1、基本不等式培优专题高清无码 2基本不等式培优专题(学生版)目录基本不等式培优专题 培优点一 常规配凑法 02 培优点二 “1”的代换 02 培优点三 换元法 03 培优点四 和、积、平方和三量减元 04 培优点五 轮换对称与万能 K 法 05 培优点六 消元法（必要构造函数求导） 05 培优点七 不等式算两次 06 培优点八 齐次化 06 培优点九 待定与技巧性强的配凑 07 培优点十 多元变量的不等式最值问题 08 培优点十一 不等式综合应用 09基本不等式培优专题培优点一 常规配凑法1（2018 届温州 9 月模拟） 已知 2a + 4b = 2 （ a ， b R ），则 a + 2b
2、的最大值为 y2 2已知实数 x ， y 满足 x2 + = 1，则 x162 + y 2 的最大值是 3（2018 春湖州期末）已知不等式(x + my)( 1 + 1 ) 9 对任意正实数 x ， y 恒成立，则正实数 m x y的最小值是 （ ）A. 2 B. 4 C. 6 D. 81a +14（2017 浙江模拟）已知 a ， b R ，且 a 1，则 a + b + - b 的最小值是ab5（2018 江苏一模）已知 a 0 ， b 0 ，且 2 + 3 = ，则 ab 的最小值是a b6（诸暨市 2016 届高三 5 月教学质量检测）已知 a b 0 ， a + b = 1，则4
3、+ 1的最小值等于 a - b 2b7（2018 届浙江省部分市学校高三上学期 9+1 联考）已知实数 a 0 ，b 0， 1 +a +11b +1= 1，2则 a + 2b 的最小值是 （ ）A.23B.2C.3 D. 2培优点二 “1”的代换8（2019 届温州 5 月模拟 13）已知正数 a ，b 满足 a + b = 1，则 b + 1 的最小值等于 ，a b此时 a = 9（2018 浙江期中）若正数 a ， b 满足 2a + 1 = 1，则 2 + b的最小值为 （ ）2b aA.24B.8C.8 D. 910（2017 西湖区校级期末）已知实数 x ， y 满足 x y 0 ，
4、且 x + y = 2 ，则 4 + 1 的最小值是 .x + 3y x - y11.（18 届金华十校高一下期末）记 maxx, y, z 表示 x ， y ， z 中的最大数，若 a 0 ， b 0 ，则 maxa, b, 1 + 3 的最小值为 （ ）a b23A. B. C. 2 D. 312.已知 a, b 为正实数，且 a + b = 2 ，则 a2 + 2 + b2 - 2 的最小值为 a b + 113.已知正实数 a, b 满足 1 + 2 = 1，则 ab 的最大值为 (2a + b) b (2b + a)a（补充题）已知 x, y 0 ，则6xy x2 + 9 y2+2x
5、y x2 + y2的最大值是培优点三换元法14.（2019 届超级全能生 2 月）已知正数 x, y 满足 x + y = 1，则 1 + 1 的最小值是（ ）1 + x 1 + 2 yA.33B.7C. 3 + D. 62 228 6 5 515（2019 届余高、缙中、长中 5 月模拟 7）已知 log2 (a - 2 ) + log2 (b -1) 1 ，则 2a + b 取到最小值时 ab = （ ）A3 B4 C6 D916（2018 温州期中）已知实数 x, y 满足 2x y 0 ，且 1 + 1 =1， 2x - y x + 2 y则 x + y 的最小值为 （ ）A 3 +
6、2 35B 4 + 2 35C 2 + 4 35D 3 + 4 3517（2018 杭州期末）若正数 a,b 满足 a + b = 1，则a +a + 1b b + 1的最大值是18（2017 湖州期末）若正实数 x, y 满足 2x + y = 2 ，则4x2 +y 的最小值是 2y + 1 2x + 219（2018 河北区二模） 若正数 a, b 满足 1 + 1 = 1, 1 + 9 的最小值为 a b a - 1 b - 1 （ ）A.1 B. 6 C. 9 D.1620（温岭市 2016 届高三 5 月高考模拟） 已知实数 x, y 满足 xy - 3 = x + y ，且 x 1
7、则 y(x + 8)的最小值是 （ ）A.33 B.26 C.25 D.2121若正数 x, y 满足 1 + 1 = 1，则 4x + 9 y 的最小值为x y x - 1 y - 122. （2018 届嘉兴期末）已知实数x, 满足 4x + 9y = 1 ，则 2x+1 + 3y +1 的取值范围是 23.（2018 上海二模）若实数x, 满足 4x + 4y = 2x +1 + 2y +1 ，则 S = 2x + 2y 的取值范围是 培优点四和、积、平方和三量减元24.(2019 届台州 4 月模拟)设实数a,b满足 a + b = 4 ，则 ab 的最大值为 ；(a2 + 1)(b2
8、 + 1)的最小值为 25.（2019 届镇海中学考前练习 14）已知 x 0, y 0, xy (x + y ) = 4 ，则 xy 的最大值为 ，2x + y 的最小值为 26.（2018 春 台州期末）已知 a, b R, a + b = 2 ，则1 +a2 + 11b2 + 1的最大值为 （ ）A.1B.6 5C. 2 + 12D. 227.（2016 宁波期末 14）若正数 x, y 满足 x2 + 4 y2 + x + 2 y = 1 ，则 xy 的最大值为 28.（2018 届诸暨市期中）已知实数 x, y 满足 x + 4 y = 1 - 2 ，则 2xy的最大值为（ ）y x
9、 xyx + 2 y -1A.2 3 3B.32C.2 33 + 1D. 3 + 1229. (2018 台 州 一 模 ) 非 负 实 数 x 、 y 满 足 x2 + 4 y2 + 4xy + 4x2 y2 = 32, 则 x + 2 y 的 最 小值 , 7(x + 2 y) + 2xy的最大值 yxy + 130.（2018 春南京）若 x、y (0,+) , x + + xy = 4. 则2 2的取值范围 2 x y+ 2xy + 1731.（2017 武进区模拟）已知正实数 x 、 y 满足 xy + 2x + 3y = 42, 则 xy+5x + 4 y 的最小值为 32（201
10、7 宁波期末）若正实数 a, b 满足(2a + b)2 = 1+ 6ab ，则ab2a + b + 1的最大值为培优点五 轮换对称与万能 K 法x2 + y233（2019 嘉兴 9 月基础测试 17）已知实数 x, y 满足 x2 + xy + 4 y2 = 1，则 x + 2 y 的最大值为 34（2016 暨阳联谊）已知正实数 x, y 满足 2x + y = 2 ，则 x +的最小值为 35 已知正实数 a, b 满足9a2 + b2 = 1，则ab3a + b的最大值为36已知实数 a, b, c 满足 a + b + c = 0,a 2 + b2 + c 2 = 1 ，则 a 的
11、最大值为 37.（2018 届杭二高三下开学）若9x2 + 4 y2 + 6xy = 1, x, y R ，则9x + 6 y 的最大值为 培优点六 消元法（必要构造函数求导）38（2016 十二校联考 13） 若存在正实数 y ，使得xy y - x= 15x + 4 y，则实数 x 的最大值为 39（2019 届镇海中学5 月模拟 13）已知 a,b R+且 a + 2b = 3，则 1a+2 的最小值是 ，b1 + 2a2 b2的最小值是2a b40（2019 届金华一中 5 月模拟 9） 已知正实数 a，b 满足 a + b = 1，则a2 + b +的a + b2最大值是 （ ）22
12、 333 22A.2 B.1+ C.1+ D.1+41（2017 西湖区校级模拟）已知正实数 a, b 满足 a2 - b + 4 0 ,则u = 2a + 3b （ ）a + b14A.有最大值为5B.有最小值为145C.没有最小值 D.有最大值为 342（2018 湖州期末）已知 a, b 都为正实数，且 1 + 1 = 3 ，则 ab 的最小值是 ，a b1 + b ab的最大值是 培优点七 不等式算两次43设 a b 0 ,那么 a2 +1b(a - b)的最小值为 （ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 52 944.设a 2b 0 ，则(a - b)+ b (a - 2b )的最
13、小值为 45.（2017 天津）若 a, b R ， ab 0 ，则a4 + 4b4 + 1ab的最小值为 1 2 1 22 y46.若 x, y 是正数，则 x + + y + 2x 的最小值是 47.已知 a, b, c (0, +)，则(a2 + b2 + c2 )2 + 5 2bc + ac的最小值为 48（2018 天津一模）已知 a b 0 ，则 2a +3 +a + b2a - b的最小值为 49.（2016 台州期末）已知正实数 a, b ，满足 a2 - b + 4 0，则u = 2a + 3b （ ）a + b14A.有最大值为514B.有最小值为5C.，没有最小值 D.有
14、最大值为 350.已知 a 0, b 0, c 0且 a + b = 2 ，则 ac +bc - c +ab 25c - 2的最小值是培优点八 齐次化51（2019 届杭高高三下开学考 T17） 若不等式 x2 - 2 y2 cx( y - x) 对满足 x y 0 的任意实数 x, y 恒成立，则实数 c 的最大值为 52（2019 届绍兴一中 4 月模拟）已知 x 0, y 0, x + 2 y = 3，则x2 + 3y xy的最小值为（ ）2A.3 - 2B.2 + 1C.-1D.+153（2018浙江模拟）已知 a 0, b 0 ，则6ab 9b2 + a2+2ab b2 + a2的最
15、大值为 ，若 4x2 - xy + y2 = 25 则3x2 + y2 的取值范围是 54.(2016 新高考研究联盟二模)实数 x, y 满足 x2 - 2xy + 2 y2 = 2 ，则 x2 + 2 y2 的最小值是 培优点九 待定与技巧性强的配凑55.(2016 大联考)若正数 x, y, z 满足3x + 4 y + 5z = 6 ，则 1+4 y + 2 z 的最小值为2 y + z x + z56.(2016 杭二最后一卷)若正数 x, y 满足 1 + 1 = 1，则 x2 - 10xy + y2 的最小值为x y57.（2016 宁波二模）已知正数 x ， y 满足 xy 1
16、 ，则 M =11 + x+ 11 + 2 y的最小值为58.（2016 浙江模拟）已知实数 a ， b ， c 满足 1 a2 + 1 b2 + c2 = 1，则 ab + 2bc + 2ca 的取值范4 4围是 （ ）A. (-, 4B. -4, 4C. -2, 4D. -1, 459.已知 x ， y ， z (0, +) 且 x2 + y2 + z2 = 1，则3xy + yz 的最大值为 60（2016 大联考）设 x, y, z, w R ，且满足 x2 + y2 + z2 + w2 = 1,则 P = xy + 2 yz + zw 的最大值是 x61（2017 学年杭二高三第 3
17、 次月考）已知T = min (z+ y )2 , (x+ y )2 , ( +)2 ，且zx + y + z = 2 ，则T 的最大值是 （ ）A.8362已知 a,b, c R+ ,则B.8 C. 43a2 + b2 + c2的最小值是 ab + 2bcD. 2363已知 a, b, c R ，且 a2 + b2 + c2 = 4 ，则 5ab +2bc 的最大值是 64已知 a, b, c R ，且 a2 + b2 + c2 = 4 ，则 ac + bc 的最大值是 ；又若 a + b + c = 0 ， 则 c 的最大值是 培优点十 多元变量的不等式最值问题65（2019 届浙江名校新
18、高考研究联盟 9 题）已知正实数 a, b, c, d 满足 a + b = 1, c + d = 1 ，则1 + 1 的最小值是 （ ）3abc d2A.10 B. 9 C. 4 xy + 2z = 1D.366（2019 届杭四仿真考）已知实数 x，y，z为 ；此时 z= 满足 x2 + y2 + z 2 = 5，则 xyz 的最小值67.（2019 届慈溪中学 5 月模拟）若正实数 a, b, c 满足 a(a + b + c)= bc 则为 a b + c的最大值a2 + c268.（17 浙江期末）已知 a, b, c R 且 a + b + c = 0 , a b c ,则 b的取
19、值范围是（ ）55 5 1 1 A. - ,B. - , C.(-2, 2 )D. -2, 5 5 5 5 5 69.（2018浦江县模拟）已知实数 a, b, c 满足 a2 + b2 + c2 = 1，则 ab + c 的最小值为 （ ）A.-2 B. - 32C.-1 D. - 1270.（2016秋湖州期末）已知实数 a, b, c 满足 a2 + 2b2 + 3c2 = 1，则 a + 2b 的最大值是（ ）A.35B.2 C. D.371.（2019江苏一模）若正实数a,b, c 满足ab = a + 2b, abc = a + 2b + c，则 c 的最大值为 72.（2018
20、秋辽宁期末）设 a、b、c 是正实数满足 a + b c ，则 b + a 的最小值为 a b + c+ =1 1 1 173.（2017 秋苏州期末）已知正实数a,b,c满足 1， + =1，则 c 的取值范围是 a b a + b c74:（2019 届浙江名校协作体高三下开学考 17）若正数 a, b, c 满足 a2 + b2 + c2 - ab - bc = 1，则 c的最大值是 75.（2018 届衢州二中 5 月模拟 12）已知非负实数 a, b, c 满足 a + b + c = 1，则(c - a)(c - b) 的取值范围为 76.（2018 届上虞 5 月模拟 16）若实
21、数 x, y, z 满足 x + 2 y + 3z = 1， x2 + 4 y2 + 9z2 = 1，则 z的最小值是 培优点十一 不等式综合应用4 177.（2018 春衢州期末）已知 x, y 0 ，若 x + 4 y + 6 = + ， 则x y4 + 1 的最小值是（ ）x yA. 6 B. 7 C. 8 D. 91 478（2018 嘉兴模拟）已知 x + y = + + 8(x, y 0) ,则 x + y 的最小值为 （ ）26x y3A. 5B.9C.4 + 2D.10179（2018 越城区校级）已知 x, y 0, 且 x + y + +1 = 19 ，则 3 - 7 的最
22、小值是x 2 y 4x 16 y80（2016 台州期末）已知实数 a,b, c (0,1) ，设 2 +a11 - b， 2 +b11 - c， 2 +c11 - a这三个数的2最大值为 M ，则 M 的最小值为 （ ）2A.5 B. 3 + 2C. 3 - 2D.不存在81.（2019 乐山模拟）已知实数 x, y 满足 x 1, y 0 ，且 x + 4 y +1 + 1 = 11 ， 则 1 + 的 1x - 1 yx -1 y最大值为 82（2019 乐山模拟）已知 x,y 为正实数,且满足 (xy - 1)2 = (3y + 2)( y - 2) ,则 x + 1 的最大值y为 83.（2019 届镇海中学最后一卷）已知 x, y 0 ，且 8x2+1 = 1，则 x + y 的最小值y
