1、完整word版西安交通大学线性代数期末考试试题含答案推荐文档成绩西安交通大学考试题 课 程 线性代数与解析几何（A卷） 系 别 考 试 日 期 2007 年 1 月 18 日专业班号 姓 名 学 号 期中 期末说明:指方阵的行列式,指方阵的伴随矩阵,指矩阵的秩,指矩阵的转置矩阵,为单位矩阵. 指实数域上的二阶实方阵全体按通常矩阵的运算构成的线性空间.表示次数不大于2的一元多项式全体所构成的线性空间。题号一二三四五六七八九得分一、填空题(每小题3分,共12分)(1). 若矩阵,则= .(2). 若向量组的秩为2,则= .(3). 设矩阵,已知齐次线性方程组的基础解系含有两个向量，则= .(4).
2、 设矩阵为正定矩阵，则的取值范围是 . 共 6 页 第 1 页二、单项选择题(每小题3分,共12分)(1). 设两个非零矩阵,满足，则必有 (A) 的列向量组线性相关. (B) 的列向量组线性无关.(C) 的列向量组线性相关. (D) 的列向量组线性无关. 【 】(2). 曲线绕轴旋转一周所形成旋转面的名称是(A) 单叶双曲面.(B) 双叶双曲面. (C)椭圆面. (D) 抛物面. 【 】(3). 已知3阶矩阵的特征值为1，2，3，则必相似于对角矩阵(A); (B); (C); (D); 【 】(4).设矩阵，则 (A) . (B) . (C) . (D) . 【 】三、(12分) 设方阵满足
3、,其中，求矩阵. 共 6 页 第 2 页四、(12分) 已知直线，直线.（1）记的方向向量为，求过且与平行的平面的方程.（2）求与的交点.并写出与的公垂线的方程.五、(12分) 、取何值时,线性方程组有唯一解、无解、有无穷多解?并在有无穷多解时,求出该方程组的结构式通解. 共 6 页 第 3 页 六、(12分). 设二次型,(1) 写出二次型的矩阵;(2) 求一个正交矩阵,使成对角矩阵;(3) 写出在正交变换下化成的标准形. 共 6 页 第 4 页七、 (12分) 设矩阵的全部特征值之积为24.(1) 求的值；(2) 讨论能否对角化，若能，求一个可逆矩阵使为对角阵。八、(10分) (注意:学习
4、过第8章“线性变换”者做第(2)题,其余同学做第(1)题)(1) 在中所有2阶实对称矩阵所组成的集合构成的一个子空间.证明元素组是的一个基.(2) 设是上的线性算子，在的基（）：下的矩阵为,求在的基（）：下的矩阵共 6 页 第 5 页九、(6分) 设为阶方阵，且.证明:的充分必要条件是.课 程 线性代数与解析几何（A卷）答案 （2007.1。18）一、(满12分) (1). 72. (2).-2 (3).1.(4).二、(满12分) (1).(A) (2). (B) (3). (D); (4).(B)三、(满12分)解因，两端同乘A，,化简得， .四、(满12分)解（1）.（2分），平面的法向
5、量为，（4分），故平面方程为.（6分）（2）将代入得，交点.（10分）故与的公垂线的方程.（12分）五、(满12分) 解增广矩阵（1） 当时，方程组有唯一解，（6分）（2） 当，且时，方程组无解（8分）（3） 当且时，,该方程组有无穷多解，其结构式通解为,.(12分)六、(满12分)解(1);（2分）(2) 特征值为，（5分）当时特征向量为，当时，取为正交矩阵，可,使;（11分）， 共 2 页 第 1 页(3) 在正交变换下化成的标准形。（12分）七、 (满12分)解 (1) 因得；（3分）(2) 特征值为，又当时，即代数重数等于几何重数，故A能对角化，（8分），由其特征向量得可逆矩阵，使为对角阵（12分）八、(满10分)(1)为三维空间，故任意三个线性无关的元素均可作为其基，（5分）令，得故线性无关，是的一个基.（10分）(2) 由基（）到的基（）的过渡矩阵为，（5分），则在的基（）：下的矩阵为。 (10分 )九、(满6分)必要性：由，又故。（3分）充分性：设得方程组的基础解系含个向量，即得属于特征值零的线性无关的特征向量有个；又因方程组的基础解系含个向量，即得属于特征值1的线性无关的特征向量有个，即代数重数等于几何重数，A有个线性无关的特征向量，所以A可对角化。即存在可逆的，使，（6分） 共 2 页 第 2 页 共 6 页 第 6 页
