1、恒定电场习题解答习题3，该轴平行于3-1半径为a的均匀极化介质球以它的一条直径为轴匀速旋转，角速度 球的极化强度P,求：(1)由于旋转形成的面电流密度分布；(2)通过球面上 =0的半圆周也即球的一条“经线”的总电流；(3)的电流分别是通过这条“经线”的上半段( 0w w /2 )和下半段(/2W r1, d r2,即两球之间的静电感应可以忽略) ，求两小球间的电阻 R。解：导体小球为等势体，设两球分别带 q和-q,由于d r1, d r2，因此，在求解球表面和球外的电位时，可忽略两球间的静电感应，把 q和-q看作是各自位于球心的点电荷，于是可求得q4 n (d r1)q q2 B4 n r2
2、4 n (d a)两球之间电压为于是得两球之间电容为小 q ,“ 11 1 1 、C 4 n(-)U石d r1 r2 d r2由静电比拟原理，可得两球之间电阻为1 111 1 1R -(-)G 4nr1r2 d r1 d a3-10 一个半径为a的导体球接地器埋入地下， 球心距地面h（ha），考虑到地面的影响,求该接地器的接地电阻，设土壤的电导率为 。（a）原系统 （b）镜像系统 （c）静电比拟系统题3-10图解：考虑地面的影响，可采用镜像法来求解下半空间的电位，镜像系统如题 3-10（ b）图所示。需要注意的是（1 ）构造镜像系统时使用了恒定电场的边界条件 J1n J（ 0），En E2t，
3、因此其镜像电流应如图（b）中所示，而与图（b）对应的静电比拟系统中镜像电荷应是Q而不是-Q; （2）要使图（b）的下半空间电流分布与图（a）相同，注入的总电 流须是图（a）的2倍；而镜像系统和原系统在求解区域电位必相同，因此，求得的电导必 是原系统电导的2倍。由图（b）的静电比拟系统图（c）可求出土壤中导体球对无穷远处（零参考）的电位为q q4 n a 4 n (2h a)注意：两个导体球是连在一起的，因而电位相等。4 n a(2h a)h于是可得两个导体球对无穷远的电容为21 14 n a 4 n (2h a)由静电比拟原理，可得原接地导体球的接地电导为G 22 n a(2h a)h接地电阻
4、为h2 n a(2h a)3-11厚度为d的无限大均匀导电媒质板上垂直地插有两根无限长金属圆柱形电极，两圆柱的轴线相距 D,半径为a，D a;两电极间电压为 U,求两电极之间的电流。题3-11图解：由于媒质板与两平行圆柱的电场强度平行，按照电场强度切向连续的边界条件，媒质板内外的电场强度和电位分布相同。 因此，先求没有媒质板时的电位。 设两圆柱导体单位带电量分别为i和-i,取两圆柱轴线的中分面为电位零参考，则两圆柱间电压为U 2 (a) -12 n o a解得n oUinD厚度为d的导体圆柱表面的带电量为n oUd.D a inan Ud n Ud.D a , Din ina a3-12半径为
5、a,长为i的管形接地器直立于电导率为 的土壤中，管口与地面平齐，考（b ）镜像系统题3-12图解：考虑地面的影响，可用镜像法来求解下半空间的电位，其镜像系统如题拟法求解，其静电比拟系统如图（ C）所示。设导体管单位长度带电量为 i，可视为位于轴线上，取无穷远为零参考，于是，管外任一点电位为管表面单位（(,z)a, z 0)(a,0)若I a，取l2I II47Rdz l4n. (z z)2-In4 n(z I)2 2 (z I)(z I)2(z l)2dZI I/FV l 4n 厂a2Ia2 2I.I2 a2I2，则导体管表面电位近似为 In?2 n a该管的电容为4 n iina由静电比拟原
6、理,可得原接地导体管的接地电导为G G 2n IG 3戸In a接地电阻为1 , 2IR In2 n I a3-13在很深的湖底上方高ha。假设湖底为良导体平面，湖水电导率为h处悬浮着一根半径为 a的极长的直导线，导线平行于湖底,，求单位长度的导线与湖底之间的电阻。2aOf 2a7/7/7Z77(a)原系统3.12 (b)图丄o- I(b)镜像系统题3-13图解：考虑湖底的影响，可用镜像法来求解湖水中的电位，其镜像系统如题所示，其中利用了边界条件 J1n Jin J2n， E1tE( 0)。由于ha,可设长线单位长度的带电量为 行双线传输线的电位i，位于轴线上，其镜像电荷为I,利用平可写出导线表面相对于湖底的电位为该导线单位长度对湖底的电容为于是可得该导线单位长度对湖底的电导为电阻为In-2iI_(0)2 n,2h a Ina2n.2h a Ina
