1、考研数学所有知识点总结高等数学知识点考研数学知识点-高等数学一. 函数的概念1用变上、下限积分表示的函数（1）y= （2）y=连续， 则公式1limsinx=1x0xnuxf(t)dt，其中f(t)连续，则x2dy=f(x) dx()f(t)dt，其中(x)，(x)可导，f(t)2(x)11公式2lim1+=e；lim1+=e；nunulim(1+v)=ev01vdy(x)f1(x)1(x) =f2(x)2dx2两个无穷小的比较4用无穷小重要性质和等价无穷小代换 5用泰勒公式（比用等价无穷小更深刻）（数学一和数学二）f(x) 设limf(x)=0，limg(x)=0，且lim=l gx （1）
2、l=0，称f(x)是比g(x)高阶的无穷小，记以x2xn当x0时，e=1+x+0xn2!n!x()(f(x)=0g(x)，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。（2）l0，称f(x)与g(x)是同阶无穷小。 （3）l=1，称f(x)与g(x)是等价无穷小，记以x3x5x2n+1nsinx=x+(1)+0x2n+12n+1!3!5!)2nx2x4nxcosx=1+(1)+0x2n2n!2!4!()nx2x3n+1xln(1+x)=x+(1)+0xn23n()(f(x)g(x)3常见的等价无穷小当x0时sinxx，tanxx，arcsinxx，arctanxx2n+1x3x5n+1xarctanx=
3、x+(1)+0x2n+1352n+1)(1+x) =1+x+(1)x2+(1)(n1)xn+0(xn)2!n!6洛必达法则 法则1（1cosx12x，ex1x，ln(1+x)x，2(1+x) 1x型）设（1）limf(x)=0，limg(x)=0 0二求极限的方法1利用极限的四则运算和幂指数运算法则 2两个准则准则1单调有界数列极限一定存在（1）若xn+1xn（n为正整数）又xnm（n为正整数），则limxn=A存在，且Amn（2）x变化过程中，f(x)，g(x)皆存在f(x)=A（或） （3）limgx 则limf(x)=A（或） gxf(x)不存在且不是无穷大量情形，则gx （2）若xn+
4、1xn（n为正整数）又xnM（n为正整数），则limxn=A存在，且AMn（注：如果lim准则2（夹逼定理）设g(x)f(x)h(x) 若limg(x)=A，limh(x)=A，则limf(x)=A 3两个重要公式不能得出limf(x)不存在且不是无穷大量情形）gx 法则2（型）设（1）limf(x)=，limg(x)= Edited by 杨凯钧 2005年10月（2）x变化过程中，f(x)，g(x)皆存在考研数学知识点-高等数学f(x) （3）lim=A（或） gx 则lim值，如果对于区间a,b上的任一点x，总有f(x)M，则称M为函数f(x)在a,b上的最大值。同样可以定义最小值m。定
5、理3（介值定理）如果函数f(x)在闭区间a,b上则对于介于m连续，且其最大值和最小值分别为M和m，和M之间的任何实数c，在a,b上至少存在一个，使得f(x)=A（或）gx 7利用导数定义求极限f(x0+x)f(x0)=f(x0) 如果 基本公式：limx0x存在8利用定积分定义求极限f()=c推论：如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，且f(a)与f(b)异号，则在(a,b)内至少存在一个点，使得1nk1基本公式 limf=f(x)dx 如果存在0nnk=1n三函数的间断点的分类函数的间断点分为两类： （1）第一类间断点设x0是函数y=f(x)的间断点。如果f(x)在间断点f()=0这个推论也
6、称为零点定理 五导数与微分计算 1导数与微分表x0处的左、右极限都存在，则称x0是f(x)的第一类间断点。第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。（2）第二类间断点第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。四闭区间上连续函数的性质在闭区间a,b上连续的函数f(x)，有以下几个基本性质。这些性质以后都要用到。定理1（有界定理）如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，则f(x)必在a,b上有界。定理2（最大值和最小值定理）如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，则在这个区间上一定存在最大值M和最小值m。其中最大值M和最小值m的定义如下：定义 设f(x0
7、)=M是区间a,b上某点x0处的函数(c)=0 d(c)=0(x)= x1（实常数）dx()= x1dx（实常数）(sinx)=cosx dsinx=cosxdx (cosx)=sinx dcosx=sinxdx (tanx)=sec2x dtanx=sec2xdx (cotx)=csc2x dcotx=csc2xdx (secx)=secxtanx dsecx=secxtanxdx (cscx)=cscxcotx dcscx=cscxcotxdx1(a0,a1) xlnadx(a0,a1) dlogax=xlna(lnx)=1 dlnx=1dxxx(ax)=axlna(a0,a1)(loga
8、x)=dax=axlnadx(a0,a1)Edited by 杨凯钧 2005年10月考研数学知识点-高等数学(e)=exxde=edxxx(t)存在，且(t)0，则1x21x2(arcsinx)=(arccosx)1x21xdarcsinx=dxdy(t)= (t)0)dxt二阶导数=2darccosx=dx11arctan= dxdx1+x21+x2(arccotx)=12 darccotx=12dx1+x1+x(arctanx)=dyddxd2y=dxdx2dyddx1=(t)(t)(t)(t)dxdtt3dtln(x+(x+a22)=1x+a1x2+a2225反函数求导法则设y=f(x
9、)的反函数x=g(y)，两者皆可导，且dlnx+x2+a2=)dxf(x)0则 g(y)=ln(x+(xa22)=1xa1xa222211(f(x)0) =fxfgydlnx+x2a2=2四则运算法则)dx1dfxdg(y)1 = 二阶导数g(y)=dydydxdxf(x)g(x)=f(x)g(x) f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x)=f(x)fg(y) (f(x)0) =33fxfgyf(x)f(x)g(x)f(x)g(x)= (g(x)0) 2gxgx3复合函数运算法则设y=f(u)，u=(x)，如果(x)在x处可导，f(u)在对应点u处可导，则复合函数y=f(x)在x处
10、可导，且有6隐函数运算法则设y=y(x)是由方程F(x,y)=0所确定，求y的方法如下：把F(x,y)=0两边的各项对x求导，把y看作中间变量，用复合函数求导公式计算，然后再解出y的表达式（允dydydu=f(x)(x) dxdudx许出现y变量）7对数求导法则先对所给函数式的两边取对数，然后再用隐函数求导方法得出导数y。对数求导法主要用于： 幂指函数求导数多个函数连乘除或开方求导数 关于幂指函数y=f(x)g(x)对应地dy=f(u)du=f(x)(x)dx由于公式dy=f(u)du不管u是自变量或中间变量都成立。因此称为一阶微分形式不变性。4由参数方程确定函数的运算法则设x=(t)，y=(
11、t)确定函数y=y(x)，其中(t)，常用的一种方法Edited by 杨凯钧 2005年10月考研数学知识点-高等数学y=eg(x)lnf(x)这样就可以直接用复合函数运算法则进行。8可微与可导的关系f(x)在x0处可微f(x)在x0处可导。9求n阶导数（n2，正整数） 先求出y,y,总结出规律性，然后写出y用归纳法证明。有一些常用的初等函数的n阶导数公式 （1）y=e yx（1）在闭区间a,b上连续； （2）在开区间(a,b)内可导； 则存在(a,b)，使得(n)，最后f(b)f(a)=f() ba或写成f(b)f(a)=f()(ba) (a0,a1) y(n)=ax(lna)n（3）y=
12、sinx y(n)=sinnx+2（4）y=cosx y(n)=cosx+n2 (5) y=lnx y(n)=(1)n1(n1)!xn 两个函数乘积的n阶导数有莱布尼兹公式nu(x)v(x)(n)=Cku(k)nk)n(x)v(x) k=0其中 Ckn!n=k!nk!， u(0)(x)=u(x)，v(0)(x)=v(x)假设u(x)和v(x)都是n阶可导。 微分中值定理 一罗尔定理 设函数f(x)满足（1）在闭区间a,b上连续； （2）在开区间(a,b)内可导； （3）f(a)=f(b)则存在(a,b)，使得f()=0 二拉格朗日中值定理 设函数f(x)满足(01)这里x0相当a或b都可以，x
13、可正可负。1(,f)( xa,(xa)内fc三柯西中值定理（数学四不要） 设函数f(x)和g(x)满足： （1）在闭区间a,b上皆连续；（2）在开区间(a,b)内皆可导；且g(x)0 则存在(a,b)使得f(b)f(a)gbga=f()g (ab) （注：柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广，特殊情形g(x)=x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。）四泰勒定理（泰勒公式）（数学一和数学二）定理1（皮亚诺余项的n阶泰勒公式） 设f(x)在x0处有n阶导数，则有公式f(x)=f(xf(x0)f(x0)2f(n)(x0)n0)+!(xx0)+2!(xx0)+n!(xx0)+Rn(x)14Edite
14、d by 杨凯钧 2005年10月考研数学知识点-高等数学(xx0)其中Rn(x)=0(xx0) (xx0)称为皮亚诺n的一个极小值，称x0为函数f(x)的一个极小值点。余项。Rn(x) limxx0xxn=00前面求极限方法中用泰勒公式就是这种情形，根据不同情形取适当的n，所以对常用的初等函数如函数的极大值与极小值统称极值。极大值点与极小值点统称极值点。2必要条件（可导情形）设函数f(x)在x0处可导，且x0为f(x)的一个极值点，则f(x0)=0。xf中进一步去判断。3第一充分条件设f(x)在x0处连续，在0xx00，而在(x0,x0+)内的任一点x处，有f(x)0，则f(x0)为极大值，
15、x0为极大值点；2 如果在(x0,x0)内的任一点x处，有x0=0时，也称为n阶麦克劳林公式。如果limRn(x)=0，那么泰勒公式就转化为泰勒级n数，这在后面无穷级数中再讨论。 导数的应用：一基本知识 1定义设函数f(x)在(a,b)内有定义，x0是(a,b)内的某一点，则如果点x0存在一个邻域，使得对此邻域内的任一点f(x)0，则f(x0)为极小值，x0为极小值点；3 如果在(x0,x0)内与(x0,x0+)内的任一点x处，f(x)的符号相同，那么f(x0)不是极值，x0不是极值点。4第二充分条件设函数f(x)在x0处有二阶导数，且f(x0)=0，x(xx0)，总有f(x)f(x0)，则称
16、f(x0)为函数f(x)的一个极大值，称x0为函数f(x)的一个极大值点； 如果点x0存在一个邻域，使得对此邻域内的任一点f(x0)0，则当f(x0)0时，f(x0)为极小值，x0为极小值点。Edited by 杨凯钧 2005年10月x(xx0)，总有f(x)f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)考研数学知识点-高等数学二函数的最大值和最小值1求函数f(x)在a,b上的最大值和最小值的方法 首先，求出f(x)在(a,b)内所有驻点和不可导点y=f(x)在(a,b)内是凸的。y 第一步：求出二阶导数f(x)；第二步：求出使二阶导数等于零或二阶导数不存在的点x1、x2、xk；第三步：对于以上的
17、连续点，检验各点两边二阶导数的符号，如果符号不同，该点就是拐点的横坐标； 第四步：求出拐点的纵坐标。四渐近线的求法 1垂直渐近线() xx1,xk，其次计算f(x1),f(xk),f(a),f(b)。最后，比较f(x1),f(xk),f(a),f(b)，其中最大者就是f(x)在a,b上的最大值M；其中最小者就是f(x)在a,b上的最小值m。2最大（小）值的应用问题首先要列出应用问题中的目标函数及其考虑的区间，然后再求出目标函数在区间内的最大（小）值。三凹凸性与拐点 1凹凸的定义设f(x)在区间I上连续，若对任意不同的两点x1,x2，恒有f 2水平渐近线=xx1+x21x+x21()()f1ff
18、xfxf(x1)+f(x2)122222则称f(x)在I上是凸（凹）的。在几何上，曲线y=f(x)上任意两点的割线在曲线下（上）面，则y=f(x)是凸（凹）的。如果曲线y=f(x)有切线的话，每一点的切线都在曲线之上（下）则y=f(x)是凸（凹）的。 2拐点的定义曲线上凹与凸的分界点，称为曲线的拐点。 3凹凸性的判别和拐点的求法设函数f(x)在(a,b)内具有二阶导数f(x)， 如果在(a,b)内的每一点x，恒有f(x)0，则曲线f(x)0)=b af() y) 五曲率（数学一和数学二）设曲线y=f(x)，它在点M(x,y)处的曲率3斜渐近线k=y21+(y)，若k0，则称R=1为点M(x,y
19、)处k的曲率半径，在M点的法线上，凹向这一边取一点D，使MD=R，则称D为曲率中心，以D为圆心，R为半径的圆周称为曲率圆。不定积分一基本积分公式y=f(x)在(a,b)内是凹的；如果在(a,b)内的每一点x，恒有f(x)0,a1)lnaxxedx=e+C 是非常熟练地凑出微分。常用的几种凑微分形式： （1）f(ax+b)dx=1f(ax+b)d(ax+b) a(a0)（2）fax+bx4cosxdx=sinx+C 5sinxdx=cosx+C 6secxdx=(n)n1dx=1nnfax+bdax+b na()()(a0,n0)（3）12=tanx+C2f(lnx)dx=f(lnx)d(lnx
20、) cosx 7csc2xdx=1sin2x=cotx+C 8tanxsecxdx=secx+C 9cotxcscxdx=cscx+C 10tanxdx=lncosx+C 11cotxdx=lnsinx+C 12secxdx=lnsecx+tanx+C 13cscxdx=lncscxcotx+C 14dxxa2x2=arcsina+C (a0) 15dxa2+x2=1aarctanxa+C (a0) 16dx1aa2x2=2aln+xax+C (a0)17dxx2a2=lnx+x2a2+C (a0)二换元积分法和分部积分法 1第一换元积分法（凑微分法） 设f(u)du=F(u)+C，又(x)可
21、导，则f(x)(x)dx=f(x)d(x令u=(x)f(u)du=F(u)+C=F(x)+C这里要求读者对常用的微分公式要“倒背如流”，也就x（4）f1xdx11x2=fxdx （5）fxdxx=2fx)dx) （6）f(ax)axdx=1lnaf(ax)d(ax)(a0,a1)f(ex)exdx=f(ex)d(ex)（7）f(sinx)cosxdx=f(sinx)d(sinx) （8）f(cosx)sinxdx=f(cosx)d(cosx) （9）f(tanx)sec2xdx=f(tanx)d(tanx)（10）f(cotx)csc2xdx=f(cotx)d(cotx)11）f(secx)s
22、ecxtanxdx=f(secx)d(secx) 12）f(cscx)cscxcotxdx=f(cscx)d(cscx)13）f(arcsinx)x2dx=f(arcsinx)d(arcsinx) 14）f(arccosx)x2dx=f(arccosx)d(arccosx)15）f(arctanx)1+x2dx=f(arctanx)d(arctanx)16）f(arccotx)1+x2dx=f(arccotx)d(arccotx) Edited by 杨凯钧 2005年10月（考研数学知识点-高等数学（17）（1farctan11xdx=farctandarctan xx1+x218）x2+a
23、2dlnx+x2+a2Al2xx02然后再作下列三种三角替换之一：flnx+x2+a2x+a22dx=fln(x+19)()(a0) （）x2a2dlnx+x2a2flnx+x2a2xa22dx=fln(x+)()(a0) （20）3分部积分法f(x)dx=lnf(x)+C (f(x)0) fx2第二换元积分法 设设u(x)，v(x)均有连续的导数，则，若x=(t)可导，且(t)0u(x)dv(x)=u(x)v(x)v(x)du(x) f(t)(t)dt=G(t)+C，则或u(x)v(x)dx=u(x)v(x)u(x)v(x)dx使用分部积分法时被积函数中谁看作u(x)谁看作f(x)dx令x=
24、(t)f(t)(t)dt=G(t)+C=G(x)+C1v(x)有一定规律。ax其中t=1(x)为x=(t)的反函数。（1）Pn(x)e，Pn(x)sinax，Pn(x)cosax情形，第二换元积分法绝大多数用于根式的被积函数，通过换元把根式去掉，其常见的变量替换分为两大类：Pn(x)为n次多项式，a为常数，要进行n次分部积分法，每次均取eaxax+b第一类：被积函数是x与ax+b或x与或cx+d，sinax，cosax为v(x)；多项式部分为u(x)。（2）Pn(x)lnx，Pn(x)arcsinx，Pn(x)arctanx情形，Pn(x)为n次多项式取Pn(x)为v(x)，而lnx，由e构成
25、的代数式的根式，例如ae+b等。只要令根式gx=t，解出x=(t)已经不再有根式，那么就作这种变量替换x=(t)即可。 第二类：被积函数含有如果仍令xxAx+Bx+C (A0)，2arcsinx，arctanx为u(x)，用分部积分法一次，被积函数的形式发生变化，再考虑其它方法。 （3）eaxAx2+Bx+C=t解出x=(t)仍是根号，那sinbx，eaxcosbx情形，进行二次分部积分么这样变量替换不行，要作特殊处理，将A0时先化为Axx0l22，A0时，先化为法后要移项，合并。（4）比较复杂的被积函数使用分部积分法，要用凑微Edited by 杨凯钧 2005年10月考研数学知识点-高等数学
