1、高中数学题型第06讲 函数的单调性的判断证明和单调区间的求法解析【知识要点】一、判断函数单调性的方法判断函数单调性一般有四种方法：单调四法 导数定义复合图像1、定义法 用定义法判断函数的单调性的一般步骤：取值，设，且；作差，求；变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）；判断的正负符号；根据函数单调性的定义下结论.2、复合函数分析法设， ，都是单调函数，则在上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数.如下表：增增增增减减减增减减减增3、导数判断法设在某个区间内有导数，若在区间内，总有，则在区间上为增函数（
2、减函数）.4、图像法 一般通过已知条件作出函数图像的草图，如果函数的图像，在某个区间，从左到右，逐渐上升，则函数在这个区间是增函数；如果从左到右，是逐渐下降，则函数是减函数.二、证明函数的单调性的方法证明函数的单调性一般有三种方法：定义法、复合函数分析法和导数法.由于数学的证明是比较严谨的，所以图像法只能用来判断函数的单调性，但是不能用来证明.三、求函数的单调区间求函数的单调区间：单调四法，导数定义复合图像1、定义法 :由于这种方法比较复杂，所以一般用的较少. 2、复合函数法:先求函数的定义域，再分解复合函数，再判断每一个内层函数的单调性，最后根据复合函数的单调性确定函数的单调性.3、导数法:
3、先求函数的定义域，然后求导，再解不等式,分别和求交集，得函数的递增（减）区间 . 4、图像法:先利用描点法或图像的变换法作出函数的图像，再观察函数的图像，写出函数的单调区间.四、一些重要的有用的结论 1、奇函数在其对称区间上的单调性相同，如函数、和；偶函数在其对称区间上的单调性相减，如函数. 2、在公共的定义域内，增函数+增函数是增函数，减函数+减函数是减函数.其他的如增函数增函数不一定是增函数，函数和函数都是增函数，但是它们的乘积函数不是增函数. 3、求函数的单调区间，必须先求函数的定义域，即遵循“函数问题定义域优先的原则”. 4、单调区间必须用区间来表示，不能用集合或不等式，单调区间一般写
4、成开区间，不必考虑端点问题. 5、在多个单调区间之间不能用“或”和“”连接，只能用逗号隔开.如函数的增区间为.不要写成.【方法讲评】方法一定义法使用情景一般适用于结构较简单的函数.解题步骤取值，设，且；作差，求；变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）；判断的正负符号；根据函数单调性的定义下结论.【例1】证明函数在区间是增函数.【点评】（1）本题就是利用定义判断函数单调性的典型例题，其中关键是第三步变形，多利用因式分解等知识,但是一定要变形到最后能判断它的符号为止.（2）有些同学在判断的符号时，没有利用到，且，一般情况下是有问题的，必须利用这些条件你才能确定符号. 学.科.网【反馈检测1】讨
5、论函数在上的单调性.【例2】已知函数的定义域是的一切实数，对定义域内的任意，都有，且当时，.（1）求证是偶函数；（2）在上时增函数；（3）解不等式.【解析】 【点评】（1）本题是对抽象函数的单调性的判断和证明，其实和具体的函数的单调性的判断和证明的方法本质上是一样的.区别在于一个有解析式，一个没有.所以在变形和判断的符号时，难度要大一些，主要是充分利用已知条件进行变形.(2)本题第2问的关键是对的变形，要充分利用已知条件“，且当时”，所以可以这样拆，.（3）对于抽象函数的问题，常用赋值法解答，即根据解题的需要，给已知条件中的等式的变量赋恰当的值.【反馈检测2】已知是定义在区间上的奇函数，且，若
6、时，有.（1）解不等式（2）若对所有恒成立，求实数的取值范围.方法二导数法使用情景一般使用于结构较复杂的函数.解题步骤先求函数的定义域，再求导，再判断的符号，最后下结论.【例3】已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）设.如果对任意，求的取值范围.（2）不妨假设，而-1，由（1）知在（0，+）单调减少，从而，等价于 ， 令，则等价于在（0，+）单调减少，即. 从而 故的取值范围为. 【点评】（1）函数的问题，必须注意定义域优先的原则，所以利用导数求函数的定义域也必须先考虑函数的定义域.（2）对于参数的问题注意分类讨论和分离参数,第1问利用了分类讨论的数学思想，第2问利用了分离参数的方法. 分类讨
7、论和分离参数是处理参数问题很常用的两种重要方法. 【反馈检测3】已知函数.(1)当时，讨论的单调性；（2）设当时，若对任意，存在，使，求实数取值范围.【例4】 设函数，求函数的单调区间与极值.【点评】对于三角函数，也可以利用求导的方法求函数的单调区间和极值，它们的方法是一样的.【反馈检测4】 某地有三家工厂，分别位于矩形的顶点及的中点处，已知, ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形的区域上（含边界），且与等距离的一点处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道，设排污管道的总长为（1）按下列要求写出函数关系式：设，将表示成的函数关系式；设 () ，将表示成的函数关系式（2）请你选用（1）中的一个函数关
8、系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短【反馈检测5】函数的导函数，对，都有成立，若，则满足不等式的的范围是（ ）A B C D 【反馈检测6】【2017天津，理6】已知奇函数在R上是增函数，.若，则a，b，c的大小关系为（ ）（A） （B） （C） （D）方法三复合函数分析法使用情景较简单的复合函数.解题步骤先求函数的定义域，再分解复合函数，再判断每一个内层函数的单调性，最后根据复合函数的单调性确定函数的单调性.【例5】【2017课标，文8】函数的单调递增区间是（ ）A. B. C. D. 【点评】（1）函数的问题，不管是具体函数，还是抽象的函数，都要注意“定义域优先”的原则.所
9、以求函数的单调区间，首先必须求函数的定义域. （2）分解函数时，要把函数分解成一些初等函数,才能比较熟练地写出这些内层函数的单调性.【反馈检测7】 已知函数，在轴右侧的第一个最高点的横坐标为.(1)求；(2)若将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数的最大值及单调递减区间方法四图像法使用情景函数的图像比较容易画出.解题步骤一般通过已知条件作出函数图像的草图，如果函数的图像，在某个区间，从左到右，逐渐上升，则函数在这个区间是增函数；如果从左到右，是逐渐下降，则函数是减函数.【例6】求函数的单调区间.【点评】函数的同种单调区间之间
10、一般不用“”连接，一般用“，”隔开.【反馈检测8】 已知函数（1）求函数的解析式；（2）若=2，求的值；（3）画出该函数的图像并根据图像写出单调区间. 高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第06讲：函数的单调性的判断、证明和单调区间的求法参考答案【反馈检测1答案】当时，原函数是增函数；当时，原函数是减函数.【反馈检测2答案】（1）；（2）【反馈检测2详细解析】【反馈检测3答案】（1）当时，函数在单调递减，单调递增；当时，恒成立，此时，函数在单调递减；当时，函数在单调递减，单调递增，单调递减. （2）.【反馈检测3详细解析】(1)，所以.令（1）当时，当,函数单调递减；当，函数单调递增.（2）当时
11、，在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意，有，又已知存在，使，所以，（）又当时，与（）矛盾；当时，也与（）矛盾；当时，.综上，实数的取值范围是.【反馈检测4答案】(1) ；.(2) 点位于线段的中垂线上，且距离边km处.（2）选择函数模型， 令0 得sin，因为，所以=，当时， ，是的减函数；当时， ，是的增函数，所以当=时，.这时点位于线段的中垂线上，且距离边处.【反馈检测5答案】C【反馈检测5详细解析】设在定义域上单调递增，不等式即， 即，选C.【反馈检测6答案】C【反馈检测7答案】（1）；（2）函数取得最大值，为函数的单调递减区间【反馈检测7详细解析】(1) ，将代入可得.(2)由(1)得.经过题设的变化得到的函数当时，函数取得最大值.令，即，为函数的单调递减区间【反馈检测8答案】（1）； （2）或；（3）函数的单调减区间为单调增区间为.【反馈检测8详细解析】 所以函数的单调减区间为单调增区间为
