1、上海市杨浦区届高三二模上海市杨浦区2019届高三二模数学试题一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 计算： .2. 函数的定义域为 .3. 若，则 .4. 若复数（表示虚数单位），则 .5. 曲线：（为参数）的两个顶点之间的距离为 .6. 若从一副张的扑克牌中随机抽取张，则在放回抽取的情形下，两张牌都是的概率为 （结果用最简分数表示）.7. 若关于的方程在区间上有解，则实数的取值范围是 .8. 若一个圆锥的母线与底面所成的角为,体积为,则此圆锥的高为 .9. 若函数（）的反函数为，则= .10. 若三棱锥的所有的顶点都在球的球面上，平面，则球的表面积为
2、.11.设，若不等式对于任意的恒成立，则的取值范围是 .12.在中，、分别是、的中点，是直线上的动点.若的面积为，则的最小值为 . 二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. “”是“且”成立的（ ）A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件14. 如图，点、分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，平面的法向量为，设二面角的大小为，则（ ）A. B. C. D. 15. 已知等比数列的前项和为，则下列判断一定正确的是（ ）A. 若，则 B. 若，则C. 若，则 D. 若，则16. 给出下列三个命题：命题1：存在奇函数（）和偶函数（），使得函数（
3、）是偶函数；命题2：存在函数、及区间，使得、在上均是增函数，但在上是减函数；命题3：存在函数、（定义域均为），使得、在（）处均取到最大值，但在处取到最小值；那么真命题的个数是（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图所示，在棱长为2的正方体中，、分别是、的中点.（1）求三棱锥的体积；（2）求异面直线与所成的角的大小.18. 已知函数.（1）当，且，求的值；（2）在中，、分别是角、的对边，当，时，求的值.19. 某公司利用APP线上、实体店线下销售产品A，产品A在上市20天内全部售完，据统计，线上日销售量、线下日销
4、售量（单位：件）与上市时间（）天的关系满足：，（），产品A每件的销售利润为（单位：元）（日销售量=线上日销售量+线下日销售量）.（1）设该公司产品A的日销售利润为，写出的函数解析式；（2）产品A上市的哪几天给该公司带来的日销售利润不低于5000元？20. 已知椭圆（），其左、右焦点分别为、，上顶点为，为坐标原点，过的直线交椭圆于、两点，.（1）若直线垂直于轴，求的值；（2）若，直线的斜率为，则椭圆上是否存在一点，使得、关于直线成轴对称？如果存在，求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）设直线上总存在点满足，当的取值最小时，求直线的倾斜角. 21. 无穷数列（），若存在正整数，使得该数列由个
5、互不相同的实数组成，且对于任意的正整数，中至少有一个等于，则称数列具有性质，集合.（1）若，判断数列是否具有性质；（2）数列具有性质，且，求的值；（3）数列具有性质，对于中的任意元素，为第个满足的项，记（），证明：“数列具有性质”的充要条件为“数列是周期为的周期数列，且每个周期均包含个不同实数”.上海市杨浦区2019届高三二模一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. “”是“且”成立的（ ）A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件【解析】B14. 如图，点、分别在
6、空间直角坐标系的三条坐标轴上，平面的法向量为，设二面角的大小为，则（ ）A. B. C. D. 【解析】，选C15. 已知等比数列的前项和为，则下列判断一定正确的是（ ）A. 若，则 B. 若，则C. 若，则 D. 若，则【解析】A反例，则；B反例，则；C反例同B反例，；故选D 16. 给出下列三个命题：命题1：存在奇函数（）和偶函数（），使得函数（）是偶函数；命题2：存在函数、及区间，使得、在上均是增函数，但在上是减函数；命题3：存在函数、（定义域均为），使得、在（）处均取到最大值，但在处取到最小值；那么真命题的个数是（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【解析】命题1：，；命题2：，
7、；命题3：，；均为真命题，选D三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图所示，在棱长为2的正方体中，、分别是、的中点.（1）求三棱锥的体积；（2）求异面直线与所成的角的大小.【解析】（1）（2），所成角为18. 已知函数.（1）当，且，求的值；（2）在中，、分别是角、的对边，当，时，求的值.【解析】（1），（2），由余弦定理， 19. 某公司利用APP线上、实体店线下销售产品A，产品A在上市20天内全部售完，据统计，线上日销售量、线下日销售量（单位：件）与上市时间（）天的关系满足：，（），产品A每件的销售利润为（单位：元）（日销售量=线上日销售量+线下日销
8、售量）.（1）设该公司产品A的日销售利润为，写出的函数解析式；（2）产品A上市的哪几天给该公司带来的日销售利润不低于5000元？【解析】（1）（2），第5天到第15天20. 已知椭圆（），其左、右焦点分别为、，上顶点为，为坐标原点，过的直线交椭圆于、两点，.（1）若直线垂直于轴，求的值；（2）若，直线的斜率为，则椭圆上是否存在一点，使得、关于直线成轴对称？如果存在，求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）设直线上总存在点满足，当的取值最小时，求直线的倾斜角. 【解析】（1）， （2），关于l对称点，不在椭圆上（3）设，点差得，联立，得，代入直线l， 21. 无穷数列（），若存在正整数，使得该数列由个互不相同的实数组成，且对于任意的正整数，中至少有一个等于，则称数列具有性质，集合.（1）若，判断数列是否具有性质；（2）数列具有性质，且，求的值；（3）数列具有性质，对于中的任意元素，为第个满足的项，记（），证明：“数列具有性质”的充要条件为“数列是周期为的周期数列，且每个周期均包含个不同实数”.【解析】（1），对任意正整数，恒成立，具有性质（2）分类讨论，得结论，有周期性，周期为3，（3）略
