1、统计学教案习题05方差分析第五章 方差分析一、教学大纲要求（一）掌握内容1方差分析基本思想（ 1） 多组计量资料总变异的分解，组间变异和组内变异的概念。（2） 多组均数比较的检验假设与 F 值的意义。（ 3） 方差分析的应用条件。2常见实验设计资料的方差分析（1）完全随机设计的单因素方差分析：适用的资料类型、总变异分解（包括自由度的分解） 、方差分析的计算、方差分析表。（ 2）随机区组设计资料的两因素方差分析：适用的资料类型、总变异分解（包括自由度的分解） 、方差分析的计 算、方差分析表。（ 3）多个样本均数间的多重比较方法： LSD-t 检验法； Dunnett-t 检验法； SNK-q 检
2、验法。（二）熟悉内容 多组资料的方差齐性检验、变量变换方法。（三）了解内容 两因素析因设计方差分析、重复测量设计资料的方差分析。（一 ） 方差分析的基本思想1 基本思想方差分析（ analysis of variance， ANOV A ）的基本思想就是根据资料的设计类型，即变异的不同来源将全部观察值 总的离均差平方和（ sum of squares of deviations from mean， SS）和自由度分解为两个或多个部分，除随机误差外，其余 每个部分的变异可由某个因素的作用（或某几个因素的交互作用）加以解释，如各组均数的变异 SS 组间可由处理因素的作用加以解释。通过各变异来源的
3、均方与误差均方比值的大小，借助 F 分布作出统计推断，判断各因素对各组均数有无 影响。2分析三种变异（ 1）组间变异：各处理组均数之间不尽相同，这种变异叫做组间变异（ variation among groups ），组间变异反映了处理因素的作用（处理确有作用时 ），也包括了随机误差（ 包括个体差异及测定误差 ）, 其大小可用组间均方（ MS 组 k2间）表示，即 MS 组间= SS组间 / 组间 ， 其中， SS组间= ni （xi x）2 ， 组间 =k-1 为组间自由度。 k 表示处理组数。i1（ 2）组内变异：各处理组内部观察值之间不尽相同，这种变异叫做组内变异 （variation
4、within groups） ，组内变异反k ni 映了随机误差的作用， 其大小可用组内均方 （MS组内） 表示， MS组内 SS组内 / 组内 ，其中 SS组内 （xij xi）2 ,i1 j 1组内 N k ，为组内均方自由度。（3）总变异：所有观察值之间的变异（不分组） ，这种变异叫做总变异 （total variation） 。其大小可用全体数据的方 k ni差表示， 也称总均方 （MS总 ）。按方差的计算方法， MS总= SS总 / 总 ，其中SS总= （xij x）2, k为处理组数， nii1j1为第 i 组例数， 总 =N-1 为总的自由度， N 表示总例数。（二）方差分析的应
5、用条件（ 1） 各样本是相互独立的随机样本，且来自正态分布总体。（ 2） 各样本的总体方差相等，即方差齐性 （homoscedasticity） 。（三）不同设计资料的方差分析1完全随机设计的单因素方差分析（ 1）资料类型：完全随机设计 （completely random design） 是将受试对象完全随机地分配到各个处理组。设计因素 中只考虑一个处理因素，目的是比较各组平均值之间的差别是否由处理因素造成。（2） 方差分析表：见表 5-1。F F 时，拒绝 H0: 1 2 L L k 。表 5-1 完全随机设计方差分析计算表来源SSMSF值组间SS组间组间 k 1= SS组间MS组间=组间
6、MS组间F=MS组内组内（ 误差 ）SS组内 =SS总 SS 组间组内 = 总 - 组内 =N- kSS组内MS组内=组内总计SS总总= N 1总2随机区组设计的两因素方差分析（ 1）资料类型：随机区组设计（ randomized block design ）是将受试对象按自然属性（如实验动物的窝别、 体重，病人的性别、年龄及病情等）相同或相近者组成单位组（区组） ，然后把每个组中的受试对象随机地分配给 不同处理。设计中有两个因素，一个是处理因素，另一个是按自然属性形成的单位组。单位组的选择原则是“单位 组间差别越大越好，单位组内差别越小越好” 。（ 2）方差分析表：见表 5-2。 F 处理
7、F 时，拒绝 H0: 1 2 L L表 5-2 随机区组设计方差分析计算表kmultipleLSD-t 检验：称为最小显著差异 t 检验。适用于 k 组中某一对或某几对在专业上有特殊意义的均数间差检验统计量为 t 值，自由度为方差分析表中的误差自由度，查4多组资料方差起行检验当各组标准差相差较大（如 1.5 倍）时，需检验资料是否满足方差齐性的条件。5. 变量变换当资料不能满足方差分析的条件时，如果进行方差分析， 可能造成错误的判断。因此对于明显偏离上述应用条件 的资料，可以通过变量变换的方法来加以改善。常用的变量变换方法有：（ 1）对数变换 对数变换不仅可以将对数正态分布的数据正态化， 还能
8、使数据方差达到齐性， 特别是各样本的标 准差与均数成比例或变异系数接近于一个常数时。变换公式为：(5-4)X lg X 当原始数据中有小值或零时，可用 X lg（X 1）（ 2）平方根变换 常用于使服从 Possion分布的计数资料或轻度偏态的资料正态化； 当各样本的方差与均数呈正 相关时，可使资料达到方差齐性。变换公式为：(5-5)XX当原始数据中有小值或零时，可用 X X 0.5（ 3）倒数变换 常用于数据两端波动较大的资料，可使极端值的影响减小。变换公式为：X 1/ X （5-6）（4）平方根反正弦变换 常用于服从二项分布的率或百分比资料。 一般地，当总体率较小 （ 70%）时，通过平方
9、根反正弦变换，可使资料接近正态，且达到方差齐性的要求。变换公式为：(5-7)X sin 1 X（5）秩转换后，采用秩和检验比较组间差别（祥见第九章）6两因素析因设计方差分析处理含有两因素两水平的全面组合。例如治疗肿瘤术后病人，可采用 4 种方法：既不放疗也不化疗（ a0b0）；放疗 不化疗（ a1b0）；不放疗化疗（ a0b1）；既放疗又化疗（ a1b1）。设放疗为 A 因素（两水平） ，化疗为 B 因素（两水平） ， 则构成 2 2 析因设计，目的是分析 A 的主效应， B 的主效应及 AB 的交互作用。7重复测量资料的方差分析 受试对象随机分组后，多次测量某一观察指标，以比较处理效应在不同
10、时间点有无变化。如试验组和对照组的轻 度高血压病人入院前、治疗后 1天、 2天、 3天、 4天的血压变化。设处理分组为 A 因素，重复测量的时间点为 B因 素，目的是分析 A 的主效应和 AB 的交互作用。三、典型试题分析本题考点：方差分析过程中离均差平方和的分解、离均差平方和与均方的关系。组间变异和组内变异， 总离均差平方和等于组间离均差平方和与组内离均差平方差 之和，因此，等式 SS总=SS组间+SS组内是成立的。离均差平方和除以自由度之后的均方就不再有等式关系，因此 C 选项不成立。 A 、B 选项不一定成立。 D 选项为正确答案。2）。单因素方差分析中，当 P0.05 时，可认为（C各
11、总体均数都不相等 D 各总体均数相等答案： B 评析 本题考点：方差分析的检验假设及统计推断。方差分析用于多个样本均数的比较， 它的备择假设 （H1）是各总体均数不等或不全相等， 当 P0.05 时，接受 H1， 即认为总体均数不等或不全相等。因此答案选 B。3. 以下说法中不正确的是（ ）A方差除以其自由度就是均方B方差分析时要求各样本来自相互独立的正态总体C方差分析时要求各样本所在总体的方差相等D完全随机设计的方差分析时，组内均方就是误差均方 答案： A 评析 本题考点：方差分析的应用条件及均方的概念。5组内变异）的概率为 5%。A.两种设计试验效率一样B.随机单位组设计的误差一定小于完全
12、随机设计C.随机单位组设计的变异来源比完全随机设计分得更细D.以上说法都不对 答案： C。评析 ：本题考点：两种设计及其方差分析的区别。 两种设计不同，随机区组设计除处理因素外，还考虑了单位组因素。进行方差分析时，变异来源多分解出 项：单位组间变异。因此 C 选项为正确答案。四、习 题一） 名词解释1均方 2方差分析基本思想 3总变异 4组间变异6完全随机设计 7随机区组设计（二） 单项选择题1 两样本均数的比较，可用（）。A 方差分析B t 检验C两者均可D方差齐性检验2配伍组设计的方差分析中，配伍 等于（ ）。A 总 - 误差B 总- 处理C 总- 处理 + 误差D 总 - 处理 - 误差
13、3在均数为 ， 标准差为 的正态总体中随机抽样， | X4当自由度（ 1, 2）及显著性水准 都相同时，方差分析的界值比方差齐性检验的界值（ ）。A 大 B小 C相等 D 不一定5方差分析中变量变换的目的是（ ）。A 方差齐性化 B曲线直线化 C变量正态化 D 以上都对 6下面说法中不正确的是（ ）。A 方差分析可以用于两个样本均数的比较B完全随机设计更适合实验对象变异不太大的资料C在随机区组设计中，每一个区组内的例数都等于处理数D在随机区组设计中，区组内及区组间的差异都是越小越好 7随机单位设计要求（ ）。A 单位组内个体差异小，单位组间差异大B单位组内没有个体差异，单位组间差异大C单位组内
14、个体差异大，单位组间差异小D单位组内没有个体差异，单位组间差异小8完全随机设计方差分析的检验假设是（ ）。A 各对比组样本均数相等 B各对比组总体均数相等C各对比组样本均数不相等 D各对比组总体均数不相等9完全随机设计、随机区组设计的 SS和及自由度各分解为几部分（ ）。A 2，2 B2，3 C2，4 D 3，310配对 t 检验可用哪种设计类型的方差分析来替代（ ）。A 完全随机设计 B随机区组设计C两种设计都可以 D AB 都不行（三）简答题1 t 检验和方差分析的应用条件？2如何合理选择检验水准 ？3以 t 检验为例，说明检验假设中 和 P的区别。32 个（四）计算题 1某湖水在不同季节氯化物含量测定值如表 5-3 所示。问不同季节氯化物含量有无差别？若有差别，进行水平的两两比较。表 5-3 某湖水不同季节氯化物含量（ mg/L ）春夏秋冬22.619.118.919.022.822.813.616.921.024.517.217.616.918.015.114.820.015.216.613.121.918.414.216.921.520.116.716.221.221.219.614.8Xij167.9159.3131.9129.358
