1、初二数学上学期知识点和典型例题总结全等三角形类型一：全等三角形性质的应用1、如图，写出图中的对应边和对应角. 思路点拨: ，和是对应边，A是公共角，A和A是对应角，按对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边可求解.解析：和是对应边，和、和是对应边，A和A是对应角，B和C， 和是对应角.总结升华：已知两对对应顶点，那么以这两对对应顶点为顶点的角是对应角，第三对角是对应角；再由对应角所对的边是对应边，可找到对应边.已知两对对应边，第三对边是对应边，对应边所对的角是对应角.举一反三：【变式1】如图，.问线段和相等吗？为什么？【答案】证明：由，得， 则，即。【变式2】如右图，。 求证：【答案】2
2、、如图，已知，30，50，2，求的度数与的长。思路点拨: 由全等三角形性质可知：，所以只需求的度数与的长即可。解析：在中， 180-B，又30，50，所以100.又因为，所以，（全等三角形对应角相等，对应边相等）。所以1002。总结升华：全等三角形的对应角相等，对应边相等。举一反三：【变式1】如图所示，90. 求证：（1）；（2）.【答案】(1）因为，所以（全等三角形的对应角相等）.因为180，所以90.所以.(2）因为,所以（全等三角形的对应角相等）.因为180，所以90.因为90,所以.所以.类型二：全等三角形的证明3、如图，求证： 思路点拨: 欲证，由已知可知已具备一边一角，由公理的条件
3、判断还缺少这角的另一边，可通过而得解析：(已知)(等式性质)即 在与中()总结升华：利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形，(2)证明这两个三角形全等；(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等举一反三：【变式1】如图，已知，求证：【答案】34在和中()12(全等三角形对应角相等)(内错角相等两直线平行)【变式2】如图，已知于B，于C，且， 求证 【答案】(已知) 90(垂直定义)同理可证90，在和中(SAS)(全等三角形对应边相等)类型三：综合应用4、如图，为的中线。求证：2. 思路点拨: 要证2，由图想到：，所以2，
4、所以不能直接证出。由2想到构造一条线段等于2，即倍长中线。解析：延长至E，使，连接因为为的中线，所以.在和中，所以().所以.在中，所以2.总结升华：通过构造三角形全等，将待求的线段放在同一个三角形中。举一反三：【变式1】已知：如图，在中，,90,1=2，的延长线于E， 求证：2.【答案】分别延长、交于F. 因为,所以90.在和中，所以().所以.又因为90.所以90，1+90，1+90.所以.在和中，所以()所以.所以2.5、如图，BD， 求证：(1)，(2)，(3)思路点拨: (1)直接通过而得，(2)先证明，(3)由(1)(2)可证明而得，总之，欲证两边(角)相等，找这两边(角)所在的两
5、个三角形然后证明它们全等解析：(1)在与中()(全等三角形对应边相等)(2)(全等三角形对应角相等)(内错角相等，两直线平行)(3)在与中()(全等三角形对应角相等)总结升华：在复杂问题中，常将已知全等三角形的对应角(边)作为判定另一对三角形全等的条件举一反三：【变式1】如图，在中，延长边上的中线到F，使，延长边上的中线到G，使，求证 【答案】在与中()(全等三角形对应边相等)在与中()(全等三角形对应边相等)(等量代换)6、如图 ，于D，于E，、相交于F 求证：平分思路点拨: 若能证得得，由于、都是直角，可证得，而要证，就应先考虑与，由题意已知，是公共角，可证得解析：在与中()(全等三角形对
6、应边相等)在与中()(全等三角形对应角相等)平分(角平分线的定义)总结升华：条件和结论相互转化，有时需要通过多次三角形全等得出待求的结论。举一反三：【变式1】求证：有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等【答案】根据题意，画出图形，写出已知，求证已知：如图，在与ABC中B，C，于D，ADBC于 D且 D求证：ABC证明：在与ABD中 ABD()B(全等三角形对应角相等)在与ABC中ABC()【变式2】已知，如图，、相交于O，CD90 求证：【答案】90、为直角三角形在和中()在和中()7、中，D是底边上任意一点，垂足分别是E、F、G. 试判断：猜测线段 、的数量有何关系？并证明你的猜想。
7、思路点拨:寻求一题多解和多题一解是掌握规律的捷径解析：结论：方法一：（截长法）板书此种方法（3分钟） 作于M ， 四边形是矩形 B 而， 在和中 （） 总结升华：方法二（补短法）作交的延长线于M（证明过程略） 总结：截长补短的一般思路，并由此可以引申到截长法有两种截长的想法方法三（面积法）使用等积转化 引申：如果将条件“D是底边上任意一点”改为“D是底边的延长线上任意一点”，此时图形如何？、和会有怎样的关系？画出图形，写出你的猜想并加以证明举一反三：【变式1】三角形底边上的任意一点到两个腰上的距离和等于腰上的高。【答案】证明的过程使用三种证明方法，包括：（1）截长法（2）补短法（3）面积法 轴
8、对称考点一、关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识典例1下列几何图形中，线段角直角三角形半圆，其中一定是轴对称图形的有（）A1个B2个C3个D4个2正n边形有条对称轴，圆有条对称轴考点二、轴对称变换及用坐标表示轴对称典例：1、如图，90,308，D为中点，P为上一动点，连接、,则的最小值是 2、已知等边，E在的延长线上，平分，P为射线上一点，Q为上一点，连接、.若，求证是多少度考点四、线段垂直平分线的性质线段是轴对称图形，它的对称轴是线段的垂直平分线上的点到相等 归类回忆角平分线的性质角是轴对称图形，其对称轴是 角平分线上的点到相等典例1、如图，中，90，为平分线，E是的中点，求C的度数。2、
9、如图，中，连并延长交于D，求证：垂直平分3、如图是中边的垂直平分线，若8厘米，10厘米，则 的周长为（ ）A.16厘米 B.18厘米 C.26厘米 D.28厘米4、 如图，30，P是平分线上一点， ，28 , 则 5、如图，在中， = 90，的平分线交 于D. 过C点作于G，交于E. 过D点作于F.下列结论：； ；2； ；. 其中正确结论的序号是( ) A B C D考点五、等腰三角形的特征和识别典例1、如图，中，8，D在上，过D作 交于E，交于F，则四边形的周长为 。2、 如图，中，、分别平分与，过D且，若 = 7， = 8， = 6，则周长为( )A. 15 B . 14 C. 13 D. 18 3、 如图,点B、D、F在上、E在上，且,20o,则度4、已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40，则它的一个底角的度数是5、中， 是的垂直平分线，交于D，是的垂直平分线，交于E，若20，则等于 6、从一个等腰三角形纸片的底角顶点出发，能将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的底角等于 7、已知，在中，90，点D、E在直线上，且，则 = 度.8、如图：在中， 于点E, 于点F。试说明。9、如图在的边的延长线上，D点在边上，交于点F，.求证：是等腰三角形.考点六、等边三角形的特征和识别等边三角形
