1、初中数学因式分解有哪些方法十字相乘法因式分解4道例题全解初中数学：因式分解有哪些方法？十字相乘法因式分解4道例题全解因式分解方法步骤：如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。也可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式。十字相乘试一试，分组分解要相对合适。”分组分解法分组分解是分解因式的一种简洁的方法，下面是这个方法的详细讲解。能分组分解的多项式有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。比
2、如：ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)我们把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困难。同样，这道题也可以这样做。ax+ay+bx+by=x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)几道例题：1 5ax+5bx+3ay+3by解法：原式=5x(a+b)+3y(a+b)=(5x+3y)(a+b)说明：系数不一样一样可以做分组分解，和上面一样，把5ax和5bx看成整体，把3ay和3by看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。2 x2-x-y2-y解法：原式=(x2-y2)-(x+y)=(x+y)(x-y)-(x+y)=(x+
3、y)(x-y-1)利用二二分法，再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b)，然后相合解决。三一分法，例：a2-b2-2bc-c2原式=a2-(b+c)2=(a-b-c)(a+b+c)十字相乘法十字相乘法在解题时是一个很好用的方法，也很简单。这种方法有两种情况。x2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) 例1：x2-2x-8=(x-4)(x+2)kx2+mx+n型的式子的因式分解如果有k=ab，n
4、=cd，且有ad+bc=m时，那么kx2+mx+n=(ax+c)(bx+d)例2：分解7x2-19x-6图示如下：a=7 b=1 c=2 d=-3因为-37=-21，12=2，且-21+2=-19，所以，原式=(7x+2)(x-3)十字相乘法口诀：分二次项，分常数项，交叉相乘求和得一次项。例3：6X2+7X+2第1项二次项（6X2）拆分为：23第3项常数项（2）拆分为：122（X）3（X）12对角相乘：13+22得第2项一次项（7X）纵向相乘，横向相加。十字相乘法判定定理：若有式子ax2+bx+c，若b2-4ac为完全平方数，则此式可以被十字相乘法分解。与十字相乘法对应的还有双十字相乘法，也可
5、以学一学。拆添项法这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形。例如：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+bc(a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=(bc+ca)(c-a)+(bc-ab)(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)配方法对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其
6、配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法。属于拆项、补项法的一种特殊情况。也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。例如：x2+3x-40=x2+3x+2.25-42.25=(x+1.5)2-(6.5)2=(x+8)(x-5)因式定理对于多项式f(x)，如果f(a)=0，那么f(x)必含有因式x-a例如：f(x)=x2+5x+6，f(-2)=0，则可确定x+2是x2+5x+6的一个因式。(事实上，x2+5x+6=(x+2)(x+3)注意：1、对于系数全部是整数的多项式，若X=q/p（p,q为互质整数时）该多项式值为零，则q为常数项约数，p最高次项系数约数
7、2对于多项式f(a)=0,b为最高次项系数，c为常数项，则有a为c/b约数换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。注意：换元后勿忘还元。例如在分解(x2+x+1)(x2+x+2)-12时，可以令y=x2+x,则原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y+2-12=y2+3y-10=(y+5)(y-2)=(x2+x+5)(x2+x-2)=(x2+x+5)(x+2)(x-1)综合除法令多项式f(x)=0,求出其根为x1，x2，x3，xn，则该多项式可分解为f(x)=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-xn
8、) 例如在分解2x4+7x3-2x2-13x+6时，令2x4 +7x3-2x2-13x+6=0，则通过综合除法可知，该方程的根为0.5 ，-3，-2，1所以2x4+7x3-2x2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图像与X轴的交点x1,x2,x3,xn ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-xn)与方法相比，能避开解方程的繁琐，但是不够准确。主元法例如在分解x3+2x2-5x-6时，可以令y=x3+2x2-5x-6.作出其图像，与x轴交点为-3，-1，2则x3+2x2-5x
9、-6=(x+1)(x+3)(x-2)先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。特殊值法将2或10代入x，求出数p，将数p分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。例如在分解x3+9x2+23x+15时，令x=2，则x3+9x2+23x+15=8+36+46+15=105，将105分解成3个质因数的积，即105=357 注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值，则x3+9x2+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5)，验证后的确如
10、此。待定系数法首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。例如在分解x4-x3-5x2-6x-4时，由分析可知：这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。于是设x4-x3-5x2-6x-4=(x2+ax+b)(x2+cx+d)相关公式=x4+(a+c)x3+(ac+b+d)x2+(ad+bc)x+bd由此可得a+c=-1，ac+b+d=-5，ad+bc=-6，bd=-4解得a=1，b=1，c=-2，d=-4则x4-x3-5x2-6x-4=(x2+x+1)(x2-2x-4)也可以参看右图。双十字相乘法双十字相乘法属于因式分解的一类，类似于十
11、字相乘法。双十字相乘法就是二元二次六项式，启始的式子如下：ax2+bxy+cy2+dx+ey+fx、y为未知数，其余都是常数用一道例题来说明如何使用。例：分解因式：x2+5xy+6y2+8x+18y+12分析：这是一个二次六项式，可考虑使用双十字相乘法进行因式分解。解：图如下，把所有的数字交叉相连即可x 2y 2x 3y 6原式=(x+2y+2)(x+3y+6)双十字相乘法其步骤为：先用十字相乘法分解2次项，如十字相乘图中x2+5xy+6y2=(x+2y)(x+3y)先依一个字母（如y）的一次系数分数常数项。如十字相乘图中6y2+18y+12=(2y+2)(3y+6)再按另一个字母（如x）的一
12、次系数进行检验，如十字相乘图，这一步不能省，否则容易出错。横向相加，纵向相乘。二次多项式（根与系数关系二次多项式因式分解）例：对于二次多项式 aX2+bX+c(a0)当=b2-4ac0时，设aX2+bX+c=0的解为X1,X2=a(X2-(X1+X2)X+X1X2)=a(X-X1)(X-X2).例题1.把下列各式分解因式（1）12a3b29a2b+3ab;（2）a（x+y）（ab）（x+y）;（3）121x2144y2;（4）4（ab）2（xy）2;（5）（x2）2+10（x2）+25;（6）a3（x+y）24a3c2.2.用简便方法计算（1）6.423.62;（2）210421042（3）1
13、.4292.3236第二章 分解因式综合练习一、选择题1.下列各式中从左到右的变形,是因式分解的是（ ）(A)(a+3)(a-3)=a2-9 (B)x2+x-5=(x-2)(x+3)+1(C)a2b+ab2=ab(a+b) (D)x2+1=x(x+ )2.下列各式的因式分解中正确的是（ ）(A)-a2+ab-ac= -a(a+b-c) (B)9xyz-6x2y2=3xyz(3-2xy)(C)3a2x-6bx+3x=3x(a2-2b) (D) xy2+ x2y= xy(x+y)3.把多项式m2(a-2)+m(2-a)分解因式等于（ ）(A)(a-2)(m2+m) (B)(a-2)(m2-m) (
14、C)m(a-2)(m-1) (D)m(a-2)(m+1)4.下列多项式能分解因式的是（ ）(A)x2-y (B)x2+1 (C)x2+y+y2 (D)x2-4x+45.下列多项式中,不能用完全平方公式分解因式的是（ ）(A) (B) (C) (D)6.多项式4x2+1加上一个单项式后,使它能成为一个整式的完全平方,则加上的单项式不可以是（ ）(A)4x (B)-4x (C)4x4 (D)-4x47.下列分解因式错误的是（ ）(A)15a2+5a=5a(3a+1) (B)-x2-y2= -(x2-y2)= -(x+y)(x-y)(C)k(x+y)+x+y=(k+1)(x+y) (D)a3-2a2
15、+a=a(a-1)28.下列多项式中不能用平方差公式分解的是（ ）(A)-a2+b2 (B)-x2-y2 (C)49x2y2-z2 (D)16m4-25n2p29.下列多项式：16x5-x；(x-1)2-4(x-1)+4；(x+1)4-4x(x+1)+4x2；-4x2-1+4x,分解因式后,结果含有相同因式的是（ ）(A) (B) (C) (D)10.两个连续的奇数的平方差总可以被 k整除,则k等于（ ）(A)4 (B)8 (C)4或-4 (D)8的倍数二、填空题11.分解因式：m3-4m= .12.已知x+y=6,xy=4,则x2y+xy2的值为 .13.将xn-yn分解因式的结果为(x2+
16、y2)(x+y)(x-y),则n的值为 .14.若ax2+24x+b=(mx-3)2,则a= ,b= ,m= .(第15题图)15.观察图形,根据图形面积的关系,不需要连其他的线,便可以得到一个用来分解因式的公式,这个公式是 .三、(每小题6分,共24分)16.分解因式：(1)-4x3+16x2-26x (2) a2(x-2a)2- a(2a-x)3（3）56x3yz+14x2y2z21xy2z2 (4)mn(mn)m(nm)17.分解因式：(1) 4xy(x2-4y2) (2)- (2a-b)2+4(a - b)218.分解因式：(1)-3ma3+6ma2-12ma (2) a2(x-y)+
17、b2(y-x)19、分解因式（1） ； （2） ；（3） ；20.分解因式：(1) ax2y2+2axy+2a (2)(x2-6x)2+18(x2-6x)+81 (3) 2x2n-4xn21将下列各式分解因式：（1） ； （2） ； （3） ；22分解因式（1） ； （2） ；23.用简便方法计算：(1)57.61.6+28.836.8-14.480 (2)3937-1334（3）13.724试说明：两个连续奇数的平方差是这两个连续奇数和的2倍.25如图,在一块边长为a厘米的正方形纸板四角,各剪去一个边长为 b(b )厘米的正方形,利用因式分解计算当a=13.2,b=3.4时,剩余部分的面积.
18、26将下列各式分解因式（1）（2） ；(3) (4)(5)(6)(7) (8)(9) （10）(x2+y2)2-4x2y2（12）x6n+2+2x3n+2+x2 （13）9(a+1)2(a-1)2-6(a2-1)(b2-1)+(b+1)2(b-1)227.已知(4x-2y-1)2+ =0,求4x2y-4x2y2+xy2的值.28已知：a=10000,b=9999,求a2+b22ab6a+6b+9的值.29证明58-1解被2030之间的两个整数整除30.写一个多项式,再把它分解因式(要求：多项式含有字母m和n,系数、次数不限,并能先用提取公因式法再用公式法分解).31.观察下列各式：12+(12
19、)2+22=9=3222+(23)2+32=49=7232+(34)2+42=169=132你发现了什么规律?请用含有n(n为正整数)的等式表示出来,并说明其中的道理.32.阅读下列因式分解的过程,再回答所提出的问题：1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)1+x+x(x+1)=(1+x)2(1+x)=(1+x)3(1)上述分解因式的方法是 ,共应用了 次.(2)若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+ x(x+1)2004,则需应用上述方法 次,结果是 .(3)分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+ x(x+1)n(n为正整数).34若a、b、c为ABC的三边,且满足a2+b2+c2abbcca=0.探索ABC的形状,并说明理由.35阅读下列计算过程：9999+199=992+299+1=（99+1）2=100 2=10 41计算：999999+1999=_=_=_=_；99999999+19999=_=_=_=_.2猜想99999999999999999999+19999999999等于多少?写出计算过程.
