1、03第一章 数学模型概述1 . 数学模型概述现代科学技术发展的一个重要特征是各门科学技术日益精确化、定量化。数学已经更深地渗透到各种科学技术领域，数学模型正是从定量的角度去分析所遇到的实际问题，为解决实际问题提供一种数学方法，现在已越来越受到人们的重视。例如，为什么发射人造卫星要用三级火箭?在战争还没有消灭的今天，武器的发展方向是大型化还是高精度?人口增长，已成为全球性的社会问题，如何制定我国的人口政策?，所有这些都需要建立数学模型加以论证，为决策者提供理论依据。 建立数学模型是数据处理和试验设计的直接目的，也是科研人员必备的素质，因此本章重点讨论如何建立数学模型，学习怎样从遇到的实际问题中，
2、作出一些必要的简化和假设，运用数学工具得到一个数学结构，在通过数学上的结构揭示在实际问题中的含义。本章重点介绍数学模型在科技工程中的作用，模型、数学模型的概念及大致分类，通过建模实例说明建立数学模型的一般步骤和原理。1.1 模型与科技工程1.1.1 科学发展与数学模型科学的发展是离不开数学的，数学模型在其中又起着重要的作用。无论是自然科学还是社会科学，在进行理论研究时，都不是直接研究真实现象，而是先研究它们的模型忽略一些次要因素的一种近似写照，然后才是通过对模型的研究来阐明真实世界的客观规律的。自从牛顿将力学法则用数学模型表示出来之后，在包含物理学在内的自然科学领域中，出现了这样一种趋势：致力
3、于用单纯的数学式表示自然法则，求出它们的解，并与实验和观测结果相比较去理解。因而在科学发展史上，有一段时间学者们认为：“科学的本质是数学”。例如，反映物体机械运动的基本客观规律牛顿三定律，可用明确而紧凑的数学式子表示；反映电路理论的基本规律基尔霍夫定律也可用数学式子来表示；马克思用公式I(V+m)c来描述社会再生产的基本规律。这种反映某一类现象客观规律的数学式子就是这些现象的数学模型。一个学科的内容能用数学来分析和表示，这是该学科精密化和科学化的一种表现。利用数学这个有效的工具，可以深刻地认识客现现象的本质，预测未来，促进科学的发展。随着电子计算机的问世与发展，许多学科的计算分支都在迅速发展，
4、如计算物理学、计算化学等分支的出现和发展，导致需要建立有关系统的数学模型。目前，在许多领域中，要对有关问题进行计算，必须先建立问题的数学模型，没有数学模型，计算就不可能进行。也可以这样认为：今天，没有数学模型，许多基本的生产活动便无法进行，更不要说计算机的应用了。1.1.2工程技术与数学模型数学模型现在已越来越受到人们的重视，这不仅是因为数理等学科应用它，而且工程学等领域也视其为一种重要的方法。在工程学领域，以前认为实验方法是至高无尚的，但现在已把数学模型视为与实验同等重要，甚至是更好的一种方法。随着科学技术的进步，数学模型在工程技术上所起的作用也日益增大。从设计上来看，要进行理论设计首先要建
5、立生产过程正确的数学模型，否则会给设计以及生产带来很大的损失。如在化学工业中，需要通过建立模型、分析计算来决定设备的大小，原料的数量，温度调节等问题。又例如，1979年3月美国原子能委员会关闭了5座核电站，这是因为设计中所选取的冷却水管道系统的数学模型不妥，使得模拟计算结果的可靠程度不够，不能承受地震等的冲击而导致关闭，另外，日本在2001年关闭了东京附近的日本最大的核电站，原因也是原来使用的安全模型出现了问题。可见数学模型对工程设计十分重要。在生产过程中，为了分析和改进生产中出现的问题，采用先建立数学模型，然后在计算机上进行模拟计算的办法来代替实验，可以节约较多的人力、财力和时间，还可以避免
6、发生故障或危险，甚至完成实验不可能完成的任务。例如，阿波罗卫星返回地球时在高120千米的大气层上空以11千米秒的速度开始，仅用30分种左右时间就回到地面，若用风洞来实验，必须有极大的设备，这实际上无法实现，就只有用建立数学模型的方法来解决。在比较精密的生产中，常用电子计算机控制和指挥生产，这也需要建立反映生产过程的数学模型。总之，随着科学技术日益发展，生产要求日益精确，在设计、控制生产等各个环节都越来越多地需要了解有关的数学模型。1.2 数学模型及其分类 1.2.1模型及其分类 在自然科学、工程技术和社会科学的许多领域中，定量的系统分析，系统综合已受到人们更多的重视。模型是开展这些工作的有效工
7、具，模型化则是开展这些工作的前提和基础。一切客观存在的事物及其运动形态统称为实体，模型是对实体的特征及其变化规律的一种表示或者抽象，而且往往是对实体中那些所要研究的特定的特征定量的抽象，可以说，模型是把对象实体通过适当的过滤，用适当的表现规则描绘出的简洁的模仿品，通过这个模仿品，人们可以了解到所研究实体的本质，而且在形式上便于人们对实体进行分析和处理。通常，对模型有4个基本要求：目的性、清晰性、准确性、经济性。把实体(对象)变为模型的过程称为建模或模型化。按模型的表达形式，一般可粗略地分为实体模型和符号模型两大类。实体模型包括：实物模型(如城市模型、作战沙盘、船舶模型等)和模拟模型(如地图、电
8、路图、电路模拟机械运动等)。符号模型也称语言模型，这是模型中最丰富多彩的一大部分。包括数学模型，结构模型，仿真模型及诸如化学、音乐、美术等学科的符号模型，也包括用自然语言表达的直观描述式模型。除上述分类外，还可按其形式、结构、用途和对象等分类，在众多分类的模型中，数学模型是发展最快，内容最丰富、最受人偏爱的一种。1.2.2 数学模型及其分类什么是数学模型?数学模型指对于现实世界的某一特定对象，为了某个特定目的，做出一些必要的简化和假设，运用适当的数学工具得到的一个数学结构。它或者能解释特定现象的现实性态，或者能预测对象的未来状态，或者能提供处理对象的最优决策或控制。在这里，数学模型被看成是一个
9、能实现某个特定目标的有用工具。从本质上说，数学模型是一个以“系统”概念为基础的，关于现实世界的一小部分或几个方面抽象的“映象”。数学模型的特征是：1 是某事物为一种特殊目的而作的一个抽象化、简单化的数学结构，这意味着扬弃、筛选，是舍弃次要因素，突出主要因素的主要结果；是事物的一种模拟，虽源于现实，但非实际的原型，而又高于现实。2 它是数学上的抽象，在数值上可以作为公式应用，可以推广到与原物相近的一类问题。3 可以作为某事物的数学语言，可以译成算法语言，编写程序进入计算机。通常所谓的处理事物和过程的模型化方法，往往就是为之建立数学模型来处理。常见的数学模型分类有以下几种：按数学模型的功能可分为定
10、量的和定性的。按数学模型的目的可分为理论研究的，预期结果的和优化的。按数学模型变量之间的关系可分为代数的，几何的和积分的。按数学模型的结构可分为分析的，非分析的和图论的。按数学模型所研究对象的特性可分为确定的和随机的，静态的和动态的，连续的和离散的，或线性的和非线性的。按数学模型所用的数学方法可分为初等模型，微分方程模型，优化模型，控制论模型，逻辑模型，扩散模型按数学模型研究对象的实际领域可分为人口模型，交通模型，生态模型，生理模型，经济模型，社会模型，工程系统模型按数学模型研究对象的了解程度可分为白箱模型，灰箱模型和黑箱模型。还有一些其他分类方法，这里只是为了叙述和阅读方便起见，列举出几种常
11、见分类方法，而模型的分类问题并没有什么重要意义，只是为了问题阐述便利而已。1.3 建模实例本节所讲的两个例子，一个是理论上的结果，一个是工程中的问题，对于数学模型的用途和建模方法都有一定代表性，首先介绍给大家，以便对数学模型全貌的了解有所收益。例1.1 万有引力定律牛顿(Newton，l6421727)是世界上伟大的科学家，在物理学特别是力学中有卓越的贡献，而且在数学上，他是微积分的两大奠基人之一。万有引力定律的发现是牛顿在力学上的重大贡献之一。牛顿在研究力学的过程中发明了微积分，又成功地在开普勒(Kepler Johannes，l5711630)三定律的基础上运用微积分推导了万有引力定律。这
12、一创造性成就可以看作是历史上最著名的数学模型之一。历史背景 15世纪下半叶，人类社会发展到了一个新阶段，商品经济的繁荣促进了航海业的发展，哥伦布、麦哲伦，扬帆远航，在强大的社会需要的推动下，天文观测的精确程度不断提高。在大量实际观测数据面前，一直处于天文学统治地位的“地心说”开始动摇了，科学家对“地心说”开始产生了疑惑。哥白尼在天文观测的基础上，冲破宗教统治和“地心说”的束缚，提出了“日心说”，这是天文学乃至整个科学的一大革命。但是由于历史条件和科学水平的限制，他的理论尚有不少缺陷，如他认为行星绕太阳的运行轨道是圆形的。自然科学与社会科学的交汇点是天文学丹麦天文学家第谷布拉赫(Tycho Br
13、ahe，l5461601)对行星运动作了大量观测，积累了20年的资料。他的助手开普勒分析研究了这些资料，运用数学工具，发现火星的实际位置与按照哥白尼理论计算的位置相差8弧分。在深入分析的基础上，于1609年归纳出开普勒第一、二定律。为了寻求行星运动周期与轨道尺寸的关系，根据其老师大量而且非常精确的天文观测资料，反复研究，终于在1619年发现了行星运行周期与到太阳距离之间的关系开普勒第三定律，这就是天文学上至今仍然十分著名的开普勒三定律：(1)行星的轨道是一个椭圆，太阳位于其中一个焦点上。(2)行星运行过程中，行星和太阳的连线在单位时间内扫过相等的面积(3)各行星公转周期的平方同轨道长半轴的立方
14、成正比。上述定律只是阐明行星的运动情况，但并没有解释为什么这样运动。那么，是什么力量作用在行星上，使它的速度不断改变并保持在椭圆轨道上运动呢?牛顿认为一切运动都有其力学原因，开普勒三定律的背后必定有某个力学规律在起作用。他要构造一个模型加以解释。他以微积分(当时称流数法)为工具，在开普勒三定律和牛顿力学第二定律的基础上，演绎推倒出著名的万有引力定律。这一定律成功地定量解释了许多自然现象，为其后一系列的观测和实验数据所证实，成为物理学中的一个基本定律。万有引力定律的建立首先建立以太阳为原点的极坐标系(r，)，向径r表示行星位置，如图1-1所示。再把开普勒三定律作为假设I、，牛顿第二定律作为假设，
15、并分别用数学式子表示：(1)轨道方程为： (1-1)及 (1-2)a为长半轴，b为短半轴，e为离心率。(2) (1-3)A是单位时间内向径r扫过的面积，对某一颗行星而言，A是常数，。(3) (1-4)T是行星运行周期，k是绝对常数。(4) (1-5)这表示太阳和行星间的作用力f与加速度r的方向一致，与r的大小成正比。以上假设中把所有的行星甚至太阳本身都当作质点来处理。这是进行数学表述时所作的一种近似或理想化，因为太阳的半径比太阳到行星的距离小得多，因而这种近似是合理的。下面从这四条假设出发，推出万有引力定律：太阳与行星间作用力的方向是太阳和行星连线方向，指向太阳；大小与太阳行星间距离的平方成反比，比例系数是绝对常数。为此，如图1-1，选单位向量 (1-6)于是 (1-7)由(1-6)得到： (1-8)将式(1-7)对r求导，利用式(1-8)便得到行星运动的速度和加速度： (1-9) (1-10)根据式(1-3)，得： (1-11) (1-12)由式(1-11)和式(1-12)可知式(1-10)右端第二项，于是式(1-10)为： (1-13)再对式(1-1)求导，利用式(1-11)可以得到： (1-14) (1-15)将式(1-11)、(1-15)代入式(1-13)整理可得：
