1、高考数学理一轮复习文档第一章集合与常用逻辑用语第3讲命题及其关系充分条件与必要条件Word版第3讲命题及其关系、充分条件与必要条件 1命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题2四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系3充分条件、必要条件与充要条件(1)若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)若pq且q p，则p是q的充分不必要条件；(3)若p q且qp，则p是q的必要不充分条件；(4)若pq，则
2、p是q的充要条件1辨明两个易误点(1)否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论(2)注意区别A是B的充分不必要条件(AB且BA)，与A的充分不必要条件是B(BA且AB)两者的不同2充要条件常用的三种判断方法(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假(2)等价法：利用AB与綈B綈A，BA与綈A綈B，AB与綈B綈A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法(3)利用集合间的包含关系判断：若AB，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若AB，则A是B的充要条件1. “(x1)(x2)0”是“x1”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要
3、条件D既不充分也不必要条件 B2. “x4”是“x22x30”的()A充要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件B 因为x22x30，所以该不等式的解集为x|x3，所以x4x22x30.但x22x30x4，所以“x4”是“x22x30”的充分而不必要条件3(2015高考山东卷)设mR，命题“若m0，则方程x2xm0有实根”的逆否命题是()A若方程x2xm0有实根，则m0B若方程x2xm0有实根，则m0C若方程x2xm0没有实根，则m0D若方程x2xm0没有实根，则m0D 根据逆否命题的定义，命题“若m0，则方程x2xm0有实根”的逆否命题是“若方程x2xm0没有实根，则
4、m0”故选 D 4. 命题：“若一个三角形的两边不相等，则这两条边所对的角也不相等”的否命题是_ “若一个三角形的两边相等，则这两条边所对的角也相等”四种命题的相互关系及真假判断(1)(2017银川模拟)命题“若x2y20，x，yR，则xy0”的逆否命题是()A若xy0，x，yR，则x2y20B若xy0，x，yR，则x2y20C若x0且y0，x，yR，则x2y20D若x0或y0，x，yR，则x2y20(2)命题p：“矩形的对角线相等”的逆命题为q，则p与q的真假性是()Ap真q假 Bp真q真Cp假q真 Dp假q假【解析】(1)将原命题的条件和结论否定，并互换位置即可由xy0知x0且y0，其否定
5、是x0或y0.(2)q：对角线相等的四边形是矩形，根据矩形的性质可知，p真，q假【答案】(1)D(2)A判断四种命题间关系、真假的方法(1)写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写，当一个命题有大前提时，写其他三个命题时，大前提需要保持不变；(2)当一个命题直接判断真假不容易进行时，可转而判断其逆否命题的真假 1命题“若ab，则a1b1”的否命题是()A若ab，则a1b1B若ab，则a1b1C若ab，则a1b1D若ab，则a1b1C 根据否命题的定义可知，命题“若ab，则a1b1”的否命题应为“若ab，则a1b1”，故选C.2命题“若x23x40，则
6、x4”的逆否命题及其真假性为()A“若x4，则x23x40”为真命题B“若x4，则x23x40”为真命题C“若x4，则x23x40”为假命题D“若x4，则x23x40”为假命题C 根据逆否命题的定义可以排除A，D，由x23x40，得x4或1，故选C.3下列命题中为真命题的是()A命题“若x1，则x21”的否命题B命题“若xy，则x|y|”的逆命题C命题“若x1，则x2x20”的否命题D命题“若1，则x1”的逆否命题B 对于A，命题“若x1，则x21”的否命题为“若x1，则x21”，易知当x2时，x241，故为假命题；对于B，命题“若xy，则x|y|”的逆命题为“若x|y|，则xy”，分析可知为
7、真命题；对于C，命题“若x1，则x2x20”的否命题为“若x1，则x2x20”，易知当x2时，x2x20，故为假命题；对于D，命题“若1，则x1”的逆否命题为“若x1，则1”，易知为假命题，故选 B充分条件、必要条件的判断(高频考点)充分条件、必要条件的判断是高考命题的热点，常以选择题的形式出现，作为一个重要载体，考查的知识面很广，几乎涉及数学知识的各个方面高考对充要条件的考查主要有以下两个命题角度：(1)判断指定条件与结论之间的关系；(2)与命题的真假性相交汇命题(1)(2016高考天津卷)设x0，yR，则“xy”是“x|y|”的()A充要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件D既不充分也
8、不必要条件(2)给出下列命题：“数列an为等比数列”是“数列anan1为等比数列”的充分不必要条件；“m3”是“直线(m3)xmy20与直线mx6y50互相垂直”的充要条件；设a，b，c分别是ABC三个内角A，B，C所对的边，若a1，b，则“A30”是“B60”的必要不充分条件其中真命题的序号是_【解析】(1)由xy推不出x|y|，由x|y|能推出xy，所以“xy”是“x|y|”的必要而不充分条件(2)对于，当数列an为等比数列时，易知数列anan1是等比数列，但当数列anan1为等比数列时，数列an未必是等比数列，如数列1，3，2，6，4，12，8显然不是等比数列，而相应的数列3，6，12，
9、24，48，96是等比数列，因此正确；对于，当m3时，相应的两条直线互相垂直，反之，这两条直线垂直时，不一定有m3，也可能m0.因此不正确；对于，由题意得，若B60，则sin A，注意到ba，故A30，反之，当A30时，有sin B，由于ba，所以B60或B120，因此正确综上所述，真命题的序号是.【答案】(1)C(2)充要条件问题的常见类型及解题策略(1)充要条件的三种判断方法有定义法、集合法、等价转化法(见本讲要点整合)(2)充要条件与命题真假性的交汇问题依据命题所述的充分必要性，判断是否成立即可 角度一判断指定条件与结论之间的关系1(2017合肥市第一次教学质量检测)“x2”是“x22x
10、80”成立的()A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件B 由x22x80，可解得x2，所以“x2”是“x22x80”成立的充分不必要条件，故选B 角度二与命题的真假性相交汇命题2(2017黄冈中学月考)下列有关命题的说法正确的是()A“x1”是“x25x60”的必要不充分条件Bp：ABA；q：AB，则p是q的充分不必要条件C已知数列an，若p：对于任意的nN*，点Pn(n，an)都在直线y2x1上；q：an为等差数列，则p是q的充要条件D“x0”是“ln(1x)0”的必要不充分条件D 选项A：当x1时，x25x60，所以x1是x25x60的充分条件，故A错选项B：因为
11、ABA AB(如AB)，而ABABA，从而p q，qp，所以p是q的必要不充分条件，故B错选项C：因为Pn(n，an)在直线y2x1上所以an2n1(nN*)，则an1an2(n1)1(2n1)2，又由n的任意性可知数列an是以公差为2的等差数列，即pq.但反之则不成立，如：令ann，则an为等差数列，但点(n，n)不在直线y2x1上，从而q p.从而可知p是q的充分而不必要条件，故C错选项D：利用充分条件和必要条件的概念判断因为ln(x1)00x111x0，所以“x0”是“ln(x1)0”是“xa”的必要不充分条件，则a的最小值为_ 由x2x60，解得x3.因为“x2x60”是“xa”的必要
12、不充分条件，所以x|xa是x|x3的真子集，即a3，故a的最小值为3. 3 等价转化思想在充要条件中的应用已知p：2，q：1mx1m(m0)，且綈p是綈q的必要而不充分条件，则实数m的取值范围为_【解析】法一：由2，得2x10，所以綈p对应的集合为x|x10或x10或x0)，所以綈q对应的集合为x|xm1或x0，设Bx|xm1或x0因为綈p是綈q的必要而不充分条件，所以BA，所以且不能同时取得等号解得m9，所以实数m的取值范围为 由q綈p且綈pq可得p綈q且綈qp，所以p是綈q的充分而不必要条件2如果x，y是实数，那么“xy”是“cos xcos y”的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充
13、分条件D既不充分又不必要条件C 法一：设集合A(x，y)|xy，B(x，y)|cos xcos y，则A的补集C(x，y)|xy，B的补集D(x，y)|cos xcos y，显然CD，所以BA，于是“xy”是“cos xcos y”的必要不充分条件法二：(等价转化法)xycos xcos y，而cos xcos y xy. 1下列命题是真命题的是()A若，则xy B若x21，则x1C若xy，则 D若xy，则x2y2A 由得xy，A正确；由x21得x1，B错误；由xy，不一定有意义，C错误；由xy不一定能得到x2y2，如x2，y1，D错误，故选A.2命题“若x1，则x0”的逆否命题是()A若x0
14、，则x1 B若x0，则x1C若x0，则x1 D若x0，则x1A 依题意，命题“若x1，则x0”的逆否命题是“若x0，则x1”，故选A.3(2017上海模拟)原命题“若ABB，则ABA”与其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是()A0 B1C2 D4D 由题意可知，否命题为“若ABB，则ABA”，其为真命题；逆否命题为“若ABA，则ABB”，其为真命题由等价命题的真假性相同可知，该命题的逆命题与原命题也为真命题故选 D4设M1，2，Na2，则“a1”是“NM”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件A 若NM，则a21或a22，解得a1或a，所以“a1”是“N
15、M”的充分不必要条件，故选A.5(2016高考四川卷)设p：实数x，y满足x1且y1，q：实数x，y满足xy2，则p是q的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件A 若x1且y1，则有xy2成立，所以pq；反之由xy2不能得到x1且y1.所以p是q的充分不必要条件6(2017大连质检)命题“若a，b，c成等比数列，则b2ac”的逆否命题是()A“若a，b，c成等比数列，则b2ac”B“若a，b，c不成等比数列，则b2ac”C“若b2ac，则a，b，c成等比数列”D“若b2ac，则a，b，c不成等比数列”D 根据原命题与其逆否命题的关系，易得命题“若a，b，c成等比数
16、列，则b2ac”的逆否命题是“若b2ac，则a，b，c不成等比数列”7下列命题中正确的个数是()命题“若m1，则方程x22xm0有实根”的逆命题为“若方程x22xm0有实根，则m1”；“x1”是“x23x20”的充分不必要条件；一次函数f(x)kxb(k0)是奇函数的充要条件是b0.A0 B3C2 D1C 对于，命题“若m1，则方程x22xm0有实根”的逆命题为“若方程x22xm0有实根，则m1”，故正确；对于，由x23x20，解得x1或x2，所以“x1”不是“x23x20”的充分不必要条件，故错误；对于，因为f(x)kxb(k0)是奇函数，所以f(x)f(x)，即k(x)b(kxb)，所以b
17、0，反之，如果b0，那么f(x)kx，所以f(x)kxf(x)，所以f(x)为奇函数，故正确正确命题的个数为2，故选C.8(2017荆门模拟)下列命题中正确的个数为()“若一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除”的逆命题；“若一个三角形有两条边相等，则这个三角形有两个角相等”的否命题；“奇函数的图象关于原点对称”的逆否命题；“每个正方形都是平行四边形”的否定A1 B2C3 D4B “若一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除”的逆命题为“若一个整数能被5整除，则这个整数的末位数字是0”，显然错误，故错误；“若一个三角形有两条边相等，则这个三角形有两个角相等”的逆命题为“若一个三角形有
18、两个角相等，则这个三角形有两条边相等”，显然正确，根据原命题的逆命题与否命题的等价性知原命题的否命题正确，故正确；“奇函数的图象关于原点对称”正确，根据原命题与逆否命题的等价性知原命题的逆否命题正确，故正确；“每个正方形都是平行四边形”正确，则“每个正方形都是平行四边形”的否定错误，故错误故正确的个数是2，故选 B9(2017合肥市第一次教学质量检测)“x1”是“x2”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件A 由题意得，x2x0，所以“x1”是“x2”的充分不必要条件，故选A.10若p：|x|2，q：xa，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是()Aa2 B
19、a2Ca2 Da2A p：|x|2，即2x2，因为q：xa，且p是q的充分不必要条件，所以a2，故选A.11(2017济南模拟)若alog2x，b，则“ab”是“x1”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件A 函数alog2x，b的图象如图所示，由图象可知，若ab，则x2，即x1成立，反之，若x1，当x时，a0；命题q：xa，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是()ACA 由x22x30，得x1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件故a1.13对于原命题：“已知a、b、cR，若ac2bc
20、2，则ab”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题，真命题的个数为_ 原命题为真命题，故逆否命题为真；逆命题：若ab，则ac2bc2为假命题，故否命题为假命题，所以真命题个数为2. 214函数f(x)x2mx1的图象关于直线x1对称的充要条件是_ 已知函数f(x)x22x1的图象关于直线x1对称，则m2；反之也成立所以函数f(x)x2mx1的图象关于直线x1对称的充要条件是m2. m215有下列四个命题：“若xy1，则x，y互为倒数”的逆命题；“面积相等的三角形全等”的否命题；“若m1，则x22xm0有实数解”的逆否命题；“若ABB，则AB”的逆否命题其中真命题为_(填写所有真命题的序号) “若xy1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy1”，显然是真命题，故正确；“面积相等的三角形全等”的否命题是“面积不相等的三角形不全等”，显然是真命题，故正确；若x22xm0有实数解，则44m0，解得m1，所以“若m1，则x22xm0有实数解”是真命题，故其逆否命题是真命题，故正确；若ABB，则BA，故原命题错误，所以其逆否命题错误，故错误 16若命题“ax22ax30不成立”是真命题，则实数a的取值范围是_ 由题意知ax22ax30恒成立，当a0时，30成立；当a0时，得解得3a0，故3a0.
