1、考研数学所有知识点总结高等数学知识点考研数学知识点-高等数学一. 函数的概念1用变上、下限积分表示的函数(1)y= (2)y=连续, 则公式1limsinx=1x0xnuxf(t)dt,其中f(t)连续,则x2dy=f(x) dx()f(t)dt,其中(x),(x)可导,f(t)2(x)11公式2lim1+=e;lim1+=e;nunulim(1+v)=ev01vdy(x)f1(x)1(x) =f2(x)2dx2两个无穷小的比较4用无穷小重要性质和等价无穷小代换 5用泰勒公式(比用等价无穷小更深刻)(数学一和数学二)f(x) 设limf(x)=0,limg(x)=0,且lim=l gx (1)
2、l=0,称f(x)是比g(x)高阶的无穷小,记以x2xn当x0时,e=1+x+0xn2!n!x()(f(x)=0g(x),称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。(2)l0,称f(x)与g(x)是同阶无穷小。 (3)l=1,称f(x)与g(x)是等价无穷小,记以x3x5x2n+1nsinx=x+(1)+0x2n+12n+1!3!5!)2nx2x4nxcosx=1+(1)+0x2n2n!2!4!()nx2x3n+1xln(1+x)=x+(1)+0xn23n()(f(x)g(x)3常见的等价无穷小当x0时sinxx,tanxx,arcsinxx,arctanxx2n+1x3x5n+1xarctanx=
3、x+(1)+0x2n+1352n+1)(1+x) =1+x+(1)x2+(1)(n1)xn+0(xn)2!n!6洛必达法则 法则1(1cosx12x,ex1x,ln(1+x)x,2(1+x) 1x型)设(1)limf(x)=0,limg(x)=0 0二求极限的方法1利用极限的四则运算和幂指数运算法则 2两个准则准则1单调有界数列极限一定存在(1)若xn+1xn(n为正整数)又xnm(n为正整数),则limxn=A存在,且Amn(2)x变化过程中,f(x),g(x)皆存在f(x)=A(或) (3)limgx 则limf(x)=A(或) gxf(x)不存在且不是无穷大量情形,则gx (2)若xn+
4、1xn(n为正整数)又xnM(n为正整数),则limxn=A存在,且AMn(注:如果lim准则2(夹逼定理)设g(x)f(x)h(x) 若limg(x)=A,limh(x)=A,则limf(x)=A 3两个重要公式不能得出limf(x)不存在且不是无穷大量情形)gx 法则2(型)设(1)limf(x)=,limg(x)= Edited by 杨凯钧 2005年10月(2)x变化过程中,f(x),g(x)皆存在考研数学知识点-高等数学f(x) (3)lim=A(或) gx 则lim值,如果对于区间a,b上的任一点x,总有f(x)M,则称M为函数f(x)在a,b上的最大值。同样可以定义最小值m。定
5、理3(介值定理)如果函数f(x)在闭区间a,b上则对于介于m连续,且其最大值和最小值分别为M和m,和M之间的任何实数c,在a,b上至少存在一个,使得f(x)=A(或)gx 7利用导数定义求极限f(x0+x)f(x0)=f(x0) 如果 基本公式:limx0x存在8利用定积分定义求极限f()=c推论:如果函数f(x)在闭区间a,b上连续,且f(a)与f(b)异号,则在(a,b)内至少存在一个点,使得1nk1基本公式 limf=f(x)dx 如果存在0nnk=1n三函数的间断点的分类函数的间断点分为两类: (1)第一类间断点设x0是函数y=f(x)的间断点。如果f(x)在间断点f()=0这个推论也
6、称为零点定理 五导数与微分计算 1导数与微分表x0处的左、右极限都存在,则称x0是f(x)的第一类间断点。第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。(2)第二类间断点第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。四闭区间上连续函数的性质在闭区间a,b上连续的函数f(x),有以下几个基本性质。这些性质以后都要用到。定理1(有界定理)如果函数f(x)在闭区间a,b上连续,则f(x)必在a,b上有界。定理2(最大值和最小值定理)如果函数f(x)在闭区间a,b上连续,则在这个区间上一定存在最大值M和最小值m。其中最大值M和最小值m的定义如下:定义 设f(x0
7、)=M是区间a,b上某点x0处的函数(c)=0 d(c)=0(x)= x1(实常数)dx()= x1dx(实常数)(sinx)=cosx dsinx=cosxdx (cosx)=sinx dcosx=sinxdx (tanx)=sec2x dtanx=sec2xdx (cotx)=csc2x dcotx=csc2xdx (secx)=secxtanx dsecx=secxtanxdx (cscx)=cscxcotx dcscx=cscxcotxdx1(a0,a1) xlnadx(a0,a1) dlogax=xlna(lnx)=1 dlnx=1dxxx(ax)=axlna(a0,a1)(loga
8、x)=dax=axlnadx(a0,a1)Edited by 杨凯钧 2005年10月考研数学知识点-高等数学(e)=exxde=edxxx(t)存在,且(t)0,则1x21x2(arcsinx)=(arccosx)1x21xdarcsinx=dxdy(t)= (t)0)dxt二阶导数=2darccosx=dx11arctan= dxdx1+x21+x2(arccotx)=12 darccotx=12dx1+x1+x(arctanx)=dyddxd2y=dxdx2dyddx1=(t)(t)(t)(t)dxdtt3dtln(x+(x+a22)=1x+a1x2+a2225反函数求导法则设y=f(x
9、)的反函数x=g(y),两者皆可导,且dlnx+x2+a2=)dxf(x)0则 g(y)=ln(x+(xa22)=1xa1xa222211(f(x)0) =fxfgydlnx+x2a2=2四则运算法则)dx1dfxdg(y)1 = 二阶导数g(y)=dydydxdxf(x)g(x)=f(x)g(x) f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x)=f(x)fg(y) (f(x)0) =33fxfgyf(x)f(x)g(x)f(x)g(x)= (g(x)0) 2gxgx3复合函数运算法则设y=f(u),u=(x),如果(x)在x处可导,f(u)在对应点u处可导,则复合函数y=f(x)在x处
10、可导,且有6隐函数运算法则设y=y(x)是由方程F(x,y)=0所确定,求y的方法如下:把F(x,y)=0两边的各项对x求导,把y看作中间变量,用复合函数求导公式计算,然后再解出y的表达式(允dydydu=f(x)(x) dxdudx许出现y变量)7对数求导法则先对所给函数式的两边取对数,然后再用隐函数求导方法得出导数y。对数求导法主要用于: 幂指函数求导数多个函数连乘除或开方求导数 关于幂指函数y=f(x)g(x)对应地dy=f(u)du=f(x)(x)dx由于公式dy=f(u)du不管u是自变量或中间变量都成立。因此称为一阶微分形式不变性。4由参数方程确定函数的运算法则设x=(t),y=(
11、t)确定函数y=y(x),其中(t),常用的一种方法Edited by 杨凯钧 2005年10月考研数学知识点-高等数学y=eg(x)lnf(x)这样就可以直接用复合函数运算法则进行。8可微与可导的关系f(x)在x0处可微f(x)在x0处可导。9求n阶导数(n2,正整数) 先求出y,y,总结出规律性,然后写出y用归纳法证明。有一些常用的初等函数的n阶导数公式 (1)y=e yx(1)在闭区间a,b上连续; (2)在开区间(a,b)内可导; 则存在(a,b),使得(n),最后f(b)f(a)=f() ba或写成f(b)f(a)=f()(ba) (a0,a1) y(n)=ax(lna)n(3)y=
12、sinx y(n)=sinnx+2(4)y=cosx y(n)=cosx+n2 (5) y=lnx y(n)=(1)n1(n1)!xn 两个函数乘积的n阶导数有莱布尼兹公式nu(x)v(x)(n)=Cku(k)nk)n(x)v(x) k=0其中 Ckn!n=k!nk!, u(0)(x)=u(x),v(0)(x)=v(x)假设u(x)和v(x)都是n阶可导。 微分中值定理 一罗尔定理 设函数f(x)满足(1)在闭区间a,b上连续; (2)在开区间(a,b)内可导; (3)f(a)=f(b)则存在(a,b),使得f()=0 二拉格朗日中值定理 设函数f(x)满足(01)这里x0相当a或b都可以,x
13、可正可负。1(,f)( xa,(xa)内fc三柯西中值定理(数学四不要) 设函数f(x)和g(x)满足: (1)在闭区间a,b上皆连续;(2)在开区间(a,b)内皆可导;且g(x)0 则存在(a,b)使得f(b)f(a)gbga=f()g (ab) (注:柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广,特殊情形g(x)=x时,柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。)四泰勒定理(泰勒公式)(数学一和数学二)定理1(皮亚诺余项的n阶泰勒公式) 设f(x)在x0处有n阶导数,则有公式f(x)=f(xf(x0)f(x0)2f(n)(x0)n0)+!(xx0)+2!(xx0)+n!(xx0)+Rn(x)14Edite
14、d by 杨凯钧 2005年10月考研数学知识点-高等数学(xx0)其中Rn(x)=0(xx0) (xx0)称为皮亚诺n的一个极小值,称x0为函数f(x)的一个极小值点。余项。Rn(x) limxx0xxn=00前面求极限方法中用泰勒公式就是这种情形,根据不同情形取适当的n,所以对常用的初等函数如函数的极大值与极小值统称极值。极大值点与极小值点统称极值点。2必要条件(可导情形)设函数f(x)在x0处可导,且x0为f(x)的一个极值点,则f(x0)=0。xf中进一步去判断。3第一充分条件设f(x)在x0处连续,在0xx00,而在(x0,x0+)内的任一点x处,有f(x)0,则f(x0)为极大值,
15、x0为极大值点;2 如果在(x0,x0)内的任一点x处,有x0=0时,也称为n阶麦克劳林公式。如果limRn(x)=0,那么泰勒公式就转化为泰勒级n数,这在后面无穷级数中再讨论。 导数的应用:一基本知识 1定义设函数f(x)在(a,b)内有定义,x0是(a,b)内的某一点,则如果点x0存在一个邻域,使得对此邻域内的任一点f(x)0,则f(x0)为极小值,x0为极小值点;3 如果在(x0,x0)内与(x0,x0+)内的任一点x处,f(x)的符号相同,那么f(x0)不是极值,x0不是极值点。4第二充分条件设函数f(x)在x0处有二阶导数,且f(x0)=0,x(xx0),总有f(x)f(x0),则称
16、f(x0)为函数f(x)的一个极大值,称x0为函数f(x)的一个极大值点; 如果点x0存在一个邻域,使得对此邻域内的任一点f(x0)0,则当f(x0)0时,f(x0)为极小值,x0为极小值点。Edited by 杨凯钧 2005年10月x(xx0),总有f(x)f(x0),则称f(x0)为函数f(x)考研数学知识点-高等数学二函数的最大值和最小值1求函数f(x)在a,b上的最大值和最小值的方法 首先,求出f(x)在(a,b)内所有驻点和不可导点y=f(x)在(a,b)内是凸的。y 第一步:求出二阶导数f(x);第二步:求出使二阶导数等于零或二阶导数不存在的点x1、x2、xk;第三步:对于以上的
17、连续点,检验各点两边二阶导数的符号,如果符号不同,该点就是拐点的横坐标; 第四步:求出拐点的纵坐标。四渐近线的求法 1垂直渐近线() xx1,xk,其次计算f(x1),f(xk),f(a),f(b)。最后,比较f(x1),f(xk),f(a),f(b),其中最大者就是f(x)在a,b上的最大值M;其中最小者就是f(x)在a,b上的最小值m。2最大(小)值的应用问题首先要列出应用问题中的目标函数及其考虑的区间,然后再求出目标函数在区间内的最大(小)值。三凹凸性与拐点 1凹凸的定义设f(x)在区间I上连续,若对任意不同的两点x1,x2,恒有f 2水平渐近线=xx1+x21x+x21()()f1ff
18、xfxf(x1)+f(x2)122222则称f(x)在I上是凸(凹)的。在几何上,曲线y=f(x)上任意两点的割线在曲线下(上)面,则y=f(x)是凸(凹)的。如果曲线y=f(x)有切线的话,每一点的切线都在曲线之上(下)则y=f(x)是凸(凹)的。 2拐点的定义曲线上凹与凸的分界点,称为曲线的拐点。 3凹凸性的判别和拐点的求法设函数f(x)在(a,b)内具有二阶导数f(x), 如果在(a,b)内的每一点x,恒有f(x)0,则曲线f(x)0)=b af() y) 五曲率(数学一和数学二)设曲线y=f(x),它在点M(x,y)处的曲率3斜渐近线k=y21+(y),若k0,则称R=1为点M(x,y
19、)处k的曲率半径,在M点的法线上,凹向这一边取一点D,使MD=R,则称D为曲率中心,以D为圆心,R为半径的圆周称为曲率圆。不定积分一基本积分公式y=f(x)在(a,b)内是凹的;如果在(a,b)内的每一点x,恒有f(x)0,a1)lnaxxedx=e+C 是非常熟练地凑出微分。常用的几种凑微分形式: (1)f(ax+b)dx=1f(ax+b)d(ax+b) a(a0)(2)fax+bx4cosxdx=sinx+C 5sinxdx=cosx+C 6secxdx=(n)n1dx=1nnfax+bdax+b na()()(a0,n0)(3)12=tanx+C2f(lnx)dx=f(lnx)d(lnx
20、) cosx 7csc2xdx=1sin2x=cotx+C 8tanxsecxdx=secx+C 9cotxcscxdx=cscx+C 10tanxdx=lncosx+C 11cotxdx=lnsinx+C 12secxdx=lnsecx+tanx+C 13cscxdx=lncscxcotx+C 14dxxa2x2=arcsina+C (a0) 15dxa2+x2=1aarctanxa+C (a0) 16dx1aa2x2=2aln+xax+C (a0)17dxx2a2=lnx+x2a2+C (a0)二换元积分法和分部积分法 1第一换元积分法(凑微分法) 设f(u)du=F(u)+C,又(x)可
21、导,则f(x)(x)dx=f(x)d(x令u=(x)f(u)du=F(u)+C=F(x)+C这里要求读者对常用的微分公式要“倒背如流”,也就x(4)f1xdx11x2=fxdx (5)fxdxx=2fx)dx) (6)f(ax)axdx=1lnaf(ax)d(ax)(a0,a1)f(ex)exdx=f(ex)d(ex)(7)f(sinx)cosxdx=f(sinx)d(sinx) (8)f(cosx)sinxdx=f(cosx)d(cosx) (9)f(tanx)sec2xdx=f(tanx)d(tanx)(10)f(cotx)csc2xdx=f(cotx)d(cotx)11)f(secx)s
22、ecxtanxdx=f(secx)d(secx) 12)f(cscx)cscxcotxdx=f(cscx)d(cscx)13)f(arcsinx)x2dx=f(arcsinx)d(arcsinx) 14)f(arccosx)x2dx=f(arccosx)d(arccosx)15)f(arctanx)1+x2dx=f(arctanx)d(arctanx)16)f(arccotx)1+x2dx=f(arccotx)d(arccotx) Edited by 杨凯钧 2005年10月(考研数学知识点-高等数学(17)(1farctan11xdx=farctandarctan xx1+x218)x2+a
23、2dlnx+x2+a2Al2xx02然后再作下列三种三角替换之一:flnx+x2+a2x+a22dx=fln(x+19)()(a0) ()x2a2dlnx+x2a2flnx+x2a2xa22dx=fln(x+)()(a0) (20)3分部积分法f(x)dx=lnf(x)+C (f(x)0) fx2第二换元积分法 设设u(x),v(x)均有连续的导数,则,若x=(t)可导,且(t)0u(x)dv(x)=u(x)v(x)v(x)du(x) f(t)(t)dt=G(t)+C,则或u(x)v(x)dx=u(x)v(x)u(x)v(x)dx使用分部积分法时被积函数中谁看作u(x)谁看作f(x)dx令x=
24、(t)f(t)(t)dt=G(t)+C=G(x)+C1v(x)有一定规律。ax其中t=1(x)为x=(t)的反函数。(1)Pn(x)e,Pn(x)sinax,Pn(x)cosax情形,第二换元积分法绝大多数用于根式的被积函数,通过换元把根式去掉,其常见的变量替换分为两大类:Pn(x)为n次多项式,a为常数,要进行n次分部积分法,每次均取eaxax+b第一类:被积函数是x与ax+b或x与或cx+d,sinax,cosax为v(x);多项式部分为u(x)。(2)Pn(x)lnx,Pn(x)arcsinx,Pn(x)arctanx情形,Pn(x)为n次多项式取Pn(x)为v(x),而lnx,由e构成
25、的代数式的根式,例如ae+b等。只要令根式gx=t,解出x=(t)已经不再有根式,那么就作这种变量替换x=(t)即可。 第二类:被积函数含有如果仍令xxAx+Bx+C (A0),2arcsinx,arctanx为u(x),用分部积分法一次,被积函数的形式发生变化,再考虑其它方法。 (3)eaxAx2+Bx+C=t解出x=(t)仍是根号,那sinbx,eaxcosbx情形,进行二次分部积分么这样变量替换不行,要作特殊处理,将A0时先化为Axx0l22,A0时,先化为法后要移项,合并。(4)比较复杂的被积函数使用分部积分法,要用凑微Edited by 杨凯钧 2005年10月考研数学知识点-高等数学