1、第十章结构动力计算基础主要内容10-1 概述10-2 单自由度体系无阻尼自由振动10-3 单自由度体系无阻尼受迫振动10-4 单自由度体系有阻尼自由振动10-7 多自由度体系在简谐荷载作用下的受迫振动10-5 单自由度体系有阻尼受迫振动10-6 多自由度体系的自由振动10-1 概述1 1）结构动力计算的特点和内容动力荷载动力荷载：指大小、方向和作用位置等随时间变化，并且使结构产生不可忽视的惯性力的荷载。区分静力荷载和动力荷载，主要看其对结构产生的影响。动力动力特性：特性：指结构自由振动时，结构的自振频率、振型和阻尼参数等指标。研究结构的动力计算方法，需要分析结构的自由振动和动力荷载作用下的受迫
2、振动两种情况，前者计算结构的动力特性，后者进一步计算结构的动力响应。10-1 概述2 2）动力荷载的分类周期周期荷载荷载：随时间呈周期变化的荷载。冲击冲击荷载荷载：短时间内作用在结构上的一种幅值较大的荷载。(3)突加突加荷载荷载：在瞬间突然施加在结构上且保持一段较长时间的荷载。(4)随机随机荷载荷载：在任一时刻其数值是随机量，其变化规律不能用确定的函数关系进行表示。前三种荷载都属于确定性荷载，本章只涉及确定性荷载的作用。10-1 概述3 3）结构的振动自由度）结构的振动自由度概念概念：结构振动时，确定某一时刻全部质量的位置所需要的独立几何参数的数目，称为结构的振动自由度。集中质量法：集中质量法
3、：这种方法是将连续分布的质量集中到结构的若干点上，即结构动力计算简图为有限质点体系。(a)(b)(a)一个质量点 (b)若干质量点10-1 概述3 3）结构的振动自由度）结构的振动自由度 通常对于杆系结构，质点惯性力矩对结构动力响应的影响很小，因此可忽略不计，即质点的角位移不作为基本未知量。对于受弯杆件通常还忽略轴向变形的影响，即假定变形后杆上任意两点之间距离保持不变。(a)自由度示意 (b)附加链杆10-1 概述3 3）结构的振动自由度）结构的振动自由度 确定结构的振动自由度可采用附加链杆的方法：加入最少的链杆使结构上全部质点均不能运动，则结构振动的自由度为所加链杆的数目。(a)二质点三自由
4、度结构 (b)三质点二自由度结构10-1 概述3 3）结构的振动自由度）结构的振动自由度 由以上几个例子可以看出：结构振动自由度的数目不一定等于体系集中质量的数目；结构振动自由度的数目与体系是静定或超静定无关；结构振动自由度的数目与计算精度有关。10-2 单自由度体系无阻尼自由振动1 1）运动微分方程的建立利用动静法建立运动微分方程有两种方法：刚度法和柔度法。y(t)lEIFIFSFIlEI(a)(b)(c)(a)简支梁振动(b)力系平衡条件(c)变形协调条件10-2 单自由度体系无阻尼自由振动1 1）运动微分方程的建立刚度法刚度法：设质点m在振动中任一时刻的位移为y(t)。取质点m为隔离体(
5、图b)，其受力情况为：弹性恢复力 ，其中k11为结构刚度系数，FS与质点位移y(t)的方向相反；惯性力 ，它与质点加速度 的方向相反。若将质点位移的计算始点取在质点静力平衡位置上，则质点重量的影响不必考虑。对于无阻尼自由振动，质点在惯性力FI和弹性恢复力FS作用下处于动力平衡状态，则有 ,即 ，此式可改写为 此式为单自由度体系无阻尼自由振动的运动方程，这种由力系平衡条件建立运动微分方程的方法称为刚度法。10-2 单自由度体系无阻尼自由振动1 1）运动微分方程的建立(2)柔度法柔度法：将惯性力FI作为静力荷载加于体系的质点上(图c)，则惯性力FI引起的位移等于质点的位移y(t)，即运动方程为,此
6、式可改写为 这种由变形协调条件建立运动微分方程的方法称为柔度法。对单自由度体系，有 ，令 ，得到统一的运动方程为 其通解为 ，式中的c1和c2为积分常数，由初始条件确定。10-2 单自由度体系无阻尼自由振动1 1）运动微分方程的建立 若当t=0时，则有上式可改写为如下形式其中 ，无阻尼的自由振动是以静平衡位置为中心的简谐振动。式中A表示体系振动时质点m的最大动位移，称为振幅。称为初始相位角，称为相位角。10-2 单自由度体系无阻尼自由振动2 2）运动分析 简谐振动是周期运动，质点m的位移是周期性的，其周期为 ，T称为结构的自振周期，自振周期的倒数f称为工程频率 ，体系自由振动的圆频率或角频率为
7、 结构自振频率 的计算公式为式中，W表示重力，是由重力产生的静力位移。相应地，结构的自振周期T的计算公式为：10-2 单自由度体系无阻尼自由振动 【例【例1 1】简支梁承受静荷载F=12kN，梁EI为常数。设在t=0 时刻把这个静荷载突然撤除，不计梁的阻力，试求系统的自振频率和质点m的位移。解：解：自振频率是系统的固有特性，与荷载无关。可先求出柔度系数 ，再求固有频率 。由结构的 图,，则 当静荷载撤除后，梁的运动为单自由度体系的无阻尼自由振动。初始时刻质点速度为零，即 ，可由图乘法计算得到，则质点m的位移10-2 单自由度体系无阻尼自由振动 【例【例2 2】门式刚架。两个立柱的截面抗弯刚度分
8、别为E1I1和E2I2，横梁的截面抗弯刚度EI=，横梁的总质量为m，立柱的质量不计。求刚架作水平振动时的频率。解：解：当横梁产生单位位移时，由位移法知，左右两柱的杆端剪力分别为 ，。因而，使刚架产生单位水平位移所施加的力 为：刚架水平振动时的自振频率为：10-3 单自由度体系无阻尼受迫振动1 1）运动微分方程的建立体系在动力荷载作用下所产生的振动称为受迫振动。(a)单自由度体系无阻尼振动模型 (b)受力分析图10-3 单自由度体系无阻尼受迫振动1 1）运动微分方程的建立 在荷载F(t)作用下，其位移为y(t)。用刚度法建立其运动微分方程，对质量块m进行受力分析，在荷载F(t)、弹性恢复力 和惯
9、性力 的共同作用下，质量块保持平衡。即：整理得改写为此式即为单自由度体系无阻尼受迫振动的微分方程。式中 ,下面分别讨论几种常见动力荷载作用下结构的动力性能。10-3 单自由度体系无阻尼受迫振动2 2）简谐荷载）简谐荷载 设荷载的表达式为 ，则微分方程 ，其通解为 。设齐次方程的通解为 ，设特解 ，将特解代入微分方程可得待定系数 ，则方程通解为：其中c1,c2为积分常数，由初始条件而定。前两项是按固有频率自由振动，在阻尼作用下，其为衰减函数，将会在一段时间内逐渐消失。第三项是按动荷载的频率振动，称为纯受迫振动或稳态受迫振动。一般把振动刚开始阶段几种振动同时存在的阶段称为过渡阶段，而把后面只存在纯
10、受迫振动的阶段称为平稳阶段。通常过渡阶段比较短，因此在实际问题中分析平稳阶段的动力特性更为重要。10-3 单自由度体系无阻尼受迫振动2 2）简谐荷载）简谐荷载 第三项是纯受迫振动的质点位移，其最大动位移(即振幅)为由于 ，代入上式，有式中 ，表示将动荷载的幅值F作为静荷载作用于结构时所引起的位移。令则10-3 单自由度体系无阻尼受迫振动2 2）简谐荷载）简谐荷载 称为动力系数，它表示质点的最大动位移与静位移的比值。可先求出简谐荷载的幅值作为静荷载所产生的静位移 ，然后再乘以动力系数，即可得到在动荷载作用下的最大动位移A，这一方法称为动力系数法。对于单自由度体系，若荷载作用在质点上，并且其作用线
11、与质点的位移一致时，结构的动内力与动位移成正比，因此动内力和动位移有相同的动力系数，最大动内力按与最大动位移相同方法进行计算。例如，结构的最大动弯矩其中，为荷载幅值作为静荷载时所产生的弯矩。10-3 单自由度体系无阻尼受迫振动2 2）简谐荷载）简谐荷载 动力系数的变化规律，令 ，称为频率比，则 以为横坐标，的绝对值为纵坐标，绘出动力系数随频率比变化的图形无阻尼情况下动力系数随频率比变化图10-3 单自由度体系无阻尼受迫振动2 2）简谐荷载）简谐荷载讨论：当 时，。此时动荷载的频率比结构固有频率小得多，动荷载随时间变化缓慢，其引起的动位移幅值与静位移 趋于一致，故可将动荷载作为静荷载处理；当 时
12、，。这说明当简谐荷载的频率与结构自振频率接近时，振幅将趋于无穷，较小的荷载即可产生很大的位移和内力，这种情况称为共振。在工程结构设计时，常常需要避免发生共振现象；当 时，动力系数 ，且随值的增大而增大；当 时，为负值，说明振动过程中动位移与动荷载反向，并且 随增大而逐渐减小趋于零，说明当荷载频率远大于结构固有频率时，动位移幅值反而比静位移 要小。10-3 单自由度体系无阻尼受迫振动 【例【例3 3】简支梁跨中安装一台电动机。已知电动机重Q=35kN，转速为n=400r/min。转动时由于偏心产生的离心力F=10kN，离心力的竖向分量为Fsint。梁的截面抗弯刚度EI=1.848 104kN.m
13、2。忽略梁的自重，求梁的最大弯矩和最大挠度。解：解：最大弯矩和最大挠度发生在梁的中点，它们是在电机重力Q和动荷载Fsint共同作用下引起的。梁在电机重力作用下跨中的弯矩和挠度为：10-3 单自由度体系无阻尼受迫振动将荷载幅值F作用在结构上，其跨中弯矩和位移为 结构的自振频率为动荷载的频率为动力系数为梁跨中截面动弯矩幅值和动位移幅值为梁截面的最大弯矩和最大位移为：10-3 单自由度体系无阻尼受迫振动 【例【例4 4】试求所示结构在简谐荷载作用下的质点动位移幅值，并画出动弯矩幅值图。已知：。解：解：质点位移是由惯性力和动荷载共同引起的，用柔度法建立位移幅值方程整理得 10-3 单自由度体系无阻尼受
14、迫振动由 图和 图，利用图乘法求得体系的自振频率为位移的动力系数为则质点动位移幅值为质点惯性力幅值为将惯性力幅值FI和荷载幅值F共同作用在结构上，即可作出动弯矩幅值图，如图d所示。10-3 单自由度体系无阻尼受迫振动3 3）一般动力荷载）一般动力荷载 在一般动力荷载作用下，特解可用如下方法推导。若t=0时，作用在质点的荷载大小为F，作用时间为t，则瞬时冲量为Q=Ft。设静止的单自由度体系在t=0时刻受冲量Q的作用，根据动量定理 ，则 ，因此在荷载F作用的终了时刻，质点将获得初始速度 ，而由于作用时间很短，质点的初位移 ，因此瞬时冲量作用过后，质点将产生自由振动。则质点m的位移方程为10-3 单
15、自由度体系无阻尼受迫振动3 3）一般动力荷载）一般动力荷载 若瞬时冲量在 时作用在质点上，则质点位移在 时为零，在 时有 其中，瞬时冲量 ，上式即为在 时瞬时冲量Q引起的无阻尼单自由度系统的动力响应。一般荷载F(t)可看成一系列瞬时冲量的集合，若把每个瞬时冲量所引起的位移叠加，即可得到F(t)作用下质点的位移，根据这一思路，在一般荷载作用下，质点的位移可表示为 上式称为杜哈梅(Duhamel)积分。它是初始时刻处于静止状态的无阻尼单自由度系统在任意动力荷载作用下的位移计算公式。如果初位移 和初速度 不为零，则总位移应为：10-3 单自由度体系无阻尼受迫振动 【例【例5 5】试求无阻尼单自由度体
16、系在突加荷载作用下的动位移幅值，假设加载前体系静止。突加荷载F(t)随时间变化的规律为。其函数曲线如图（a）所示。解：解：加载前结构处于静止状态，因此质点的位移质点位移与时间关系曲线如图（b）所示。由上此可知，突加荷载引起质点最大动位移 ，因此动力系数为2。10-3 单自由度体系无阻尼受迫振动 【例【例6 6】爆炸荷载可近似用如下图所示规律表示，即若不考虑阻尼，试求单自由度结构在此动荷载作用下的位移表达式。设结构原处于静止状态。解：解：当 时，结构的运动为初始条件均为零的强迫振动。积分得即 10-3 单自由度体系无阻尼受迫振动解：解：当 时，结构的运动是初始条件为 ，的自由振动将 、代入无阻尼自由振动位移公式，并将时间变量改为 ，即得 时结构的位移整理得 10-4 单自由度体系有阻尼自由振动1 1）阻尼）阻尼 阻尼是结构在振动时来自外部和内部使其能量损耗的作用。对阻尼力的描述有多种不同的理论，在结构动力分析中通常采用粘滞阻尼理论，即认为振动中物体所受的阻尼力与其运动速度成正比，方向与速度方向相反。若用FR表示粘滞阻尼力，则式中，c为阻尼系数，可由实验确定。10-4 单自由度体系有阻尼自
