ，它们相互垂直并交于O点，形成三投影面体系。(a) 立体图 (b) 投影面展开
9、后 (c) 投影图图1-5 点在V、H、W三面体系中的投影如图1-5(a)所示：从A向W面作垂线（投射线），垂足即为A点的侧面投影，记作a。这里需要指出的是，规定点的侧面（W面）投影用空间点的相应小写字母右上角加两撇表示。在三投影面体系中，三条投射线每两条可以确定一个投射面，即平面Aaa、Aaa、Aaa,它们分别与三投影轴OX、OY、OZ交于点aX、aY、aZ。为了将三个投影a、a、a表示在一个平面上，参照两面投影体系，根据国家制图标准规定：V面不动，H面、W面按图1-5(a)中箭头所示方向分别绕OX轴自前向下旋转90、绕OZ轴自前向右旋转90。这样，H面、W面与V面就重合成一个平面。这里投影
10、轴OY被分成YH、YW两支，随H面旋转的OY轴用OYH表示，随W面旋转的OY轴用OYW表示，且OY轴上的aY点也相应地用aYH、aYW表示，如图1-5(b)。与两面投影体系一样，投影图上不画边框线，得到空间点A在三投影面体系中的投影图，如图1-5(c)。在投影图中，OY轴上的点aY因展开而分成aYH、aYW。为了方便作图，可以过O点作一条45的辅助线，aaYH、aaYW的延长线必与该辅助线相交于一点。从图1-5(a)和图1-5(c)，同样，根据立体几何知识，可知：展开后aa形成一条投影连线并与OZ轴交于点aZ，且aaOZ轴。同时，aaX=aaYW=Aa，反映点A到H面的距离；aaZ=aaYH=
11、Aa，反映点A到W面的距离；aaZ=aaX=Aa，反映点A到V面的距离。从上面可以概括出点的三面投影特性：（1）点的投影连线垂直于相应的投影轴，即：aaOX，aaOZ；（2）点的投影到相应投影轴的距离等于点到相应投影面的距离，即：aaX =aaYW=Aa，aaZ=aaYH=Aa，aaZ =aaX=Aa。利用点在三投影面体系中的投影特性，只要知道空间一点的任意两个投影，就能求出该点的第三面投影（简称为二求三）。1.2.4 点的三面投影与直角坐标的关系如图1-6(a)，若将三投影面当作三个坐标平面，三投影轴当作三坐标轴，三轴的交点O作为坐标原点，则三投影面体系便是一个笛卡儿空间直角坐标系。因此，空
12、间点A到三个投影面的距离，也就是A点的三个直角坐标X、Y、Z。即，点的投影与坐标有如下关系：点A到W面的距离Aa=aaZ=aaYH=OaX=XA；点A到V面的距离Aa=aaZ=aaX=Oay=YA；点A到H面的距离Aa=aaX=aaYW=OaZ=ZA。由此可见，若已知A点的投影（a、a、a），即可确定该点的坐标，也就是确定了该点的空间位置，反之亦然。从图1-6(b)可知，点的每个投影包含点的两个坐标，点的任意两个投影包含了点的三个坐标，所以，根据点的任意两个投影，也可确定点的空间位置。(a) 立体图 (b) 投影图图1-6 点的三面投影与直角坐标【例】 已知A点的直角坐标为（15，10，20）
13、，求点A的三面投影（图样中的尺寸单位为mm时，不需标注计量单位）。解 步骤如下：（1）作相互垂直的两条细直线为投影轴，并且过原点O作一条45辅助线平分YHOYW。依据XA = OaX，沿OX轴取OaX=15mm，得到点aX，如图1-7(a)；（2）过点aX作OX轴的垂线，在此垂线上，依据ZA=aa X，从aX向上取aaX =20mm，得到点A的正面投影a；依据YA=aaX，从aX向下取aXa=10mm，得到点A的水平投影a，如图1-7(b)；（3）现已知点A的两面投影a 、a，可求第三投影。即：过a作直线垂直于OYH并与45辅助线交于一点，过此点作垂直于OYW的直线，并与过a所作OZ轴的垂线a
14、aZ的延长线交于a，a即为点A侧面投影，如图1-7(c)。(也可不作辅助角平分线，而在aaZ的延长线上直接量取aZa= aaX而确定a)。(a) (b) (c)图1-7 由点的坐标求其投影1.2.5 两点的相对位置及重影点1. 两点的相对位置空间两点的相对位置，是指它们之间的左右、前后、上下的位置关系，可以根据两点的各同面投影之间的坐标关系来判别。其左右关系由两点的X坐标差来确定，X值大者在左方；其前后关系由两点的Y坐标差来确定，Y值大者在前方；其上下关系由两点的Z坐标差来确定，Z值大者在上方。在图1-8(a)中，可以直观地看出A点在B点的左方、后方、下方。在图1-8(b)中，也可从坐标值的大
15、小判别出同样的结论。(a) 立体图 (b) 投影图图1-8 两点的相对位置2. 重影点(overlapping points)若空间的两点位于某一个投影面的同一条投射线上，则它们在该投影面上的投影必重合，这两点称之为对该投影面的重影点。重影点存在着在投影重合的投影面上的投影有一个可见，而另一个不可见的问题。如图1-9(a)，A、B两点的水平投影重合，沿水平投影方向从上往下看，先看见A点，B点被A点遮住，则B点不可见。在投影图上若需判断可见性，应将不可见点的投影加圆括号以示区别，如图1-9(b)。需要指出的是空间两点只能有一个投影面的投影重合，重影点的可见性判断方法如下：（1）若两点的水平投影重
16、合，称为对H面的重影点，且Z坐标值大者可见；（2）若两点的正面投影重合，称为对V面的重影点，且Y坐标值大者可见；（3）若两点的侧面投影重合，称为对W面的重影点，且X坐标值大者可见。上述三原则，也可概括为：前遮后，上遮下，左遮右。(a) 立体图 (b) 投影图图1-9 重影点及可见性1.3 直线的投影空间任意两点确定一条直线，因此，直线的投影(line projection)就是直线上两点的同面投影（同一投影面上的投影）的连线。需要注意的是直线的投影线（空间直线在某个投影面上的投影）规定用粗实线画。如图1-10所示，直线的投影一般仍为直线（如图中直线CE），但在特殊情况下，当直线垂直于投影面时，
17、其投影积聚为一点（如图中直线AB）。此外，点相对于直线具有从属性，如图中D点属于CE，则同面投影中，d属于ce。图1-10 直线的投影1.3.1 各种位置的直线在三面投影体系中，直线相对于投影面的位置有三种：投影面的平行线、投影面的垂直线、一般位置直线。前两种又统称为特殊位置直线。另外，根据国家标准规定：空间直线与投影面的夹角称为直线对投影面的倾角，且直线与H、V、W三个投影面的夹角依次用 、 、 表示。1. 投影面的平行线(parallel line of projection plane)平行于某一投影面而倾斜于另两投影面的直线，称为投影面的平行线。根据直线所平行的投影面的不同，又可分为：
18、水平线（horizontal line）平行于H面，倾斜于V、W面的直线；正平线（frontal line）平行于V面，倾斜于H、W面的直线；侧平线（profile line）平行于W面，倾斜于V、H面的直线。表1-1列出了这三种平行线的立体图、投影图及其投影特性。表1-1 投影面的平行线从表1-1可以概括出投影面平行线的投影特性：（1）直线平行于某投影面，则直线在该投影面的投影反映实长，且该投影与投影轴的夹角，分别反映直线对另外两投影面的真实倾角。（2）直线另两个投影面的投影平行于相应的投影轴，且不反映实长，比实长短。2. 投影面的垂直线(vertical line of projectio
19、n plane)垂直于某一投影面（必与另外两个投影面平行）的直线，称为投影面的垂直线。根据直线所垂直的投影面的不同，又可分为： 铅垂线（vertical line）垂直于H面，平行于V、W面的直线；正垂线（horizontal-profile line）垂直于V面，平行于H、W面的直线；侧垂线（frontal-profile line）垂直于W面，平行于V、H面的直线。表1-2列出了这三种垂直线的立体图、投影图及其投影特性。表1-2 投影面的垂直线从表1-2可以概括出投影面垂直线的投影特性：（1）直线在它所垂直的投影面上的投影积聚为一点。（2）直线另两个投影面的投影垂直于相应的投影轴，并反映实
20、长。3. 一般位置直线(general position line)倾斜于各投影面的直线，称为一般位置直线。如图1-11(a)所示，空间直线AB对三个投影面都是倾斜关系，则直线的三面投影分别为ab=ABcos , ab=ABcos , ab=ABcos ，均小于实长AB。图1-11(b)为直线AB的三面投影图，其投影特性是：（1）三面投影都倾斜于投影轴，且投影长度小于空间直线的实长。（2）投影与投影轴的夹角，不反映空间直线对投影面的倾角。(a) 立体图 (b) 投影图图1-11 一般位置直线的投影1.3.2 两直线的相对位置空间两直线的相对位置关系有三种：平行（parallel）、相交（int
21、ersection）和交叉（cross）。其中平行和相交属于共面直线，交叉是异面直线。1. 平行两直线若空间两直线相互平行，则它们的同面投影必相互平行。如图1-12(a)，空间两直线ABCD，因为两投射平面ABbaCDdc，所以在H面上的投影abcd。同理，可以得到abcd，abcd，如图1-12(b)。反之，若两空间直线的同面投影是相互平行的，则该两直线在空间是平行关系。(a) 立体图 (b) 投影图图1-12 平行两直线2. 相交两直线若空间两直线相交，则它们的同面投影必相交，且其交点符合点的投影规律。如图1-13(a)，空间两直线AB、CD相交于点K，因交点K在两直线上，故其投影也应在两
22、直线的同面投影线上。因此，空间相交两直线的同面投影一定相交，且交点的投影符合点的投影规律，如图1-13(b)。反之，若空间两直线的同面投影相交，且交点的投影符合点的投影规律，则该两直线在空间必定是相交关系。(a) 立体图 (b) 投影图图1-13 相交两直线3. 交叉两直线空间两直线既不平行又不相交的是交叉直线。交叉两直线的同面投影可能相交，如图1-14(a)，但投影交点是两直线对该投影面的一对重影点，图中ab与cd的交点，分别对应AB上的点和CD上的点，按重影点可见性的判别规定，对于不可见点的投影加括号表示。交叉两直线同面投影的交点不符合点的投影规律，如图1-14(b)。(a) 立体图 (b
23、) 投影图图1-14 交叉两直线【例】已知如图1-15(a)所示两侧平线，判断其是否平行。分析：两直线处于一般位置时，只要其任意两面投影相互平行，即可判断空间两直线相互平行。但是，当两直线同时平行于某一投影面时，则要检验两直线在所平行的投影面上的投影是否平行，才可判断空间两直线是否平行。如图1-15(b)，虽然abcd、abcd，但是，ab不平行于cd，因此，空间直线AB与CD不平行，是交叉两直线。(a) 已知条件 (b) 作图过程与结果图1-15 判断两直线是否平行【例】已知如图1-16(a)所示一般位置直线AB与侧平线CD，判断其是否相交。(a) 已知条件 (b) 作图过程与结果图1-16
24、 判断两直线是否相交分析：对于两条一般位置直线，通常只要其任意两面投影分别相交，且交点符合点的投影规律，则可判断空间两直线相交。但是，当两直线中有投影面平行线时，则要检验它所平行的那个投影面上的投影，才能判断是否相交。如图1-16(b)，ab与cd虽然相交，但该交点与两直线正面投影交点的连线与Z轴不垂直，即：交点不符合点的投影规律，因此，两直线不相交，为交叉两直线。1.4 平面的投影1.4.1 平面的表示法在投影图上表示空间平面可以用下列几种方法来确定：（1）不在同一直线的三点，如图1-17(a)所示；（2）一直线和该直线外一点，如图1-17(b)所示；（3）两条平行直线，如图1-17(c)所
25、示；（4）两条相交直线，如图1-17(d)所示；（5）任意的平面图形（如三角形、四边形、圆等），如图1-17(e)所示。以上几种确定平面的方法是可以相互转化的，且以平面图形来表示最为常见。(a) (b) (c) (d) (e)图1-17 用几何元素表示平面1.4.2 各种位置平面及其投影特性在三面投影体系中，平面相对于投影面有三种不同的位置：投影面垂直面垂直于某一个投影面而与另外两个投影面倾斜的平面；投影面平行面平行于某一个投影面的平面；一般位置平面与三个投影面都倾斜的平面。通常我们将前两种统称为特殊位置平面。平面对H、V、W三投影面的倾角，依次用 、 、 表示。平面的投影(planes pr
26、ojection)一般仍为平面，特殊情况下积聚为一直线。画平面图形的投影时，一般先画出组成平面图形各顶点的投影，然后将它们的同面投影相连即可。下面分别介绍各种位置平面的投影及其特性。1. 投影面的垂直面(Vertical plane of projection plane)在投影面的垂直面中，只垂直于V面的平面，称为正垂面；只垂直于H面的平面，称为铅垂面；只垂直于W面的平面，称为侧垂面。表1-3列出了三种垂直面的立体图、投影图及其投影特性。由表1-3可以概括出投影面垂直面的投影特性：（1）平面在它所垂直的投影面上的投影积聚为一条直线，该直线与投影轴的夹角反映该平面对另外两个投影面的真实倾角；（
27、2）另外两个投影面上的投影，均为小于空间平面图形的类似形。2. 投影面的平行面(Parallel plane of projection plane)在投影面的平行面中，平行于H面的平面，称为水平面；平行于V面的平面，称为正平面；平行于W面的平面，称为侧平面。表1-3 投影面垂直面平面的位置立 体 图投 影 图投 影 特 性铅垂面 1. 水平投影积聚成一直线，并反映真实倾角 、 。 2. 正面投影、侧面投影不反映实形，为空间平面的类似形。正垂面 1. 正面投影积聚成一直线，并反映真实倾角 、 。 2. 水平投影、侧面投影不反映实形，为空间平面的类似形。侧垂面 1. 侧面投影积聚成一直线，并反映
28、真实倾角 、 。 2. 水平投影、正面投影不反映实形，为空间平面的类似形。表1-4列出了三种平行面的立体图、投影图及其投影特性。由表1-4可以概括出投影面平行面的投影特性：（1）在所平行的投影面上的投影，反映实形；（2）另两个投影面上的投影，均积聚为平行于相应投影轴的直线。表1-4 投影面平行面3. 一般位置平面(general position plane)一般位置平面与三个投影面都是倾斜关系，如图1-18所示。(a) 立体图 (b) 投影图图1-18 一般位置平面一般位置平面的投影特性是：三面投影均是小于空间平面图形的类似形，不反映实形，也不反映空间平面对投影面的倾角真实大小。4. 特殊位
29、置平面的迹线(vestige line)表示法当平面垂直于投影面，而在投影图上只需要表明其所在位置时，则可以用平面与该投影面的交线迹线来表示。用迹线表示垂直平面时，是用粗实线画出平面有积聚性的迹线，并注上相应的标记即可，如图1-19所示。平面P与H面的交线称为水平迹线，用PH标记；平面Q与V面的交线称为正面迹线，用QV标记。(a) 铅垂面的迹线表示 (b) 水平面的迹线表示图1-19 用迹线表示特殊位置平面1.4.3 平面上的点和直线点和直线在平面上的几何条件是：（1）平面上的点，必定在该平面的某条直线上。由此可见，在平面内取点，必须先在平面内取直线，然后在此直线上取点。（2）平面上的直线，必
30、定通过平面上的两点；或者通过平面内一点，且平行于平面内任一条直线。图1-20给出了上述几何条件的立体图，图1-21是其投影图。(a) 点在平面ABC内的条件 (b) 直线在平面ABC内的条件图1-20 平面上的点和直线立体图 (a) 点在平面ABC内 (b) 直线在平面ABC内图1-21 一般位置平面内取点、线投影图特殊位置平面由于其所垂直的投影面上的投影积聚成直线，因此，这类平面上的点和直线，在该平面所垂直的投影面上的投影，位于平面有积聚性的投影或迹线上，如图1-22。(a) 在三角形平面内取点线 (b) 在迹线面内取点线图1-22 特殊位置平面内取点、线投影图【例】如图1-23(a)，已知
31、平面ABC以及点D的两面投影，求：（1）判断点D是否在平面上；（2）在平面上作一条正平线EF，使EF到V面距离为20mm。(a) 已知条件 (b) 判断点D是否在平面上 (c) 求正平线EF图1-23 判断点是否在平面上及平面上取线解分析与作图（1）D点若在ABC平面内的某条直线上，则点D在平面上，否则就不在平面上。判断方法如图1-23(b)所示：连接ad并延长交bc于点m，在bc上作出m对应的正面投影点m，连接am，则AM必在平面ABC上，但d不在am上，故点D不在平面上。（2）因为EF是正平线，根据正平线的投影特性，EF的水平投影应平行于OX轴，且到OX轴的距离为EF到V面的距离。因此，先从水平投影开始作图。如图1-23(c)，作ef平行于OX轴，且到OX轴的距离为20mm。ef交ab、bc于点1、
