1、高三数学三角函数复习教案 新人教A版2019-2020年高三数学三角函数复习教案 新人教A版一、 本讲进度 三角函数复习二、 本讲主要内容1、 三角函数的概念及象限角、弧度制等概念； 2、三角公式，包括诱导公式，同角三角函数关系式和差倍半公式等； 3、三角函数的图象及性质。三、 学习指导 1、角的概念的推广。从运动的角度，在旋转方向及旋转圈数上引进负角及大于3600的角。这样一来，在直角坐标系中，当角的终边确定时，其大小不一定（通常把角的始边放在x轴正半轴上，角的顶点与原点重合，下同）。为了把握这些角之间的联系，引进终边相同的角的概念，凡是与终边相同的角，都可以表示成k3600+的形式，特例，
2、终边在x轴上的角集合|=k1800，kZ，终边在y轴上的角集合|=k1800+900，kZ，终边在坐标轴上的角的集合|=k900，kZ。在已知三角函数值的大小求角的大小时，通常先确定角的终边位置，然后再确定大小。弧度制是角的度量的重要表示法，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度制。在弧度制下，扇形弧长公式=|R，扇形面积公式，其中为弧所对圆心角的弧度数。 2、利用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角数。三角函数定义是本章重点，从它可以推出一些三角公式。重视用数学定义解题。设P(x，y)是角终边上任一点（与原点不重合），记，则，。利用三角函数定义，可以得到（1）诱
3、导公式：即与之间函数值关系（kZ），其规律是“奇变偶不变，符号看象限”；（2）同角三角函数关系式：平方关系，倒数关系，商数关系。3、三角变换公式包括和、差、倍、半公式，诱导公式是和差公式的特例，对公式要熟练地正用、逆用、变用。如倍角公式：cos2=2cos2-1=1-2sin2，变形后得，可以作为降幂公式使用。三角变换公式除用来化简三角函数式外，还为研究三角函数图象及性质做准备。4、三角函数的性质除了一般函数通性外，还出现了前面几种函数所没有的周期性。周期性的定义：设T为非零常数，若对f(x)定义域中的每一个x，均有f(x+T)=f(x)，则称T为f(x)的周期。当T为f(x)周期时，kT（k
4、Z，k0）也为f(x)周期。三角函数图象是性质的重要组成部分。利用单位圆中的三角函数线作函数图象称为几何作图法，熟练掌握平移、伸缩、振幅等变换法则。5、本章思想方法（1） 等价变换。熟练运用公式对问题进行转化，化归为熟悉的基本问题；（2） 数形结合。充分利用单位圆中的三角函数线及三角函数图象帮助解题；（3） 分类讨论。四、 典型例题例1、 已知函数f(x)=（1） 求它的定义域和值域；（2） 求它的单调区间；（3） 判断它的奇偶性；（4） 判断它的周期性。解题思路分析： （1）x必须满足sinx-cosx0，利用单位圆中的三角函数线及，kZ 函数定义域为，kZ 当x时， 函数值域为） （3）
5、f(x)定义域在数轴上对应的点关于原点不对称 f(x)不具备奇偶性 （4） f(x+2)=f(x) 函数f(x)最小正周期为2注；利用单位圆中的三角函数线可知，以、象限角平分线为标准，可区分sinx-cosx的符号；以、象限角平分线为标准，可区分sinx+cosx的符号，如图。例2、 化简，（，2）解题思路分析：凑根号下为完全平方式，化无理式为有理式 原式= （，2） 当时， 原式=当时， 原式= 原式=注： 1、本题利用了“1”的逆代技巧，即化1为，是欲擒故纵原则。一般地有，。 2、三角函数式asinx+bcosx是基本三角函数式之一，引进辅助角，将它化为（取）是常用变形手段。特别是与特殊角
6、有关的sincosx，sinxcosx，要熟练掌握变形结论。例3、 求。解题思路分析：原式= 注：在化简三角函数式过程中，除利用三角变换公式，还需用到代数变形公式，如本题平方差公式。例4、已知00900，且sin，sin是方程=0的两个实数根，求sin(-5)的值。解题思路分析：由韦达定理得sin+sin=cos400，sinsin=cos2400- sin-sin= 又sin+sin=cos400 00 900 sin(-5)=sin600=注：利用韦达定理变形寻找与sin，sin相关的方程组，在求出sin，sin后再利用单调性求，的值。例5、（1）已知cos(2+)+5cos=0，求tan
7、(+)tan的值； （2）已知，求的值。解题思路分析：（1） 从变换角的差异着手。 2+=(+)+，=(+)- 8cos(+)+5cos(+)-=0展开得：13cos(+)cos-3sin(+)sin=0同除以cos(+)cos得：tan(+)tan=（2） 以三角函数结构特点出发 tan=2 注；齐次式是三角函数式中的基本式，其处理方法是化切或降幂。例6、已知函数（a(0，1)），求f(x)的最值，并讨论周期性，奇偶性，单调性。解题思路分析：对三角函数式降幂 f(x)=令 则 y=au 0a0，0），在一个周期内，当x=时，ymax=2；当x=时，ymin=-2，则此函数解析式为A、 B、C
8、、 D、4、已知=xx，则的值为A、1997 B、1998 C、xx D、xx5、已知tan，tan是方程两根，且，则+等于A、 B、或 C、或 D、6、若，则sinxsiny的最小值为A、-1 B、- C、 D、7、函数f(x)=3sin(x+100)+5sin(x+700)的最大值是A、5.5 B、6.5 C、7 D、88、若（0，2，则使sincoscot，则sinsinB、 函数y=sinxcotx的单调区间是，kZC、 函数的最小正周期是2D、 函数y=sinxcos2-cosxsin2x的图象关于y轴对称，则，kZ10、 函数的单调减区间是A、 B、B、 D、 kZ（二） 填空题1
9、1、 函数f(x)=sin(x+)+cos(x-)的图象关于y轴对称，则=_。12、 已知+=，且(tantan+c)+tan=0（c为常数），那么tan=_。13、 函数y=2sinxcosx-(cos2x-sin2x)的最大值与最小值的积为_。14、 已知(x-1)2+(y-1)2=1，则x+y的最大值为_。15、 函数f(x)=sin3x图象的对称中心是_。（三） 解答题16、 已知tan(-)=，tan=，（-，0），求2-的值。 17、是否存在实数a，使得函数y=sin2x+acosx+在闭区间0，上的最大值是1？若存在，求出对应的a值。 18、已知f(x)=5sinxcosx-co
10、s2x+（xR）（1） 求f(x)的最小正周期；（2） 求f(x)单调区间；（3） 求f(x)图象的对称轴，对称中心。 六、参考答案（一） 选择题 1、B 2、B 3、B 4、B 5、A 6、C 7、C 8、C 9、D 10、B（二） 填空题 11、，kZ 12、 13、-4 14、 15、（，0）（三） 解答题 16、 17、 18、（1）T= （2）增区间k-，k+，减区间k+ （3）对称中心（，0），对称轴，kZ2019-2020年高三数学不等式复习教案同步教案 新人教A版一、 本讲进度不等式复习二、本讲主要内容1、 不等式的概念及性质； 2、不等式的证明； 3、不等式的解法； 4、不等
11、式的应用。三、学习指导1、 不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础。不等式的基本性质有：（1） 对称性或反身性：abbb，bc，则ac；（3） 可加性：aba+cb+c，此法则又称为移项法则；（4） 可乘性：ab，当c0时，acbc；当c0时，acb，cd，则a+cb+d；（2） 正数同向相乘：若ab0，cd0，则acbd。 特例：（3）乘方法则：若ab0，nN+，则；（4）开方法则：若ab0，nN+，则；（5） 倒数法则：若ab0，ab，则。掌握不等式的性质，应注意：（1） 条件与结论间的对应关系，如是“”符号还是“”符号；（2） 不等式性质的重点是不等号方向，条件与不等号方向是紧密相连的
12、。 2、均值不等式；利用完全平方式的性质，可得a2+b22ab（a，bR），该不等式可推广为a2+b22|ab|；或变形为|ab|；当a，b0时，a+b或ab.在具体条件下选择适当的形式。3、不等式的证明：（1） 不等式证明的常用方法：比较法，公式法，分析法，反证法，换元法，放缩法；（2） 在不等式证明过程中，应注重与不等式的运算性质联合使用；（3） 证明不等式的过程中，放大或缩小应适度。4、 不等式的解法：解不等式是寻找使不等式成立的充要条件，因此在解不等式过程中应使每一步的变形都要恒等。一元二次不等式（组）是解不等式的基础，一元二次不等式是解不等式的基本题型。利用序轴标根法可以解分式及高次
13、不等式。含参数的不等式应适当分类讨论。5、不等式的应用相当广泛，如求函数的定义域，值域，研究函数单调性等。在解决问题过程中，应当善于发现具体问题背景下的不等式模型。用基本不等式求分式函数及多元函数最值是求函数最值的初等数学方法之一。研究不等式结合函数思想，数形结合思想，等价变换思想等。四、典型例题例1、 已知f(x)=ax2-c，-4f(1)-1，-1f(2)5，试求f(3)的取值范围。解题思路分析：从条件和结论相互化归的角度看，用f(1)，f(2)的线性组合来表示f(3)，再利用不等式的性质求解。设f(3)=mf(1)+nf(2) 9a-c=m(a-c)+n(4a-c) 9a-c=(m+4n
14、)a-(m+n)c f(3)= -4f(1)-1，-1f(2)5 , -1f(3)20说明：1、本题也可以先用f(1)，f(2)表示a，c，即a=f(2)-f(1)，c=f(2)-4f(1)，然后代入f(3)，达到用f(1)，f(2)表示f(3)的目的。 2、本题典型错误是从-4a-c-1，-14a-c5中解出a，c的范围，然后再用不等式的运算性质求f(3)=9a-c的范围。错误的原因是多次运用不等式的运算性质时，不等式之间出现了不等价变形。2、 本题还可用线性规划知识求解。例2、 设a0，b0，求证：。解题思路分析：法一：比差法，当不等式是代数不等式时，常用比差法，比差法的三步骤即为函数单调
15、性证明的步骤。左-右= 0 左右法二：基本不等式根据不等号的方向应自左向右进行缩小，为了出现右边的整式形式，用配方的技巧。 两式相加得：例3、 设实数x，y满足y+x2=0，0a1，求证：。解题思路分析： ，0a0，y0，a0 由0得y-b0 x+y当且仅当，即时，等号成立途径二：令，（0，） ， x+y=当且仅当时，等号成立说明：本题从代数消元或三角换元两种途径起到了消元作用。例5、已知f(x)=-3x2+a(6-a)x+b（1） 解关于a的不等式f(1)0；（2） 当不等式f(x)0的解集为（-1，3）时，求实数a，b的值。解题思路分析：（1） f(1)=-3+a(6-a)+b=-a2+6
16、a+b-3 f(1)0 a2-6a+3-b0的解集为；当b-6时， f(1)0的解集为 （2） 不等式-3x2+a(6-a)x+b0的解集为（-1，3） f(x)0与不等式(x+1)(x-3)0同解 3x2-a(6-a)x-b0解集为（-1，3） 解之得例6、设a，bR，关于x方程x2+ax+b=0的实根为，若|a|+|b|1，求证：|1，|1-(|a|+|b|)1-1=0 f(-1)=1-a+b1-(|a|+|b|)0又 0|a|a|+|b|1 -1a1 f(x)=0的两根在（-1，1）内，即|1，|1法二：+=-a，=b |+|+|=|+|1 |-|+|+|+|1（|-1）（|+1）0 |
17、1同理：|a时，设m=a+x（x0），乘坐起步价为10元的出租车费用为P(x)元，乘坐起步价为8元的出租车费用为Q(x)元，则P(x)=10+1.2x，Q(x)=8+1.4x P(x)-Q(x)=2-0.2x=0.2(10-x) 当x0时，P(x)Q(x)，此时起步价为10元的出租车比较合适当xQ(x)，此时选起步价为8元的出租车比较合适当x=10时，此时两种出租车任选五、同步练习（一） 选择题1、“a0且b0”是“”的A、充分而非必要条件 B、必要而非充要条件C、充要条件 D、既非充分又非必要条件2、设a0，则关于x的不等式42x2+ax-a20的解集为A、（） B、（） C、（） D、3、
18、 若0a0，f(x)=，则A、f(x)2 B、f(x)10 C、f(x)6 D、f(x)35、 已知，（a2），则A、 pq B、pq C、pq D、pq6、 若|a-c|h， |b-c|h，则下列不等式一定成立的是A、 |a-b|2h C、|a-b|h7、 关于x的方程9x+(a+4)3x+4=0有解，则实数a的取值范围是A、 （-，-80，+） B、（-，-4）B、 -8，4） D、（-，-88、 若a0，b0，且2a+b=1，则S=2-4a2-b2的最大值是A、 B、 C、 D、（二） 填空题9、 设a0，b0，a，b是常数，则当x0时，函数f(x)=的最小值是_。 10、周长为的直角三
19、角形面积的最大值为_。 11、记S=，则S与1的大小关系是_。12、不等式|x2-2x+3|3x-1|的解集为_。（三） 解答题13、要使不等式对所有正数x，y都成立，试问k的最小值是多少？14、解关于x的不等式15、已知a0，求证：16、已知不等式对nN+都成立，试求实数a的取值范围。17、若a是正实数，2a2+3b2=10，求的最值。18、商店经销某商品，年销售量为D件，每件商品库存费用为I元，每批进货量为Q件，每次进货所需费用为S元，现假定商店在卖完该货物时立即进货，使库存量平均为件，问每批进货量Q为多大时，整个费用最省？六、参考答案（一） 选择题 1、A 2、A 3、B 4、C 5、A 6、A 7、D 8、A（二） 填空题 9、 10、 11、S1 12、（1，4）（三） 解答题 13、 14、当a-1时，x(-，a)(-1，2) 当-1a2时，x(-，-1)(2，a) 15、当|a|b|时，不等式显然成立 当|a|b|时， 左= =16、或17、，此时18、
