1、3.3 位移分量的求出位移分量的求出 第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论 本节内容 内容要点：内容要点：以上一节矩形梁纯弯曲为例，体会学习如何由应力分以上一节矩形梁纯弯曲为例，体会学习如何由应力分量求出位移分量。量求出位移分量。第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论 3.3 位移分量的求出 本节所解决的问题：按应力求解时，如果已求出应力分量，本节所解决的问题：按应力求解时，如果已求出应力分量，如何求对应的位移分量？如何求对应的位移分量？以矩形梁的纯弯曲为例，由应力分量求解位移分量以矩形梁的纯弯曲为例，由应力分量求解位移分量 xyxyxyyyxxEEE)1(2)(1)
2、(10 xyyxyEIMyEIM0 xyyxyIM1、形变分量与位移分量、形变分量与位移分量 x y l 1 h M M（1）形变分量）形变分量 将上节所求应力分量代入物理方程将上节所求应力分量代入物理方程(2-8)第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论 3.3 位移分量的求出（2）位移分量）位移分量 将应变分量代入平面问题的几何方程将应变分量代入平面问题的几何方程(2(2-8)8)：0,xyyxyuxvyEIMyvyEIMxu前两式分别积分，可得前两式分别积分，可得 )(2,)(221xfyEIMvyfxyEIMu代入第三式，并整理可得代入第三式，并整理可得 xEIMdxxdfd
3、yydf)()(21第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论 3.3 位移分量的求出（2）位移分量）位移分量 等式左右两边分别为等式左右两边分别为 y 和和 x 的函数，要想对于所有的的函数，要想对于所有的 y 和和 x 均成立，只可能两边都等于同一常数均成立，只可能两边都等于同一常数w w：xEIMdxxdfdyydf)()(21wxEIMdxxdfdyydf)()(21分别积分，可得分别积分，可得 022012)(,)(wwxxEIMxfuyyf第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论 3.3 位移分量的求出（2）位移分量）位移分量 代入位移分量公式，并整理可得代入位移
4、分量公式，并整理可得 其中表示刚体位移量的常数其中表示刚体位移量的常数u0 ，0 和和 w w ，须由约束条件确，须由约束条件确定。定。022022wwxxEIMyEIMvuyxyEIMux y l 1 h M M 第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论 3.3 位移分量的求出 讨论：讨论：对于同一个截面，对于同一个截面，x 为常量为常量x 0，因此上式，因此上式(转角转角)也是也是常量常量。于。于是可见，同一截面上的各垂直线段的转角相等，即截面仍然保是可见，同一截面上的各垂直线段的转角相等，即截面仍然保持为平面持为平面材料力学里的平截面假定。材料力学里的平截面假定。由位移分量的公
5、式，可知不论约束条件如何，可求得由位移分量的公式，可知不论约束条件如何，可求得垂直线垂直线段的转角段的转角为为u 关于铅垂方向的变化率，即铅垂方向线段的转角关于铅垂方向的变化率，即铅垂方向线段的转角。由位移分量第二式，可知不论约束条件如何，可求得由位移分量第二式，可知不论约束条件如何，可求得梁的各梁的各纵向纤维的曲率纵向纤维的曲率是是 就是材料力学中求梁的挠度时所用的基本公式。就是材料力学中求梁的挠度时所用的基本公式。wxEIMyu0uyxyEIMuwEIMx22102222wxxEIMyEIMv第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论 3.3 位移分量的求出 分两种约束情况讨论：分
6、两种约束情况讨论：简支梁和悬臂梁简支梁和悬臂梁。下面根据约束条件来确定位移分量中的刚体位移常数下面根据约束条件来确定位移分量中的刚体位移常数u0，0 和和w w 。2、位移边界条件的利用、位移边界条件的利用 第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论 3.3 位移分量的求出 2、位移边界条件的利用、位移边界条件的利用 （1）简支梁）简支梁 0)(,0)(,0)(00000ylxyxyxu将位移分量代入上述约束条件，可求出三个常数，代回得将位移分量代入上述约束条件，可求出三个常数，代回得 22)(2,)2(yEIMxxlEIMvylxEIMu022022wwxxEIMyEIMvuyxyE
7、IMu0202vlEIMlw00u00vEIMl2w0()2yMvlx xEI材料力学中相同材料力学中相同 第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论 3.3 位移分量的求出 2、位移边界条件的利用、位移边界条件的利用 （2）悬臂梁）悬臂梁 022022wwxxEIMyEIMvuyxyEIMu边界条件边界条件 由上式可知，此边界条件无法由上式可知，此边界条件无法满足，边界条件改写为：满足，边界条件改写为：（中点不动）（中点不动）（轴线在端部不转动）（轴线在端部不转动）0 022x lx luhhyv000,0 x lx lyyuv2000,0,02MlMlulvEIEIww00 x l
8、yvx200,0,2MlMluEIEIw 带入位移式可得：带入位移式可得：22()()22Mulx yEIMMvlxyEIEI 20()2yMvlxEI 材料力学中相同材料力学中相同 第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论 3.3 位移分量的求出 平面应变问题平面应变问题 以上是以平面应力问题为例推导了相应的应变分以上是以平面应力问题为例推导了相应的应变分量和位移分量解。对于量和位移分量解。对于平面应变情况下的梁平面应变情况下的梁(梁梁宽度远宽度远大于深度和长度）大于深度和长度），须在以上的应变分量和位移分量，须在以上的应变分量和位移分量的公式中，将的公式中，将 E 和和 作如下替
9、换，即可求解作如下替换，即可求解。112EE第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论 3.3 位移分量的求出 位移求解的过程：位移求解的过程：（a a）将应力分量代入物理方程）将应力分量代入物理方程 )(1xyyE)(1yxxEGxyxy（b b）再将应变分量代入几何方程）再将应变分量代入几何方程 xvyuxyxuxyvy（c c）几何方程积分计算位移表达式）几何方程积分计算位移表达式 （d d）利用位移边界条件，确定常数。）利用位移边界条件，确定常数。3.4 简支梁受均布荷载简支梁受均布荷载 第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论 本节内容 内容要点：内容要点：用用半逆
10、解法半逆解法求解梁的平面问题；体会理解半逆解法的求解梁的平面问题；体会理解半逆解法的解题过程。解题过程。第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论 3.4 简支梁受均布荷载 (1)(1)对于给定的弹性力学问题，根据弹性体的对于给定的弹性力学问题，根据弹性体的几何形状几何形状、受力特征和变形的特点或已知的一些简单结论受力特征和变形的特点或已知的一些简单结论，如材料力学如材料力学得到的初等结论，假设得到的初等结论，假设部分或全部应力分量部分或全部应力分量的函数形式的函数形式；yxyxyfxyxxfyyxxyyyxx),(,),(,),(22222 (2)(2)按式按式(2(2-24)24)
11、，由应力推出应力函数，由应力推出应力函数 的一般形式（的一般形式（含待定函数项）；含待定函数项）；(3)(3)将应力函数将应力函数 代入代入相容方程进行校核，进而求相容方程进行校核，进而求得应力函数得应力函数 的具体表达形式的具体表达形式 024422444yyxx半逆解法步骤回顾：半逆解法步骤回顾：第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论 3.4 简支梁受均布荷载 半逆解法步骤回顾：半逆解法步骤回顾：(5)(5)根据边界条件确定未知函数中的待定系数；考察根据边界条件确定未知函数中的待定系数；考察应力分量是否满足全部应力边界条件。如果都能满足，则应力分量是否满足全部应力边界条件。如果
12、都能满足，则所得出的解就是正确解，否则要重新假设应力分量，重复所得出的解就是正确解，否则要重新假设应力分量，重复上述过程并进行求解。上述过程并进行求解。(4)(4)将应力函数将应力函数 代入代入式式(2(2-24)24)，由应力函数求得应力分，由应力函数求得应力分量量 yxyxyfxyxxfyyxxyyyxx),(,),(,),(22222 解题的关键在于解题的关键在于凑出凑出或者或者假设出假设出正确的应力函数。正确的应力函数。应力函数基本形式满足40式（2-24）是导出应力表达式满足边界条件式（2-15）是得到正确解答否否假定相关应力分量式（2-24）积分第二章第二章 平面问题的基本理论平面
13、问题的基本理论 3.4 简支梁受均布荷载 问题：问题：矩形截面简支梁，长度为矩形截面简支梁，长度为 2l，深度为深度为 h，宽度远，宽度远小于深度和长度（小于深度和长度（典型的平面应力问题典型的平面应力问题），受均布荷载），受均布荷载 q ，由两端的反力，由两端的反力ql 维持平衡。（设梁宽为单位宽度维持平衡。（设梁宽为单位宽度1 1）第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论 3.4 简支梁受均布荷载 (1)(1)假定应力分量的函数形式假定应力分量的函数形式 x主要由主要由弯矩弯矩引起；引起；xy主要由主要由剪力剪力引起。引起。y由由竖向荷载竖向荷载q 引起（挤压应力）；引起（挤压应
14、力）；又又 q=常数，不随常数，不随x变化，变化，y 不随不随 x 变化。变化。x y l l ql ql q yfy因此假设因此假设 y 只是只是y的函数：的函数：“(1)(1)对于给定的弹性力学问题，根据弹性体的对于给定的弹性力学问题，根据弹性体的几何形状几何形状、受力特征和变形的特点或已知的一些简单结论受力特征和变形的特点或已知的一些简单结论，如材料力如材料力学得到的初等结论，假设学得到的初等结论，假设部分或全部应力分量部分或全部应力分量的函数形式的函数形式”第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论 3.4 简支梁受均布荷载(2)(2)由应力推出应力函数的一般形式由应力推出应力
15、函数的一般形式)(),(22yfxyxy对对 x 积分可得积分可得 )()()(2),(212yfyxfyfxyx其中有三个关于其中有三个关于 y 的待定函数：的待定函数：f（y），f（y1），f（y2）。将假设的将假设的 y 向应力分量代入式向应力分量代入式(2(2-24)24)，在无体力情，在无体力情况下，有况下，有 第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论 3.4 简支梁受均布荷载(3)(3)由相容方程求应力函数由相容方程求应力函数 0)(2)()()(2122424414244yyfyyfxyyfxyyf上述是关于上述是关于 x 的一元二次方程，相容方程要求全梁每一点的一元二
16、次方程，相容方程要求全梁每一点处的处的 x 值都必须满足上述方程，上述方程有值都必须满足上述方程，上述方程有无数多根无数多根。对对所有所有 x 均应满足，故其系数和自由项都必须为均应满足，故其系数和自由项都必须为0 0 0)(2)(,0)(,0)(2242441444yyfyyfyyfyyf 将上步所得将上步所得应力函数的一般形式应力函数的一般形式代入无体力情况下的相代入无体力情况下的相容方程，整理后有容方程，整理后有 第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论 3.4 简支梁受均布荷载(3)(3)由相容方程求应力函数由相容方程求应力函数 0)(2)(,0)(,0)(2242441444yyfyyfyyfyyf由上述三个方程可求得三个待定函数的一般形式：由上述三个方程可求得三个待定函数的一般形式：2345223123610)()()(KyHyyByAyfGyFyEyyfDCyByAyyf根据第一节内容，应力函数中的一次式不影响应力分布，根据第一节内容，应力函数中的一次式不影响应力分布，上上述各式中与应力分布无关的一次式均已忽略述各式中与应力分布无关的一次式均已忽略。234523
