1、数数列列第一节第一节 数列的概念与简单表示法数列的概念与简单表示法第二节第二节 等差数列及其前等差数列及其前n项和项和第三节第三节 等比数列及其前等比数列及其前n项和项和第四节第四节 数列求和数列求和第五节第五节 数列的综合应用数列的综合应用目录数 列知识能否忆起知识能否忆起1数列的定义、分类与通项公式数列的定义、分类与通项公式(1)数列的定义：数列的定义：数列：按照数列：按照排列的一列数排列的一列数数列的项：数列中的数列的项：数列中的一定顺序一定顺序每一个数每一个数(2)数列的分类：数列的分类：分类标分类标准准类型类型满足条件满足条件项数项数有穷数列有穷数列 项数项数 无穷数列无穷数列 项数
2、项数项与项项与项间的大间的大小关系小关系递增数列递增数列an1 an其中其中nN*递减数列递减数列an1 an常数列常数列an1an有限有限无限无限(3)数列的通项公式：数列的通项公式：如果数列如果数列an的第的第n项与项与之间的关系可以用一个式之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式2数列的递推公式数列的递推公式如果已知数列如果已知数列an的首项的首项(或前几项或前几项)，且，且与它与它的的(n2)(或前几项或前几项)间的关系可用一个公式来表示，间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数列的递推公式那么这个公式叫数列的递
3、推公式任一项任一项an序号序号n前一项前一项an1答案：答案：B小题能否全取小题能否全取2设数列设数列an的前的前n项和项和Snn2，则，则a8的值为的值为()A15B16C49D64解析：解析：a8S8S7644915.答案：答案：A答案：答案：AA递增数列递增数列B递减数列递减数列C常数列常数列D摆动数列摆动数列解析解析：a4a3233(235)54.答案：答案：541.对数列概念的理解对数列概念的理解(1)数列是按一定数列是按一定“顺序顺序”排列的一列数，一个数列不仅排列的一列数，一个数列不仅与构成它的与构成它的“数数”有关，而且还与这些有关，而且还与这些“数数”的排列顺序有关，的排列顺
4、序有关，这有别于集合中元素的无序性因此，若组成两个数列的数这有别于集合中元素的无序性因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列(2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别复出现，这也是数列与数集的区别2数列的函数特征数列的函数特征数列是一个定义域为正整数集数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集或它的有限子集1,2,3，n)的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即解析式，即f(n)a
5、n(nN*)答案答案C 1根根据据数数列列的的前前几几项求求它它的的一一个个通通项公公式式，要要注注意意观察察每每一一项的的特特点点，观察察出出项与与n之之间的的关关系系、规律律，可可使使用用添添项、通通分分、分分割割等等办法法，转化化为一一些些常常见数数列列的的通通项公公式式来来求求对于于正正负符符号号变化化，可可用用(1)n或或(1)n1来来调整整2根根据据数数列列的的前前几几项写写出出数数列列的的一一个个通通项公公式式是是不完全不完全归纳法，它法，它蕴含着含着“从特殊到一般从特殊到一般”的思想的思想由由an与与Sn的关系求通项的关系求通项an(1)Sn2n23n；(2)Sn3n1.已知数
6、列已知数列an的前的前n项和项和Sn，求数列的通项公式，求数列的通项公式，其求解过程分为三步：其求解过程分为三步：(1)先利用先利用a1S1求出求出a1；(2)用用n1替换替换Sn中的中的n得到一个新的关系，利用得到一个新的关系，利用anSnSn1(n2)便可求出当便可求出当n2时时an的表达式；的表达式；(3)对对n1时的结果进行检验，看是否符合时的结果进行检验，看是否符合n2时时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分如果不符合，则应该分n1与与n2两段来写两段来写答案：答案：D 例例3已知数列已知数列an的通
7、项公式为的通项公式为ann221n20.(1)n为何值时，为何值时，an有最小值？并求出最小值；有最小值？并求出最小值；(2)n为何值时，该数列的前为何值时，该数列的前n项和最小？项和最小？数列的性质数列的性质 1数列中项的最值的求法数列中项的最值的求法根据数列与函数之间的对应关系，构造相应的函数根据数列与函数之间的对应关系，构造相应的函数anf(n)，利用求解函数最值的方法求解，但要注意自变量的取值，利用求解函数最值的方法求解，但要注意自变量的取值2前前n项和最值的求法项和最值的求法(1)先求出数列的前先求出数列的前n项和项和Sn，根据，根据Sn的表达式求解最值；的表达式求解最值；(2)根据
8、数列的通项公式，若根据数列的通项公式，若am0，且，且am10，则，则Sm最小，这样便可直接利用各项的符最小，这样便可直接利用各项的符号确定最值号确定最值.答案：答案：C 递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接，下面介绍由递推公式列中的项时，不如通项公式直接，下面介绍由递推公式求通项公式的几种方法求通项公式的几种方法1累加法累加法典典例例1(2011四四川川高高考考)数数列列an的的首首项项为为3，bn为为等等差差数数列列
9、且且bnan1an(nN*)若若b32，b1012，则，则a8()A0B3C8D11解解析析由由已已知知得得bn2n8，an1an2n8，所所以以a2a16，a3a24，a8a76，由由累累加加法法得得a8a16(4)(2)02460，所所以以a8a13.答案答案B(1)求求a2，a3；(2)求求an的通项公式的通项公式2累乘法累乘法3构造新数列构造新数列典典例例3已已知知数数列列an满满足足a11，an13an2；则则an_.答案答案23n11 教师备选题（给有能力的学生加餐）（给有能力的学生加餐）解题训练要高效解题训练要高效见见“课时跟踪检课时跟踪检测（三十）测（三十）”答案：答案：C答案
10、：答案：B答案：答案：C知识能否忆起知识能否忆起第第2项项 差差an1and一、等差数列的有关概念一、等差数列的有关概念等差中项等差中项 a1(n1)d二、等差数列的有关公式二、等差数列的有关公式三、等差数列的性质三、等差数列的性质1若若m，n，p，qN*，且，且mnpq，an为为等差数列，则等差数列，则amanapaq.2在等差数列在等差数列an中，中，ak，a2k，a3k，a4k，仍为仍为等差数列，公差为等差数列，公差为kd.3若若an为等差数列，则为等差数列，则Sn，S2nSn，S3nS2n，仍为等差数列，公差为仍为等差数列，公差为n2d.4等差数列的增减性：等差数列的增减性：d0时为递
11、增数列，且当时为递增数列，且当a10时前时前n项和项和Sn有最小值有最小值d0时前时前n项和项和Sn有最大值有最大值小题能否全取小题能否全取1(2013福建高考福建高考)等差数列等差数列an中，中，a1a510，a47，则，则数列数列an的公差为的公差为()答案：答案：B答案：答案：D答案：答案：BA58B88C143D176答案：答案：2n11.与前与前n项和有关的三和有关的三类问题(1)知三求二：已知知三求二：已知a1、d、n、an、Sn中的任意三个，中的任意三个，即可求得其余两个，即可求得其余两个，这体体现了方程思想了方程思想(3)利用二次函数的利用二次函数的图象确定象确定Sn的最的最值
12、时，最高点的，最高点的纵坐坐标不一定是最大不一定是最大值，最低点的，最低点的纵坐坐标不一定是最小不一定是最小值2设元与解元与解题的技巧的技巧已知三个或四个数已知三个或四个数组成等差数列的一成等差数列的一类问题，要善，要善于于设元，若奇数个数成等差数列且和元，若奇数个数成等差数列且和为定定值时，可，可设为，a2d，ad，a，ad，a2d，；若偶数个数成等差数列且和若偶数个数成等差数列且和为定定值时，可，可设为，a3d，ad，ad，a3d，其余各，其余各项再依据等差数再依据等差数列的定列的定义进行行对称称设元元例例1在数列在数列an中，中，a13，an2an12n3(n2，且，且nN*)(1)求求
13、a2，a3的的值；等差数列的判断与等差数列的判断与证明明 自主解答自主解答(1)a13，an2an12n3(n2，且且nN*)，a22a12231，a32a223313.1证明明an为等差数列的方法：等差数列的方法：(1)用定用定义证明：明：anan1d(d为常数，常数，n2)an为等差数列；等差数列；(2)用等差中用等差中项证明：明：2an1anan2an为等差数等差数列；列；(3)通通项法：法：an为n的一次函数的一次函数an为等差数列；等差数列；2用定用定义证明等差数列明等差数列时，常采用的两个式子，常采用的两个式子an1and和和anan1d，但它，但它们的意的意义不同，后者必不同，后
14、者必须加加上上“n2”，否，否则n1时，a0无定无定义1已知数列已知数列an的前的前n项和和Sn是是n的二次函数，且的二次函数，且a12，a22，S36.(1)求求Sn；(2)证明：数列明：数列an是等差数列是等差数列解：解：(1)设设SnAn2BnC(A0)，例例2(2012重庆高考重庆高考)已知已知an为等差数列，且为等差数列，且a1a38，a2a412.(1)求求an的通项公式；的通项公式；(2)记记an的前的前n项和为项和为Sn，若，若a1，ak，Sk2成等比数成等比数列，求正整数列，求正整数k的值的值等差数列的基本运算等差数列的基本运算 2数列的通数列的通项公式和前公式和前n项和公式
15、在解和公式在解题中起到中起到变量代量代换作用，而作用，而a1和和d是等差数列的两个基本量，用它是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法表示已知和未知是常用方法答案：答案：(1)44(2)6 答案答案(1)B(2)A1等差数列的性等差数列的性质是等差数列的定是等差数列的定义、通、通项公公式以及前式以及前n项和公式等基和公式等基础知知识的推广与的推广与变形，熟形，熟练掌握和灵活掌握和灵活应用用这些性些性质可以有效、方便、快捷地解可以有效、方便、快捷地解决决许多等差数列多等差数列问题2应用等差数列的性用等差数列的性质解答解答问题的关的关键是是寻找找项的序号之的序号之间的关系的关系A6B
16、7C8D9(2)(2013海淀期末海淀期末)若数列若数列an满足：满足：a119，an1an3(n N*)，则数列，则数列an的前的前n项和数值最大时，项和数值最大时，n的值的值为为()“题型技法点拨题型技法点拨快得分快得分”系列之（六）系列之（六）特值法解等差数列问题特值法解等差数列问题答案答案n2特殊特殊值法在解一些法在解一些选择题和填空和填空题中中经常用到，常用到，就是通就是通过取一些特殊取一些特殊值、特殊点、特殊函数、特殊数列、特殊点、特殊函数、特殊数列、特殊特殊图形等来求解或否定形等来求解或否定问题的目的；用特殊的目的；用特殊值法解法解题时要注意，所要注意，所选取的特例一定要取的特例一定要简单，且符合，且符合题设条件条件答案：答案：C解析：法一：解析：法一：a2a11a1a14，a12，a9a81a8a12a4a14a2a118.法二：法二：a2a11a1a14，a12，令，令pn，q1，所以，所以an1ana1，即，即an1an2，an是等差数是等差数列，且首列，且首项为2，公差，公差为2，故，故a92(91)218.答案：答案：B法二：法二：令令n1，只有，只有B项符合项
