1、线性代数期末考试试题卷+答案解析合集大学线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分）1311.若005x，则_。_122x1x2x302若齐次线性方程组x1x2x30只有零解，则应满足。x1x2x303已知矩阵A，B，C(cij)sn，满足ACCB，则A与B分别是阶矩阵。a11a124矩阵Aaa的行向量组线性。2122a31a322AE5n阶方阵A满足30A，则1A。二、判断正误（正确的在括号内填“”，错误的在括号内填“”。每小题2分，共10分）1.若行列式D中每个元素都大于零，则D0。（）2.零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（）3.向量组a1，a
2、2，am中，如果a1与am对应的分量成比例，则向量组a1，a2，as线性相关。（）01004.10001A，则AA0001。（）00105.若为可逆矩阵A的特征值，则1A的特征值为。()三、单项选择题(每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分)1.设A为n阶矩阵，且A2，则TAA（）。n22n12n142.n维向量组1，2（3sn）线性无关的充要条件是（）。，s1，2，s中任意两个向量都线性无关1，2，s中存在一个向量不能用其余向量线性表示1，2，s中任一个向量都不能用其余向量线性表示1，2，s中不含零向量2.下列命题中正确的是()。任意n个n1维向量线性相关任意
3、n个n1维向量线性无关任意n1个n维向量线性相关任意n1个n维向量线性无关3.设A，B均为n阶方阵，下面结论正确的是()。若A，B均可逆，则AB可逆若A，B均可逆，则AB可逆若AB可逆，则AB可逆若AB可逆，则A，B均可逆4.若1，是线性方程组A0的基础解系，则1234是A0的（）234解向量基础解系通解A的行向量四、计算题(每小题9分，共63分)xabcd6.计算行列式axbcdabxcd。abcxd解xabcdxabcdbcdaxbcdxabcdxbcdabxcdxabcdbxcdabcxdxabcdbcxd1bcd1bcd1xbcd0x003(xabcd)(xabcd)(xabcd)x1
4、bxcd00x01bcxd000x3017.设ABA2B，且A,求B。110014211522解.(A2E)BA(1A2E)221，B(A2E)1A432111223110021340110设B,00110213C且矩阵满足关系式0021X(CB)E,求。000100025.问a取何值时，下列向量组线性相关？121a211,a,1232211a22。x1x2x336.为何值时，线性方程组x1x2x32有唯一解，无解和有无穷多解？当方程组有无穷多x1x2x32解时求其通解。当1且2时，方程组有唯一解；当2时方程组无解211当1时，有无穷多组解，通解为0c11c200011213490107.设,
5、.1求此向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向23411370317量用该极大无关组线性表示。100A，求A的特征值及对应的特征向量。0107.设021五、证明题(7分)若A是n阶方阵，且AAI，A1，证明AI0。其中I为单位矩阵。大学线性代数期末考试题答案一、填空题8.52.13.ss，nn4.相关8.A3E二、判断正误3.2.3.4.5.三、单项选择题1.2.3.4.5.四、计算题1.xabcdxabcdbcdaxbcdxabcdxbcdabxcdxabcdbxcdabcxdxabcdbcxd1bcd1bcd1xbcd0x003(xabcd)(xabcd)(xabcd)x1bxcd00x0
6、1bcxd000x2.211522(A2E)BA(1A2E)221，B(A2E)1A4321112233.12341000CB00102132，(CB)231201000001432110001000CB121120100，XECB121120100012101219.11a221112a1，a，aa(2a1)(2a2)当2322811a221a或a1时，向量组a1，a2，a3线性相2关。10.当1且2时，方程组有唯一解；当2时方程组无解211当1时，有无穷多组解，通解为0c11c2000111.121312131213(a1，a2，a3，a4)419103107001344210001041
7、62160317*1002010200110000则3ra1，a，a，a，其中a1，a2，a3构成极大无关组，a42a12a2a323412.1003EA010(1)002100010特征值11，对于11，231EA000，特征向量为k0l002001五、证明题AIAAAAIAIAIA2IA0，IA0一、选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1、设A，B为n阶方阵，满足等式AB0，则必有（）(A)A0或B0;(B)AB0；（C）A0或B0;(D)AB0。2、A和B均为n阶矩阵，且222(AB)A2ABB，则必有（）(A)AE；(B)BE；（
8、C）AB.(D)ABBA。3、设A为mn矩阵，齐次方程组Ax0仅有零解的充要条件是（）(A)A的列向量线性无关；(B)A的列向量线性相关；（C）A的行向量线性无关；(D)A的行向量线性相关.4、n阶矩阵A为奇异矩阵的充要条件是（）(A)A的秩小于n；(B)A0；(C)A的特征值都等于零；(D)A的特征值都不等于零；二、填空题（本题共4小题，每题4分，满分16分）5、若4阶矩阵A的行列式A5，A是A的伴随矩阵，则A=。6、A为nn阶矩阵，且A2A2E0，则(A2E)1。121x117、已知方程组23a2x3无解，则a。21a2x348、二次型222f(x,x,x)2x3xtx2xx2xx是正定的
9、，则t的取值范围1231231213是。三、计算题（本题共2小题，每题8分，满分16分）1x1119、计算行列式D11x11111y11111y10、计算n阶行列式x3xx12nDnxx3x12nxxx12n3四、证明题（本题共2小题，每小题8分，满分16分。写出证明过程）11、若向量组1,2,3线性相关，向量组2,3,4线性无关。证明：(1)1能有2,3线性表出；(2)4不能由1,2,3线性表出。12、设A是n阶矩方阵，E是n阶单位矩阵，AE可逆，且1f(A)(EA)(EA)。证明（1）(Ef(A)(EA)2E；（2）f(f(A)A。五、解答题（本题共3小题，每小题12分，满分32分。解答应
10、写出文字说明或演算步骤）20013、设A，求一个正交矩阵P使得0321PAP为对角矩阵。023x1x2x3014、已知方程组x12x2ax30与方程组21x1xxa有公共解。23x14x22ax30求a的值。15、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知1，2，3是它的三个解向量，且2131，4232354求该方程组的通解。解答和评分标准一、选择题1、C；2、D；3、A；4、A。二、填空题5、-125;6、；7、-1；8、23t。5三、计算题9、解：第一行减第二行，第三行减第四行得：xx00D11x1100yy1111yx000第二列减第一列，第四列减第三列得：D1x1000y0（4分）
11、101y按第一行展开得x10Dx0y001y按第三列展开得x022Dxyxy1y。（4分）n10、解：把各列加到第一列，然后提取第一列的公因子xi3，再通过行列式的变换化i1为上三角形行列式1xx2nnDxnii131x3x2n（4分）1xx32n1xx2nnxi3030i1003nn1x（4分）33ii1四、证明题11、证明：(1)、因为2，,线性无关，所以2，3线性无关。，33又1，线性相关，故1能由2，3线性表出。(4分)23r(，)3，123（2）、（反正法）若不，则4能由1，2,3线性表出，不妨设4kkk。112233由（1）知，1能由2，3线性表出，不妨设1t12t23。所以4k(
12、tt)kk，112232233这表明2，,线性相关，矛盾。3412、证明（1）1(Ef(A)(EA)E(EA)(EA)(EA)1(EA)(EA)(EA)(EA)(EA)(EA)2E（4分）（2）f(f(A)Ef(A)Ef(A)1由（1）得：()11()EfAEA，代入上式得211111f(f(A)E(EA)(EA)(EA)(EA)(EA)(EA)(EA)22211(EA)(EA)A（4分）22五、解答题13、解：（1）由EA0得A的特征值为11，22，35。（4分）0（2）11的特征向量为1，11122的特征向量为20，00。（3分）35的特征向量为311（3）因为特征值不相等，则1,2,3正
13、交。（2分）（4）将010111,2,3单位化得p11，p20，3122p（2分）101010（5）取11Pp,p,p01232211022100（6）1PAP（1分）02000514、解：该非齐次线性方程组Axb对应的齐次方程组为Ax0因R(A)3，则齐次线性方程组的基础解系有1个非零解构成，即任何一个非零解都是它的基础解系。（5分）另一方面，记向量2()1，则23AA(2123)2A1A2A32bbb0T，就是它的一个基础解系。根据非齐次线性方程组解的结构直接计算得(3,4,5,6)0知，原方程组的通解为3243xk1k，kR。（7分）546515、解：将与联立得非齐次线性方程组:x1x2
14、x30,x12x2ax30,x14x22ax30,x12x2x3a1.若此非齐次线性方程组有解,则与有公共解,且的解即为所求全部公共解.对的增广矩阵A作初等行变换得:11101110A1124a2a000010(aa2)(1a1)00.（4分）121a1001aa11当a1时，有r(A)r(A)23，方程组有解,即与有公共解,其全部公共解即为的通解，此时10100100A，000000001则方程组为齐次线性方程组，其基础解系为:,011所以与的全部公共解为k0，k为任意常数.（4分）12当a2时，有r(A)r(A)3，方程组有唯一解,此时10000101A，0011000000故方程组的解为
15、:,即与有唯一公共解x.（4分）1111线性代数习题和答案第一部分选择题(共28分)一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。13.设行列式aa1112aa2122=m，aa1311aa2321=n，则行列式aaa111213aaa212223等于（）A.m+nB.-(m+n)C.n-mD.m-n10014.设矩阵A=020-1，则A等于（）003A.13001002001B.10010021003C.13000101002D.1200100300131215.设矩阵A=101*，A是
16、A的伴随矩阵，则A*中位于（1，2）的元素是（）214A.6B.6C.2D.216.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A.A=0B.BC时A=0C.A0时B=CD.|A|0时B=C17.已知34矩阵A的行向量组线性无关，则秩（AT）等于（）A.1B.2C.3D.418.设两个向量组1，2，s和1，2，s均线性相关，则（）A.有不全为0的数1，2，s使11+22+ss=0和11+22+ss=0B.有不全为0的数1，2，s使1（1+1）+2（2+2）+s（s+s）=0C.有不全为0的数1，2，s使1（1-1）+2（2-2）+s（s-s）=0D.有不全为0的数1，2，s和不全为0的数1
17、，2，s使11+22+ss=0和11+22+ss=019.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为020.设Ax=b是一非齐次线性方程组，1，2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.1+2是Ax=0的一个解B.121+122是Ax=b的一个解C.1-2是Ax=0的一个解D.21-2是Ax=b的一个解21.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解22.设A是一个n(3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数和向量使A=，则是A的属于特征
18、值的特征向量B.如存在数和非零向量，使(E-A)=0，则是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如1，2，3是A的3个互不相同的特征值，1，2，3依次是A的属于1，2，3的特征向量，则1，2，3有可能线性相关11设.0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A.k3B.k39.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1-1TC.A=AD.A的行（列）向量组是正交单位向量组T10.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=CAC.则（）A.A与B相似B.A与B不等价C.A与B有相同的特征值D.A与B合同11.下
19、列矩阵中是正定矩阵的为（）A.2334B.3426100111C.D.023120035102第二部分非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。11123.356.9253624.设A=111111，B=112234.则A+2B=.25.设A=(aij)33，|A|=2，Aij表示|A|中元素aij的代数余子式（i,j=1,2,3）,则222(a11A21+a12A22+a13A23)+(a21A21+a22A22+a23A23)+(a31A21+a32A22+a33A23)=.26.设向量（2，-3
20、，5）与向量（-4，6，a）线性相关，则a=.27.设A是34矩阵，其秩为3，若1，2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它的通解为.28.设A是mn矩阵，A的秩为r(n)，则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为.29.设向量、的长度依次为2和3，则向量+与-的内积（+，-）=.30.设3阶矩阵A的行列式|A|=8，已知A有2个特征值-1和4，则另一特征值为.0106231.设矩阵A=，已知=是它的一个特征向量，则所对应的特征值为.13312108232.设实二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为.三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）33.设A=120340121，B=223410.求（1）ABT；（2）|4A|.311234.试计算行列式513420111533.42335.设矩阵A=，求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B.
