1、高考数学一轮复习 102 排列教案2019-2020年高考数学一轮复习 10.2 排列教案知识梳理1.排列的概念：从n个不同元素中任取m个元素，按照一定的次序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A表示.2.排列数公式：从n个不同元素中任取m个元素的排列的个数A=n（n1）（n2）（nm+1）.3.附有限制条件的排列（1）对附有限制条件的排列，思考问题的原则是优先考虑受限制的元素或受限制的位置.（2）对下列附有限制条件的排列，要掌握基本的思考方法：元素在某一位置或元素不在某一位置；元素相邻捆绑法，即把相邻元素看成一个元素；元
2、素不相邻插空法；比某一数大或比某一数小的问题主要考虑首位或前几位.（3）对附有限制条件的排列要掌握正向思考问题的方法直接法；同时要掌握一些问题的逆向思考问题的方向间接法.点击双基1.把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同排法的种数为A.A B.AA C.AA D.A解析：按分步计数原理，第一步，将女生看成一个整体，则有A种方法；第二步，将女生排列，有A种排法.故总共有AA种排法.答案：B2.若2n个学生排成一排的排法数为x，这2n个学生排成前后两排，每排各n个学生的排法数为y，则x、y的关系为A.xy B.xy C.x=y D.x=2y解析：第一种排法数为A，第二种排法数为AA=A
3、，从而x=y.答案：C3.若S=A+A+A+A+A，则S的个位数字是A.8 B.5 C.3 D.0解析：A=1，A=2，A=6，A=24，而A，A，A中个位数字均为0，从而S的个位数字是3.答案：C4.（xx年天津，文16）从0，1，2，3，4，5中任取3个数字，组成没有重复数字的三位数，其中能被5整除的三位数共有_个.（用数字作答）解析：其中能被5整除的三位数末位必为0或5.末位为0的三位数其首次两位从15的5个数中任取2个排列而成方法数为A=20，末位为5的三位数，首位从非0，5的4个数中选1个，有C种挑法，再挑十位，还有C种挑法，合要求的数有CC=16种.共有20+16=36个合要求的数
4、.答案：36评述：本题主要抓住能被5整除的三位数的特征（末位数为0，5），还要注意分类讨论及排数字时对首位非0的限制.5.若直线Ax+By=0的系数A、B可以从0，2，3，4，5，6中取不同的值.这些方程表示不同直线的条数是_.解析：若A=0，表示直线y=0；若B=0，表示直线x=0；若A、B从集合中任取两个非零值有A种，其中2x+4y=0与3x+6y=0，4x+2y=0与6x+3y=0，2x+3y=0与4x+6y=0，3x+2y=0与6x+4y=0同.所以这些方程表示的直线条数为2+A4=18.答案：18典例剖析【例1】 一条铁路原有m个车站，为适应客运需要，新增加n（n1，nN*）个车站，
5、因而增加了58种车票（起迄站相同的车票视为相同的车票），问原来这条铁路有几个车站?现在又有几个车站?解：由题设AA=58，即n（2m1+n）=58=229.（1）若n=2，则2m1+n=29，m=14；（2）若n=29，则2m1+n=2，m=13，不合题意，舍去；（3）若n=1，则2m1+n=58，m=29；（4）若n=58，则2m1+n=1，m=28，不合题意，舍去.所以原有14个车站，现有16个车站；或者原有29个车站，现有30个车站.【例2】 从数字0、1、3、5、7中取出不同的三个作系数，可组成多少个不同的一元二次方程ax2+bx+c=0?其中有实数根的有几个？剖析：（1）二次方程要求
6、a不为0，故a只能在1、3、5、7中选，b、c没有限制.（2）二次方程要有实根，需=b24ac0，再对c分类讨论.解：（1）a只能在1、3、5、7中选一个有A种，b、c可在余下的4个中任取2个，有A种.故可组成二次方程AA=48个. （2）方程要有实根，需=b24ac0.c=0，a、b可在1、3、5、7中任取2个，有A种；c0，b只能取5、7，b取5时，a、c只能取1、3，共有A个；b取7时，a、c可取1、3或1、5，有2A个.故有实根的二次方程共有A+A+2A=18个. 【例3】 从0，1，2，3，4中取出不同的3个数字组成一个三位数，所有这些三位数的个位数字的和是多少？解：1，2，3，4在
7、个位上出现的次数相等，故（1+2+3+4）AA=90.评述：要考虑0不能作首位这个因素.深化拓展从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中取出不同的5个数字组成一个5位偶数.（1）有多少个这样的数？（2）所有这些5位数的个位数字的和是多少？答案：（1）A+CCA；（2）（2+4+6+8）CA.闯关训练夯实基础1.5名成人带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头尾，则不同的排法种数有A.AA种 B.AA种 C.AA种 D.A4A种解析：正先排大人，有A种排法，再排小孩，有A种排法（插空法）.故有AA种不同的排法.答案：A2.（xx年四川模拟题）在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字
8、的5位数中，大于23145且小于43521的数共有_.解法一：1、2、3、4、5组成无重复五位数，大于23145且小于43521的有（1）形如，后两位只能填5、4，有1种数合要求.（2）形如，第三位选4或5都满足要求，后两位任选都可.符合要求的数有CA=4种.（3）形如，第二位选4或5，后三位任选，方法数为CA=12种.（4）形如，第二位开始，均可任选，方法数为A=24种.（5）形如，第二位选1或2，后三位任选，方法数为CA=12种.同理形如，2A=4种，形如，1种.合要求总数为（1+4+12）2+24=58种.解法二：可用类似方法算出小于43521的5位数个数与小于等于23145的五位数个数
9、.两数之差即为小于43521且大于23145的五位数个数.答案：58种3.三个人坐在一排八个座位上，若每人的两边都要有空位，则不同的坐法种数为_.解析：根据题意，两端的座位要空着，中间6个座位坐三个人，再空三个座位，这三个座位之间产生四个空，可以认为是坐后产生的空.故共有A种.这种执果索因的思考方法是处理排列、组合问题常用的方法.答案：244.在所有无重复数字的四位数中，千位上的数字比个位上的数字大2的数共有_个.解析：形如20，31，42，53，64，75，86，97符合条件，共有8A=448个.答案：4485.用数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的四位数，（1）可组成多少个不同的四
10、位数?（2）可组成多少个四位偶数?（3）将（1）中的四位数按从小到大的顺序排成一数列，问第85项是什么?解：（1）AA=300或AA=300（间接法）.（2）AAAA=156.（3）千位是1的四位数有A=60个，千位是2，百位是0或1的四位数有2A=24个，第85项是2301. 培养能力6.甲、乙、丙、丁、戊5名同学进行某种劳动技术比赛，决出了第1到第5名的名次.甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从这个回答分析，5人的名次排列共可能有多少种不同的情况?（用数字作答）解：本题等价于5人排成一排，甲、乙都不站在排头且乙不站在排
11、尾的排法有多少种.乙的限制最多，故先排乙，有3种情况；再排甲，也有3种情况；余下3人有A种排法.故共有33A=54种不同的情况.7.用0、1、2、3、4、5这六个数字组成无重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的六位数的个数是多少个？解：（1）个位数为0，十位数可为1、2、3、4、5，故为A种；（2）个位数为1，十位数可为2、3、4、5，故为AAA个；（3）个位数为2，十位数为3、4、5，故为AAA个；（4）个位数为3，十位数为4、5，故为AAA个；（5）个位数为4，十位数为5，故为AA个.所以共有A+AA（A+A+A+1）=300个.8.（理）用1，2，3，4，5排成一个数字不重复的五位
12、数a1a2a3a4a5，满足a1a3，a3a5的五位数有多少个？解：因为a2a1、a3，a4a3、a5，所以a2只能是3、4、5.（1）若a2=3，则a4=5，a5=4，a1与a3是1或2，这时共有A=2个符合条件的五位数.（2）若a2=4，则a4=5，a1、a3、a5可以是1、2、3，共有A=6个符合条件的五位数.（3）若a2=5，则a4=3或4，此时分别与（1）（2）情况相同.所以，满足条件的五位数有2（A+A）=16个.（文）用0，1，2，3，4，5六个数字组成无重复数字的五位数，求比20314大的数的个数.解：比20314大的五位数可分为三类：第一类：3，4，5，共3A（个）；第二类：
13、21，23，24，25，共4A（个）；第三类：203，204，205，除去20314这个数，共3A1（个）.故比20314大的无重复数字的五位数有3A+4A+3A1=473（个）.还可以这样考虑：用0，1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数共A个.其中比20314小的有两类：第一类：0，1，共2A个；第二类：201，有A个，与20314相等的有1个，故比20314大的数共有A2AA1=473（个）.探究创新9.有点难度哟！8个人站成一排，其中A、B、C互不相邻且D、E也互不相邻的排法有多少种?解：先排去掉A、B、C外的5个人，有A种，再排A、B、C 3人，有A种.故有AA种（含D、E相邻）.
14、其中D、E相邻的有AAA种.满足条件的排法种数为AAAAA=11520.思考讨论下述解法少了哪种情况?解：先排A、B、C、D、E外的3人，有A种，再排A、B、C 3人，有A种（插空），最后排D、E 2人，有A种（插空）.故排法种数为AAA=6048.思悟小结对带有限制条件的排列问题，要掌握基本的解题思想方法：（1）直接法： （2）间接法；（3）一般先从特殊元素和特殊位置入手.教师下载中心教学点睛排列与组合是两类特殊的计数问题，它还有一些较为独特的思考方法，应理解掌握.关于排列组合问题，大致有下面几种解法：第一，不附加条件的排列组合问题.大多用分类讨论的方法，注意分类不重不漏.第二，元素必须相邻
15、.一般采用看作一个整体的方法.第三，元素不相邻.采用插空法.第四，排列组合的混合型问题.交替使用两个原理.第五，间接法.把不合条件的排列数或组合数剔除掉.第六，穷举法.把符合条件的所有排列或组合一一写出来.拓展题例【例1】 （1）书架上有3本不同的书，如果保持这些书的相对顺序不变，再放上2本不同的书，有多少种不同的放法？（2）身高均不相同的7个人排成一列，要求正中间的个子最高，从中间向两边看，一个比一个矮，有多少种不同的排法？解：（1）问题相当于5本书排成一排，其中某3本书的顺序一定.所以共有=A=20种放法.（2）先排正中间的人，只有1种方法，再排左边的3个人，有C种方法，剩下的3个人排在右
16、边的3个位子中只有1种方法，所以共有C=20种方法.评述：第（1）题是定序排列问题，可用缩倍法求解.【例2】 有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法?（1）甲不在中间也不在两端；（2）甲、乙两人必须排在两端；（3）男、女生分别排在一起；（4）男女相间；（5）甲、乙、丙三人从左到右顺序保持一定.分析：这是一个排列问题，一般情况下，我们会从受到限制的特殊元素开始考虑，有时也从特殊的位置讨论起.解：（1）方法一：（元素分析法）先排甲有6种，其余有A种，故共有6A=241920种排法.方法二：（位置分析法）中间和两端有A种排法，包括甲在内的其余6人有A种排法，故共有AA=3
17、36720=241920种排法.方法三：（等机会法）9个人的全排列数有A种，甲排在每一个位置的机会都是均等的，依题意，甲不在中间及两端的排法总数是A=241920种.方法四：（间接法）A3A=6A=241920种.（2）先排甲、乙，再排其余7人，共有AA=10800种排法. （3）（捆绑法）AAA=5760种.（4）（插空法）先排4名男生有A种方法，再将5名女生插空，有A种方法，故共有AA=2880种排法.（5）方法一：（等机会法）9人共有A种排法，其中甲、乙、丙三人有A种排法，因而在A种排法中每A种对应一种符合条件的排法，故共有=60480种排法.方法二：CA=60480种.点评：本题集排列
18、多种类型于一题，充分体现了元素分析法（优先考虑特殊元素）、位置分析法（优先考虑特殊位置）、直接法、间接法（排除法）、捆绑法、等机会法、插空法等常见的解题思路.2019-2020年高考数学一轮复习 10.3 组合教案知识梳理1.组合的概念：从n个不同元素中任取m个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，组合的个数叫组合数，用C表示.2.组合数公式C=.3.组合数的两个性质：（1）C=C；（2）C=C+C.点击双基1.从4台甲型电脑和5台乙型电脑中任取3台，其中两种电脑都要取，则不同的取法种数是A.140 B.84 C.70 D.35解析：取3台分两类：2台甲型1台乙型，有CC种
19、；1台甲型2台乙型，有CC种.CC+CC=30+40=70（种）.答案：C特别提示先从甲型、乙型中各抽1台，有CC种，再从余下的中选1台，有C种，故有CCC=140（种）.解法不正确.2.（xx年北京，理17）从长度分别为1、2、3、4、5的五条线段中，任取三条的不同取法共有n种.在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为m，则等于A. B. C. D.解析：n=C=10，由余弦定理知可组成钝角三角形的有“2、3、4”和“2、4、5”，故m=2.=.答案：B3.已知1，2X1，2，3，4，5，满足这个关系式的集合X共有_个.A.2 B.6 C.4 D.8解析：由题意知集合X中
20、的元素1，2必取，另外可从3，4，5中可以不取，取1个，取2个，取3个，故有C+C+C+C=8（个）.答案：D4.（xx年东北三校模拟题）将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色.若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法种数为_.解析：设四棱锥为PABCD.（1）P：C，A：C，B：C，C与B同色：1，D：C.（2）P：C，A：C，B：C，C与B不同色C，D：C.共有CCC1C+CCCCC=420.答案：4205.某校准备参加xx年全国高中数学联赛，把10个名额分配给高三年级8个班，每班至少1人，不同的分配方案有_种.解析：把10个名额分成8份，每份至少一个名额即可，用隔板法
21、：C=C=36.答案：36典例剖析【例1】 某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选取会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法?解：由题意可知，只会英语的有6人，只会日语的有2人，英语和日语都会的有1人.以只会英语的人数分类，CCC+CC=20.【例2】 设集合A=1，2，3，10，（1）设A的3个元素的子集的个数为n，求n的值；（2）设A的3个元素的子集中，3个元素的和分别为a1，a2，an，求a1+a2+a3+an的值.解：（1）A的3元素子集的个数为n=C=120.（2）在A的3元素子集中，含数k（1k10）的集合个数有C个，因此a1+a2+an=
22、C（1+2+3+10）=1980.评述：在求从n个数中取出m（mn）个数的所有组合中各组合中数字的和时，一般先求出含每个数字的组合的个数，含每个数字的个数一般都相等，故每个数字之和与个数之积便是所求结果.【例3】 从1，2，30这30个自然数中，每次取不同的三个数，使这三个数的和是3的倍数的取法有多少种？解：令A=1，4，7，10，28，B=2，5，8，11，29，C=3，6，9，30组成三类数集，有以下四类符合题意：A，B，C中各取一个数，有CCC种；仅在A中取3个数，有C种；仅在B中取3个数，有C种；仅在C中取3个数，有C种.故由加法原理得共有CCC+3C=1360种. 评述：按元素的性质
23、分类是处理带限制条件的组合问题的常用方法，对于某几个数的和能被某数整除一类的问题，通常是将整数分类，凡余数相同者归同一类.思考讨论讨论下面的问题：用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成没有重复数字的能被25整除的四位数多少个？提示：能被25整除的数的后两位是25或50，后两位是50的数有A个，后两位是25的数有33=9个，所以能被25整除的四位数的个数为A+9=21.【例4】 如图，从一个34的方格中的一个顶点A到对顶顶点B的最短路线有几条？解：从A到B的最短路线，均需走7步，包括横向的4步和纵向的3步，于是我们只要确定第1，2，7步哪些是横向的，哪些是纵向的就可以了，实际只要确定哪几步是
24、横向走.所以每一条从A到B的最短路线对应着从第1，2，7步取出4步（横向走）的一个组合，因此从A到B的最短路线共有C=C=35条.深化拓展1.某城市由n条东西方向的街道和m条南北方向的街道组成一个矩形街道网，如下图所示.要从A处走到B处，使所走的路程最短，有多少种不同的走法？解：将相邻两个交点之间的街道称为一段，那么从A到B需要走（n+m2）段，而这些段中，必须有东西方向的（n1）段，其余的为南北方向的（m1）段，所以共有C=C种走法.2.从一楼到二楼楼梯一共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，规定用8步走完楼梯的方法种数是_.解：设一步一级x步，一步两级y步，则故走完楼梯的方法有C
25、=28种.闯关训练夯实基础1.从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有A.240种 B.180种 C.120种 D.60种解析：先从6双手套中任选一双，有C种取法，再从其余手套中任选2只，有C种，其中选一双同色手套的选法为C种.故总的选法数为C（CC）=240种.答案：A2.（xx年江苏，3）从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有A.140种 B.120种 C.35种 D.34种解析：7人中任选4人，共C种选法，扣除只有男生的选法C，就可得有既有男生，又有女生的选法CC=34.答案：D3.（xx年湖北，理14）将标号为1
26、，2，10的10个球放入标号为1，2，10的10个盒子内，每个盒内放一个球，则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有_种.（以数字作答）解析：从10个盒中挑3个与球标号不一致，共C种挑法，每一种3个盒子与球标号全不一致的方法为2种，共有2C=240种.答案：2404.某年级有6个班，派3个数学老师任教，每位教师教两个班，不同的任课方法种数有_种.解析：把6个班均匀分为3份，有种分法，再把这三份分给3位教师，所以不同的任课方法有A=CCC种.答案：905.某运输公司有7个车队，每个车队的车都多于4辆且型号相同，要从这7个车队中抽出10辆车组成一运输车队，每个队至少抽1辆车，则不
27、同的抽法有多少种？解：由于每队至少抽1辆，故问题转化为从7个车队中抽3辆车，分类讨论.3辆车都从1个队抽，有C种；3辆车从2个队抽，有A种；3辆车从3个队抽，有C种.综上所述，共有C+A+C=84种. 6.袋中有10个球，其中4个红球，6个白球，若取到1个红球记2分，取到1个白球记1分，那么从这10个球中取出4个，使总分不低于5分的取法有多少种?解法一：取出4个球不低于5分只能是4红或3红1白或2红2白或1红3白.故有C+CC+CC+CC=195种.解法二：取出4个球总分低于5分只能是4个白球，故有CC=195种.培养能力7.（理）有11名外语翻译人员，其中5名英语翻译员，4名日语翻译员，另两
28、名英、日语都精通，从中找出8人，使他们组成两个翻译小组，其中4人翻译英文，另4人翻译日文，这两个小组能同时工作，问这样的分配名单共可开出几张?分析：既精通英语，又精通日语的“多面手”是特殊元素，所以可以从他们的参与情况入手进行分类讨论.解：按“多面手”的参与情况分成三类.第一类：多面手不参加，这时有CC种；第二类：多面手中有一人入选，这时又有该人参加英文或日文翻译两种可能，因此有CCC+CCC种；第三类：多面手中两个均入选，这时又分三种情况：两个都译英文、两个都译日文、两人各译一个语种，因此有CCC+CCC+CCCC种.综上分析，共可开出CC+CCC+CCC+CCC+CCC+ CCCC=185
29、种.评述：首先注意分类方法，体会分类方法在解组合问题中的作用.本题也可以先安排翻译英文人员，后安排翻译日文人员进行分类求解，共有CC+CCC+CCC=185种.（文）某市工商局对35种商品进行抽样检查，鉴定结果有15种假货，现从35种商品中选取3种.（1）其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种?（2）其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种?（3）恰有2种假货在内，不同的取法有多少种?（4）至少有2种假货在内，不同的取法有多少种?（5）至多有2种假货在内，不同的取法有多少种?解：（1）C=561.（2）C=5984.（3）CC=2100.（4）CC+C=2555.（5）C+CC+CC=6090.探究创新8.有点难度哟！从1到100这100个正整数中，每次取出2个数使它们的和大于100，共有多少种取法?解：（1）若取出的2个数都大于50，则有C种.（2）若取出的2个数有一个小于或等于50，当取1时，另1个只能取100，有C种取法；当取2时，另1个只能取100或99，有C种取法；当取50时，另1个数只能取100，99，98，51中的一个，有C种取法，所以共有1+2+3+50=.故取法种数为C+=+=2500.思悟小结1.组合数公式有连乘和阶乘形式，阶乘形式一般用于证明和计算，组合数的性质常用于证明等式及合并
