1、数学建模实验doc数学建模实验本书中的实验均采用Mathematica软件，当你输入命令后，按下Shift+Enter键就可执行你的命令.实验一1使用绘图命令Plot画出各种函数的图形，使用绘图命令ParametricPlot画出各种参数方程的图形.你可以修改其中的参数，以便掌握其使用方法(后面的实验也如此).(1) PlotSinSqrt1+Cos2x,x,-2Pi,2Pi(2) PlotTanx,x,-10,10,PlotRange-5,5(3) PlotArcSinx,ArcCosx,x,-1,1,PlotStyle-RGBColor0,0,1,Thickness0.01,RGBColo
2、r1,0,0,Dashing0.05,0.05(4) a1=Plotx,x,-5,5,PlotStyle-RGBColor0,0,1a2=PlotSinx,x,-5,5,PlotStyle-RGBColor0,1,0a3=Plotx+Sinx,x,-5,5,PlotStyle-RGBColor1,0,0Showa1,a2,a3(5) PlotSinx2,x,0,3,AxesLabel-x value,sin(x2)(6) PlotSinx2,x,0,3,Axes-None,PlotLabel-sin(x2)(7) ParametricPlotSint,Cost,t,0,2PiShow%,Asp
3、ectRatio-Automatic(8) rt_=2Cos3tParametricPlotrtCost,rtSint,t,0,2Pi,AspectRatio-Automatic(9) sgnx_:=-1/;x0Plotsgnx,x,-7,7(10) fx_:=x2Sin1/x/;x!=0; fx_:=0/;x=0Plotfx,x,-1,12观察数列xn = (1+1/n)n的变化趋势.(1) Fori=1,i10,i+,Xn=N(1+1/i)i,8;Printi, ,Xn(2) Fori=10,i0(2) Limitx*(Sqrt1+x2-x),x-+Infinity实验二1用Dfx,x,n
4、 命令求函数f对x的n阶微商.(1) DSin3x,x(2) Dx*Ex,x,5(3) fx_=Exp7x;fa2用Dtf 命令求函数f的微分.(1) DtSinxn(2) SetAttributesn,Constant;DtSinxn3隐函数与参数方程确定的函数的微商.(1) y=fx;Dx*y-Ex+Ey=0,xSolve%,fx(2) DSint,t/DCost,t4求方程x3 3x 1 = 0的根.(1) FindRootx3-3x-1=0,x,2(2) Solvex3-3x-1=0,x(3) NSolvex3-3x-1=0,x(4) Plotx3-3x-1,x,-3,3实验三1用Fi
5、ndMinimum fx,x,x0,x1 命令求函数f在x0，x1附近的极小值.FindMinimum2x3-6x2-18x+7,x,0FindMinimum-2x3+6x2+18x-7,x,02根据二阶微商检验法编制Mathematica程序求出f (x) = 2x3 6x2 18x + 7所有的驻点，再求出极小值(点)、极大值(点).Clearf;fx_:=2x3-6x2-18x+7;root=Solvefx=0,x;maxpoint=;minpoint=;noanswer=;delta=Dfx,x,2/.root;Fori=1,i=Lengthdelta,i+,Ifdeltai0,min
6、point=Appendminpoint,x/.rooti,fx/.rooti,nopoint=Appendnopoint,x/.rooti,fx/.rooti;Printmax_point=, maxpoint;Printmin_point=, minpoint;PrintI dont know=, nopoint实验四1编制Mathematica程序观察曲边梯形y = x2, 0x1.5的面积.Clearf;Clearx;fx_=x2;a=0;b=N1.5;m=0;g=Plotfx,x,a,b,PlotStyle-RGBColor1,0,0,DisplayFunction-Identity
7、;Forj=3,j=10,j+,m=j;tt1=;tt2=;Fori=0,i$DisplayFunction,PlotLabel-m个分割点的图示2用Integratefx,x 命令求原函数，用NIntegratefx,x,a,b 命令求定积分的近似值.(1) Fx_=IntegrateTanx2,xFPi/6-F0(2) NIntegrateTanx2,x,0,Pi/6(3) Fx_=Integrate1/(x*Sqrtx2-1),x(4) NIntegrate1/(x*Sqrtx2-1),x,1,+Infinity(5) Fx_=Integrate1/Cosx3,xFPi/3-F0(6)
8、NIntegrateSinx2/(1+Ex),x,-Pi/4,Pi/43用Integrate命令计算二次积分.求dy：Integrate2x*y,x,0,1/2,y,x,1-x实验五1求微分方程y+ ysinx = sin3x的通解：DSolveyx+yxSinx=Sinx3,yx,x2求微分方程的y- ytanx = secx，y(0) = 0的特解：DSolveyx-yxTanx=Secx,y0=0,yx,x3求微分方程y+ 6y+9y = 10sinx，y(0) = 0，y (0) = 0的特解：DSolveDyx,x,2+6yx+9yx=10Sinx, y0=0,y0=0,yx,x实验
9、六1用Plot3D等命令绘制曲面的图形(1) 马鞍面：Plot3Dx2/4-y2/9,x,-8,8,y,-15,15,PlotPoints-60,BoxRatios-1,1,1,PlotRange-5,5(2) 椭圆抛物面：Plot3Dx2/4-y2/9,x,-8,8,y,-15,15,PlotPoints-20,BoxRatios-1,1,1,PlotRange-0,15(3) 球面与柱面：t1=ParametricPlot3DCosuSinv,SinuSinv,Cosv,u,0,2Pi,v,0,Pi,PlotPoints-50t2=ParametricPlot3D(1+Cosu)/2,Si
10、nu/2,v,u,0,2Pi,v,0,1,PlotPoints-50Showt1,t2(4) 单叶双曲面：ParametricPlot3DSecuSinv,2SecuCosv,3Tanu,u,-Pi/4,Pi/4,v,0,2Pi,PlotPoints-80(5) 双叶双曲面：t1=ParametricPlot3DTanuSinv,2TanuCosv,2Secu,u,-Pi/3,Pi/3,v,0,2Pi,PlotRange-4,4,BoxRatios-1,1,3t2=ParametricPlot3DTanuSinv,2TanuCosv,-2Secu,u,-Pi/3,Pi/3,v,0,2Pi,Pl
11、otRange-4,4,BoxRatios-1,1,3Showt1,t2(6) 墨西哥帽：Plot3DCosSqrtx2+y2,x,-10,10,y,-10,10,PlotPoints-30,Lighting-True(7) 石子垂直落入水中形成的水纹面：Clearf;fx_,y_:=Ifx2+y2!=0,SinSqrtx2+y2/Sqrtx2+y2,1Plot3Dfx,y,x,-6Pi,6Pi,y,-6Pi,6Pi,Ticks-None,Boxed-False,Axes-False,Mesh-False,PlotPoints-80,BoxRatios-8,8,1,PlotRange-1,1函
12、数，为使显示效果比较好，将x、y、z轴方向的显示比例为8:8:1(BoxRatios-8,8,1)，并且不显示坐标轴(Axes-False)、数值标记(Ticks-None)、立体框线(Boxed-False)以及网格线(Mesh-False)2用ContourPlot命令绘制函数的等高线ContourPlotx2-y2,x,-6,6,y,-6,6,Contours-20,PlotPoint-50,ContourShading-FalseContours-20表示绘制20条等高线，PlotPoint-50表示采样点数为50，ContourShading-False表示去掉阴影部分3求多元函数的
13、偏微商(1) D3x*y2-2y+5x2*y2,x(2) D3x*y2-2y+5x2*y2,y(3) D3x*y2-2y+5x2*y2,x,2(4) D3x*y2-2y+5x2*y2,y,2(5) D3x*y2-2y+5x2*y2,x,y(6) D3x*y2-2y+5x2*y2,x,y/.x-1,y-2实验七利用根的存在定理求方程的根实验目的：1. 掌握根的存在定理；2. 会用根的存在定理求方程的近似根；3. 具有初级编程能力；4. 学会使用Mathematica软件求方程的根.实验原理：根的存在定理：若函数f(x) 在闭区间 a, b 上连续，且f(a) f(b)0，则在 (a, b) 内至
14、少有一点 ，使f( ) = 0.根据上述定理，可在 (a, b) 内任取一点c，当f(c)0时，f(a) f(c)0和f(c) f(b)0中有且只有一个成立，这样可缩小根的存在区间长度. 依次进行下去，直到区间长度小于给定精度 0为止.给定 0，0 1，求方程近似根 的迭代步骤： 赋初值x0 = a，x1 = b，n = 2，转向; 计算xn = (1 ) xn 2 + xn 1，转向; 当f(xn) f(xn 2)0时，xn 1 = xn 2，转向；当f(xn) f(xn 2) = 0时，取 = xn 停； 当 | xn xn 1| 时，取 = (1 ) xn 1 + xn停；否则，令n =
15、 n + 1，转向.实验内容：1. 按下列方法分别求出方程sinx x = 1在( 2，2)内的近似根，比较跌代次数. 编程求解. 取 = 0.5， = 0.001， = 0.0001; 编程求解. 取 = 0.618， = 0.001， = 0.0001; 使用Mathematica软件，格式如下:FindRootSinx-x=1,x,-1按 Shift + Enter 键得到结果. 2. 将上述方程换成其他形式.实验八定积分的近似计算实验目的：1. 利用梯形法近似计算定积分的值；2. 利用抛物线法近似计算定积分的值；3. 具有初级编程能力；4. 学会使用Mathematica软件计算定积分
16、的值.实验原理：利用定积分的定义近似计算定积分的值.1. 梯形法: 设分点a = x0x1x2xn 1xn = b将区间 a, b 分成n等分，记yk = f(xk)，k = 0,1,2, n. 则 f(x)dx = ( y0 + yn )/2 + y1 + y2 + + yn 1(b a)/n.2. 抛物线法: 设分点a = x0x1x2x2n 1x2n = b将区间 a, b分成2n等分，记yk = f(xk)，k = 0,1,2, 2n. 则 f(x)dx = ( y0 + y2n ) + 2( y2 + y4 + + y2n 2) + 4( y1 + y3 + + y2n 1)(b a
17、)/6n.实验内容：1. 利用梯形法和抛物线法近似计算定积分dx的值(取n =10，精确到0.0001).2. 用Mathematica软件计算定积分dx的值. 格式如下:NIntegrateExp-x2,x,0,13. 给出正态分布函数表. 实验九捕食-被捕食模型实验目的：1. 了解连续捕食-被捕食模型；2. 了解离散捕食-被捕食模型；3. 了解常微分方程初值问题的数值解法原理；4. 能够独立编程解初值问题的微(差)分方程(组)；5. 学会使用Mathematica软件解微分方程(组).实验原理：捕食-被捕食模型参考教材大学数学P236237，P251-252(略).常微分方程初值问题的数值
18、解法原理：一阶常微分方程的一般形式y(x) = f(x, y)一阶常微分方程组的一般形式y1(x) = f(x, y1, y2, , yn),y2(x) = f(x, y1, y2, , yn), 向量形式Y(x) = F(x, Y )柯西初值问题(Cauchy问题)Y(x) = F(x, Y ), Y (x0 ) = Y0 .主要算法 显式欧拉(Euler)方法yk +1 = yk + f(xk , yk )h + O(h2), xk +1 = xk + h, k = 0,1,2,. 隐式欧拉(Euler)方法yk +1 = yk + f(xk +1, yk +1 )h + O(h2), x
19、k +1 = xk + h, k = 0,1,2,. 龙格-库塔(Runge-Kutta)方法 二阶龙格-库塔法K1 = f(xk , yk ), K2 = f(xk + h/2, yk + K1h/2 ), yk +1 = yk + K2h. 四阶龙格-库塔法K1 = f(xk , yk ), K2 = f(xk + h/2, yk + K1h/2 ), K3 = f(xk + h/2, yk + K2h/2 ), K2 = f(xk + h, yk + K3 ), yk +1 = yk + (K1 + 2K2 + 2K3 + K4)h/6.实验内容：1. 使用Mathematica软件解下
20、列微分方程(组): y+ ysinx = sin3x，格式如下:DSolveyx+yxSinx=Sinx3,yx,x y- ytanx = secx，y(0) = 0, 格式如下:DSolveyx-yxTanx=Secx,y0=0,yx,x 格式如下:DSolvext=2xt-0.25xtyt,yt=-yt+0.01xtyt,yt,xt,t2. 独立编程, 使用显式欧拉方法解下列微分方程(组), 并画出其图形: y- ytanx = secx，y(0) = 0. x (0) = 100, y (0) = 8.3. 独立编程解差分方程(组): yn+2 yn+1 3 yn =0, y0 = 1,
21、 y1 = 2. 求y20, y21, y22 . xn+1 =1.003xn 0.0001 xn yn,yn+1 = 0.91yn + 0.0002 xn yn,xn= 400，yn=10,这里的xn与yn都取近似正整数值，求当n为多少时，xn400，yn10? 何时xn最大? 最小? yn最大? 最小?实验十解矩阵方程及线性方程组实验目的：1.掌握初等行变换化矩阵为行阶梯形和行最简形的方法；2.掌握解矩阵方程的方法；3.掌握解线性方程组的方法；4.具有初级编程能力；5.学会使用Mathematica软件解矩阵方程及线性方程组.实验原理：将矩阵A = (aij )mn化为行阶梯形的方法: 设
22、r =1，c =1，执行. 是否有aic0(rim)，若是转到，否则转到; 将第i行与第r行互换，再将第i ( i = r +1, r +2, , m )行各元素减去第r行的aic/arc倍，记r +1为r，转到; 记c +1为c，若r = m或c = n终止，否则转到.将矩阵化为行最简形的方法类似，是从右下向左上，且将行首非零元变为1.用初等行变换求逆矩阵: 将(A I )化为行最简形即可.解线性方程组的方法: 将增广矩阵化为行最简形即可.实验内容：22277764245740128949334132688858953855261. 按下列要求解矩阵方程: X = 自编程序; 用Mathem
23、atica软件，格式如下:A=2,8,9,4,9,3,3,4,1,3,2,6,8,8,8,5,8,9,5,3,8,5,5,2,6B=2,2,2,7,7,7,6,4,2,4,5,7,4,0,1InverseA.B5x1 + 5x2 + 3x3 + 3x4 + 8x5 = 3,2x1 + 3x2 + 2x3 + 5x4 + 8x5 = 9,7x1 + x2 + 9x3 + 9x4 + 2x5 = 7.2. 按下列要求解线性方程组: 自编程序; 用Mathematica软件，格式如下:Solve5x1+5x2+3x3+3x4+8x5=3,2x1+3x2+2x3+5x4+8x5=9,7x1+x2+9x
24、3+9x4+2x5=7实验十一最小二乘预测实验目的：1.掌握最小二乘法原理；2.会用线性模型预测；3.会用平方模型预测；4.具有初级编程能力.实验原理：设两个变量之间对应关系如下: (x1, y1), (x2, y2 ), , (xn, yn)，建立两个变量之间的函数关系(数学模型) y = f(x)，使得误差平方和 nk =1S = f(xi ) yi 2最小.线性模型y = ax + b，.平方模型y = ax2 + bx + c，误差平方和 nk =1S = (a+ bxi + c) yi 2其驻点满足线性方程组 实验内容：表1给出了奥林匹克运动(19561984)100m自由泳男女获胜
25、者成绩(时间).表1年份获胜者(男)国家时间(秒)获胜者(女)国家时间(秒)1956Hendricks(Aus.)55.4Fraser(Aus.)62.01960Devitt(Aus.)55.2Fraser(Aus.)61.21964Schollander(U.S.)53.4Fraser(Aus.)59.51968Wenden(Aus.)52.2Henne(U.S.)60.01972Spitz(U.S.)51.22Neilsen(U.S.)58.591976Montgomery(U.S.)49.99Ender(G.D.R.)55.651980Wothe(G.D.R.)50.40Krauss(G.D.R.)54.791984Gaines(U.S.)49.80Steinseifer(U.S.)55.92
