1、等角螺线及其它详解等角螺线及其它何谓等角螺线等角螺线的方程式趣史一则等角螺线上的相似性质黄金分割与等角螺线等角螺线的弧长等角螺线的再生性质其它螺线举例儿何学是一门源远流长的数学分支，在十七世纪以前，儿何学一词棋至可说是数 学的同义词，它以往的风光可想而知。曾儿何时，因为某些内在与外在的因素， 儿何学的地位似乎已逐渐没落；在中小学的数学教材里，儿何题材一次乂一次地 被删除。这种现象使我们感到忧心，因为自然环境中隐藏着许多儿何原理，不了 解这些儿何知识，不就表示我们对所生存的空间已经愈来愈不了解了吗？笔者从事数学教育工作多年，乂是现行高中数学教科书的编者之一，对当前高中 数学教材中儿何题材的过度贫
2、乏，实在感到忧心忡忡。在无力对教科书作大幅度 修改的情况下，只好在正式教科书之外从事一些修缮工作。基于上述想法，笔者希望能以一系列的文章来介绍一些儿何题材。在内容方面， 笔者首先选上曲线。因为曲线的讨论不仅是儿何学中最有趣的题材之一，而且许 多曲线都会在自然现象中出现，它们的性质也往往能提供重要的应用。例如：天 文望远镜的设计，不就是根据拋物线的反射性质吗？本文介绍等角螺线。何谓等角螺线在一片空旷的草地上，甲、乙、丙、丁、四只狗分别站立在一个正方形的四个顶 点4、3、C、D上。狗主人要甲狗紧盯着乙狗、乙狗紧盯着丙狗、丙狗紧盯着 丁狗、丁狗紧盯着屮狗。一声令下，四只狗以相同的速度同时冲向1_1标
3、。假定每 只狗在每个时刻都是正面朝向它的LI标，那么，这四只狗所跑过的路径是什么形 式呢？假设四只狗在某一时刻的位置分别为川、Bi、Ci. Di （见图一），则根据四只AiEiCi Di狗的行动一致所产生的对称性，可知 也是正方形，而且它的中心也就是正方形口 ABUD的中心O。更进一步地，山于在川 点的屮狗系冲向在Bi点的乙狗，所以，屮狗在此一时刻的速度方向在向量 上。或者说，中狗所跑的路径在Ai点的切线与直线形成45的夹角。同理，乙狗所跑的路径在Bi点的切线与直线OBi形成45的夹角等等。一般而言，若一曲线在每个点P的切向量都与某定点O至此点P所成的向量 0戸夹成一定角，且定角不是直角，则此
4、曲线称为一等角螺线(equiangular spiral), O点称为它的极点(pole)。前面所提的四狗追逐问题中，每只狗所经过的路线都是一等角螺线的一部分，此等角螺线中的定角是4 (或 ，因为切向量可选成相反方向)，而其极点是 正方形口 ABCJD的中心O。等角螺线的方程式r = 0在坐标平面上，若极坐标方程式 表示一等角螺线( )，其极OVQVqag 爭 (f (9), 9)点是原点O,定角为a ( 2),则因在点 的切向量为cos9 jf(9) sdn0 J，(0) sin 9 + f(9) cos9)所以，可得cos acos 0(尸(0) cos0 f(0)sin0) +sin0(
5、尸(3) shi0 + /(0) cos 9)WWWw朋)vW)F+W)F由此可得下述结果:7WInf (8)=cot a=9cota +常數In a,(上式兩端積分)=ae9 cot a换言之，此等角螺线的极坐标方程式为则甲、乙、r = ae在前而所提的四狗追逐问题中，若中心0是极点而点A的极坐标为丙、丁四只狗所跑的路径分别在下述四等角螺线上：r = ae(0-5=曲(却于),前面所提的r = aeffcota,就是等角螺线的极坐标方程式。由于在导出此方程式的过程中曾经引用了自然对数，所以，等角螺线也称为对数螺线(logarithmic spiral)o趣史一则 等角螺线的性质，笛卡儿(R.
6、 Descartes, 15961630)在1638年就已经考虑 过，但没有获得特殊结果。托里拆利(E. Torricelli, 16081647年)却在1645 年发现有关等角螺线弧长的一项性质，这项性质在下文中将会介绍。对于等角螺线的探讨,以伯努利(J. Bernoulli, 16541705年)的成果最为 丰硕。他发现将等角螺线作某些变换时，所得的曲线仍是全等的等角螺线。这些 变换包括：求等角螺线的垂足曲线(pedal curve)；求等角螺线的渐屈线 (evolute):求等角螺线反演曲线(inversive curve)；求等角螺线的焦线 (caustic curve):将等角螺线以
7、其极点为中心作伸缩变换(dil at ion),由于这 些变换都可以使等角螺线再生，这个现象使伯努利大为欣慰，所以，临殁遗言要 将等角螺线的这些性质刻在他墓碑上，同时题上一句话:Eadem mutata resurgo J (虽然某些状况改变了，我却保持不变)。这是继阿基米德(纪元前三世纪)之 后，另一位在墓碑上表现其成果的数学家。等角螺线上的相似性质根据等角螺线的方程式r = ae9ca,可以看出：对每个o值，都有一个对应cot ct 鼻 0 的r值；而且不同的0值所对应的r值也不同(因为 )o这种现象表示：从等角螺线上某个点出发，随着0值的无限制增大与无限制减小，此 曲线会环绕它的极点形成
8、无数多圈，一面是愈绕愈远，一面是愈绕愈聚集在极点 cot a 0 0 qq cot a QQ (cotcr 口GHJK、OIJICL 等是一 系列的矩形，这些矩形中每两个都相似(亦即：边的比值相等)，而且后一矩形 都是由其前面的矩形挖掉一个正方形而得的。如：口 UJDFH是由掉正方形口力而得的。此时，上列矩形的第一个顶点A、C、E、G、I、K 等会落在一等角螺线上，此等角螺线的极点是AE. BF. CG. DH等共交 的点O。若以o为极点，射线咙为极轴，且q的极坐标为(a，7r),则此等 角螺线的极坐标方程式为=談呵其中 。此等角螺线通常称为黄金螺线。1十/为什么会扯上 2呢？原来这个数就是上
9、述相似矩形的长边与短边的长度之比。因为由 口 4BQF与 口可得BD .BC = BC .CD1 + (CV ; BC) = BC .CD(BC : CD)2 - (BC : CD)-1 = 01 + x/5 BC CD = (因爲行C CDY)若线段 丽上的一点c满足BD :BC = BC :CD,则称c点将 丽黄金分割。当1十辺2c点将 丽黄金分割时，丽：而（或 丽：而）的值是 ，此数称为黄金分1十皿2割比。若一矩形的长边与短边的比值为 ，则此矩形称为黄金矩形。山黄金矩形可引出等角螺线，将矩形改成三角形，也会有同样的结果吗?. ABC BCD HCDE SEF EFG FGH在图中 、 等
10、是一系列的等腰三角形，这些等腰三角形中每两个都相似，而且后一等腰三角形,BCD都规定是山其前面的等腰三角形挖掉一个等腰三角形而得的。例如： 是JLBC DAB由 挖掉等腰三角形 而得的。图六此时，上列等腰三角形的顶点A、B、C、D、E、F、G、H、等会落在一等 角螺线上，此等角螺线的极点是丽与而的交点0。若以O为极点、射线. （语）为极轴、且A的极坐标为 ，则此等角螺线的极坐标方程式为r = #叭。此等角螺线也称为黄金螺线。1+血此等角螺线也扯上 2 ,其理由如下：上述的相似等腰三角形ABC等，可证: = 1+虫明其顶角为36 ,而底角为72 ,所以， 2 o此种三角形称为黄金三角形。等角螺线
11、的弧长, 3 e假定我们想计算等角螺线r = ae9cota上，辐角。满足 - 那段弧的长，利用前面所提的相似性质，我们可将区间 等分成“等分，设每一等 h =了 一印 必 cot q,/3 -|- ih分的长为力，即 。又令P表示极坐标（ ）的点,8 （或甩一。）时的极限存在，则其极限值就是所欲求的弧长。上述的折线长怎么计算呢？因为RR+i: PqB OP ：OP二 二 eih cot a fli 此可得PdP1 4 P1P2 + + -fkl-frv= . (1 + gfecota _|_e2facota _( p e(n-l)ftcotaE&T) COtQ - 1 卄八 7T、=F0Pl
12、 - eh cota-1(假 l0 Q y)另一方而，利用余弦泄律可求得 1)2+4/ cotasm2再根据微积分中的Hospital法则，可得lim 代哙 J = =tana/i-to eh cot a _ 2 cot a由此可得qcot a/l 4-tan2 aa/ cot Qsecalim (F0F1 + PiP2- Fn-iBt)A 0=(1/五 eco(小一日)cot a- 1) =a sec Q0 心 a/)n 3 e y由此可知：在等角螺线r = aetatat辐角满足 一 一 那段弧的长为:aseca-e00),此值等于该狐的两端点向径之差与 謂ua的乘积。0 V Ct QQ在
13、 2的情形中，因为当 时，可得一 ,所以，极点P（仇。山,0）可以看成是等角螺线的一个终极位置。我们也因此可以问：由点 绕QO G 0回极点O的长度为多少？这段弧是辐角0满足 一，所对应的部0 H /3 /?-2 0T = a,于是， 可得丙=OF-secao换言之，由P点绕回o点的弧长与 丙的长相等，这就是托 里拆利所发现的性质（见图七）。前段所提的性质，还可作如下的解释：设想等角螺线在直线PT 作不滑的滚 动，则极点O最后会移动到八而且在滚动过程中点的运动路径就是OTo等角螺线的再生性质垂足曲线设C为一曲线而O为一定点，自O向C的所有切线作垂直线，则所有垂足 所成的图形称为曲线C对定点O的
14、垂足曲线。若C是等角螺线r = ae9cota，则C对其极点的垂足曲线是一个全等的等角螺线，为什么呢？在图七中，若是在切线PT 的垂足，则 0 +（7i/2 a） 0 a 7r/2r=OH = OPsma,而 是P的辐角（设 ）。因此可得r =OPsina= （asiKQ）e-Q+cotar （a sdn o,）e-Os+ a 换言之，所有H点构成等角螺线焦线设C为一曲线而O为一定点，将过O的所有直线都对曲线C作反射，若反 射所得的所有直线都是某曲线的切线，则此曲线称为曲线C对定点O的焦线。若C是等角螺线r = 则C对其极点的焦线是一个全等的等角螺线,我们说明如下。设P是等角螺线C上一点,是极
15、点O对于过P之法线的对称点，则直线OP对等角螺线C反射，所得的直线就是直线PR （见 图七）。显然，r = OR = 2CP cos a 而且 是点P的辐角（设页）O因此，可得r = 2OP cos q = (2a cos 001Qr = (2acosa)eff-a)cota换言之，所有R点构成等角螺线 。因为此等角螺线过R点的切线与直线OR的夹角等于g而直线PR正具有这项性质。也就是说，直线PR就是 此等角螺线在/?点的切线。因此，此等角螺线就是原等角螺线r = e0cota对极点0的 焦线。渐屈线设C为一曲线，作C的所有法线，若所有法线都是某曲线的切线，则此曲线 称为曲线C的渐屈线。若c是
16、等角螺线r = cotQ,则c的渐屈线是一个全等的等角螺线，我们说明如下。设P是等角螺线c上一点,在过P的法线上而且丽丄科（见图七）。显然,ON =0P cot a,而且是点P的辐角（设P ） O因此，可得r OP cot a = (a cot Q)e_ 手)曲“r = （a cot a）e_ 2004 a换言之，所有N点构成等角螺线 。因为此等角螺线过N点的切线与直线ON的夹角等于a,而法线PN正具有这项性质。也就是说，法线PN就是此 等角螺线在N点的切线。因此，此等角螺线就是C:t = ae9crta的渐屈线。曲线C的渐屈线也可定义为曲线C的每个点的曲率中心所成的图形。在 图七中，该等角螺
17、线在P点的曲率中心就是N、曲率半径就是NP =OP esc a ）。习题：试证图七中的所有T点所成的图形仍是一个全等的等角螺线，称为原等角螺线的渐 伸线（involute）。其它螺线举例除了等角螺线外，数学上还有许多不同形式的螺线，像阿基米徳螺线、双曲螺线 (hyperbolic spiral) 抛物螺线(parabolic spiral) 连锁螺线(lituus)等， 其中的阿基米德螺线最为有趣，我们略作介绍如下。向径与辐角的比值是常数时，其轨迹称为阿基米得螺线。以极坐标表示时，其方 程式为 m 其中是常数。早在古希腊时代,大数学家阿基米德就对这种螺线作过研究，并写成一篇名为On spira
18、ls的作品。PQ在图八中，PQR是一把木匠用的曲尺，其短臂的内侧 之长为,圆O的半径也为“，A与B是圆O上两点，而且LAOB是直角。首先，将曲尺上的QRP与0分别置于O与3,然后将曲尺的长臂内侧 沿着圆O滚动，则在 滚动过程中，P点所经过的路径就是阿基米德螺线r = M的一部份。为什么呢？在图八中， 已经滚动到与O相切于T点。则 二弧彷 的长。设_ TQLA.op = 0o于是，可得r = 0P= 二弧的长=a.9 (此处0系以胫 为单位)。因为向径与辐角成比例，所以，阿基米德螺线可用来将等角速运动转换成等速直 线运动，在图九中，有一个心状的图形是山两段全等的阿基米德螺线弧所接合而 成，它们的
19、极点都是O,其上的F则连接在一个可上下移动的杆子上。当心状 图形以等角速绕O点转动时，就可带动上面的杆子作等速直线运动。图八将阿基米德螺线对其极点作反演变换(inversion),所得的反演曲线是一双曲螺 线，所谓反演变换，其意义如下：设圆O的半径为而P是异于O的任意OPOQ = k2点。若Q点在射线帀上且满足 ，则称。是P对圆O的反演像(inverse) 若D是极坐标系中的极点，则上式表示P的向径，与0 的向径/满足rr=k设C为一曲线，则C上每个点对圆O的反演像所成 的图形，称为曲线C对圆O的反演曲线。r cot d根据上述定义，等角螺线r = ae9cota对圆O的反演曲线为 ,0 =与这是一个全等的等角螺线。阿基米德螺线厂=减的反演曲线是 ，这是双曲螺线。极坐标方程式为r2e = a2的曲线称为连锁螺线，它对圆o的反演曲线为卢=兽日 fr- a)2 = b26,这曲线称为费马螺线，它是拋物螺线 的特殊情形。
