1、八年级竞赛培优训练第3讲 线段的垂直平分线与角平分线的性质第3讲线段的垂直平分线与角平分线的性质【思维入门】1如图131，在ABC中，ABC50， ACB60，点E在BC的延长线上，ABC的平分线BD与ACE的平分线CD相交于点D，连结AD.下列结论不正确的是 ()ABAC70 BDOC90CBDC35 DDAC55图1312如图132，BD是ABC的平分线，P是BD上的一点，PEBA于点E，PE4 cm，则点P到边BC的距离为_cm.图1323如图133，在RtABC中，A90，ABC的平分线BD交AC于点D，AD5，BC12，则BDC的面积是_图1334如图134，在ABC中，DE，FG分
2、别是ABC的边AB，AC的垂直平分线，若BC10，则ADF的周长是多少？图1345已知，如图135所示，ABAC，BDCD，DEAB于点E，DFAC于点F，求证：DEDF.图135【思维拓展】6如图136，AD是ABC中BAC的平分线，DEAB于点E，SABC7，DE2，AB4，则AC的长是 ()A3 B4 C6 D5图1367已知ABC中，C90，AD平分BAC交BC于D，若BC32，且BDCD97，则D到AB的距离为 ()A18 B16 C14 D128如图137，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有 ()A1处 B
3、2处 C3处 D4处图1379如图138，在ABC中，C90，AB10，AD是ABC的一条角平分线若CD3，则ABD的面积为_图13810如图139，在直角ABC中，A90，ABC的平分线BE交AC于E点，过E点作EDBC于D点，已知AC10 cm，CDE的周长为16 cm，求CD的长图13911如图1310，AD与BC相交于O，OAOC，AC，BEDE.求证：OE垂直平分BD.图131012如图1311，ABC中，ABC的平分线与ABC的外角DAC，ACF的平分线相交于点E，EHAC，垂足为点H，求证：AEBCEH.图1311【思维升华】13如图1312，已知AD平分BAC，ABAC.则下列
4、结论错误的是 ()AADCADBBAD垂直平分BCCBC垂直平分ADD四边形ABDC是轴对称图形图131214如图1313，已知AOB90，OM是AOB的平分线，将三角形的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于C，D.(1)PC和PD的数量关系是_；(2)请你证明(1)得出的结论图131315如图1314，在AOB的两边OA，OB上分别取OMON，ODOE，DN和EM相交于点C.求证：点C在AOB的平分线上图1314第3讲线段的垂直平分线与角平分线的性质【思维入门】1如图131，在ABC中，ABC50， ACB60，点E在BC的延长线上，ABC的平分线BD与ACE的平分线CD
5、相交于点D，连结AD.下列结论不正确的是 (B)ABAC70 BDOC90CBDC35 DDAC55图131【解析】 ABC50，ACB60，BAC180ABCACB180506070，故A选项正确；BD平分ABC，ABOABC5025，DOCAOB85，故B选项错误；CD平分ACE，ACD(18060)60，BDC180856035，故C选项正确；BD，CD分别是ABC和ACE的平分线，AD是ABC的外角平分线，DAC(18070)55，故D选项正确2如图132，BD是ABC的平分线，P是BD上的一点，PEBA于点E，PE4 cm，则点P到边BC的距离为_4_cm.图1323如图133，在R
6、tABC中，A90，ABC的平分线BD交AC于点D，AD5，BC12，则BDC的面积是_30_图1334如图134，在ABC中，DE，FG分别是ABC的边AB，AC的垂直平分线，若BC10，则ADF的周长是多少？图134解：DE，FG分别是ABC的边AB，AC的垂直平分线ADBD，AFCF.ADF的周长ADDFAFBDDFCFBC10.ADF的周长是10.5已知，如图135所示，ABAC，BDCD，DEAB于点E，DFAC于点F，求证：DEDF.图135第5题答图证明：证法一：连结AD.ABAC，BDCD，ADAD，ABDACD.BADCAD，AD是EAF的平分线又DEAB，DFAC，DEDF
7、.证法二：由ABDACD得ACDABD.DCFDBE，又DFCDEB90，DCDB.DFCDEB.DEDF.【思维拓展】6如图136，AD是ABC中BAC的平分线，DEAB于点E，SABC7，DE2，AB4，则AC的长是 (A)A3 B4 C6 D5图136第6题答图【解析】 如答图，过点D作DFAC于F，AD是ABC中BAC的平分线，DEAB，DEDF，由图可知，SABCSABDSACD，42AC27，解得AC3.7已知ABC中，C90，AD平分BAC交BC于D，若BC32，且BDCD97，则D到AB的距离为 (C)A18 B16 C14 D12【解析】 BC32，BDCD97，CD14.C
8、90，AD平分BAC，D到边AB的距离CD14.8如图137，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有 (D)A1处 B2处 C3处 D4处图137【解析】 满足条件的有：第8题答图三角形两个内角平分线的交点，共一处；三个外角平分线两两相交的交点，共三处9如图138，在ABC中，C90，AB10，AD是ABC的一条角平分线若CD3，则ABD的面积为_15_ 图138【解析】 作DEAB于E.AD平分BAC，DEAB，DCAC，DECD3.第9题答图ABD的面积为31015.10如图139，在直角ABC中，A90，ABC的平分
9、线BE交AC于E点，过E点作EDBC于D点，已知AC10 cm，CDE的周长为16 cm，求CD的长图139解：BE为ABC的平分线，A90，DEBC于点D，AEDE，DECEAECEAC10 cm，CDE的周长为16 cm，DECECD16 cm，CD16106(cm)11如图1310，AD与BC相交于O，OAOC，AC，BEDE.求证：OE垂直平分BD.证明：在AOB与COD中，AOBCOD(ASA)，图1310OBOD，点O在线段BD的垂直平分线上，BEDE，点E在线段BD的垂直平分线上，OE垂直平分BD.12如图1311，ABC中，ABC的平分线与ABC的外角DAC，ACF的平分线相交
10、于点E，EHAC，垂足为点H，求证：AEBCEH.图1311证明：如答图，过点E作EMBC于M，ABC的平分线与ABC的外角DAC，ACF的平分线相交于点E，CAE(ABCACB)，ECM(BACABC)，在ABE中，AEB180ABEBAE，第12题答图180ABCBAC(ABCACB)180ABCBACACB，ACB.EHAC，CEHCEM90ECM90(BACABC)90(180ACB)ACB，AEBCEH.【思维升华】13如图1312，已知AD平分BAC，ABAC.则下列结论错误的是 (C)AADCADBBAD垂直平分BCCBC垂直平分ADD四边形ABDC是轴对称图形图131214如图
11、1313，已知AOB90，OM是AOB的平分线，将三角形的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于C，D.(1)PC和PD的数量关系是_PCPD_；(2)请你证明(1)得出的结论图1313解：(1)PCPD；(2)如答图，过P分别作PEOB于E，PFOA于F，CFPDEP90.OM是AOB的平分线，PEPF，1FPD90(直角三角形)，又AOB90，FPE90，第14题答图2FPD90，12，在CFP和DEP中，CFPDEP(ASA)，PCPD.15如图1314，在AOB的两边OA，OB上分别取OMON，ODOE，DN和EM相交于点C.求证：点C在AOB的平分线上图1314证明：作CGOA于G，CFOB于F，如答图，第15题答图在MOE和NOD中，OMON，MOE为公共角，OEOD，MOENOD(SAS)SMOESNOD.SMOES四边形ODCESNODS四边形ODCE，SMDCSNEC，OMON，ODOE，MDNE，由三角形面积公式得DMCGENCF，CGCF，又CGOA，CFOB，点C在AOB的平分线上
