1、行列式的计算方法及其在线性方程组中的应用毕业论文本科生毕业论文题目：姓名：学号：系别：年级：专业：指导教师：指导教师：行列式的计算方法及其在线性方程组中的应用2008020230462008 级数学职称:副教授职称：讲师2012年4月20日安顺学院毕业论文任务书数学与计算机科学系 数学与应用数学专业2008年级 学生姓名韦诚毕业论文题目：行列式的计算方法及其在线性方程组中的应用任务下达日期：2011年9月5日毕业论文写作日期：20H年9月5日至2012年4月20学生签字:指导老师签字:高等代数是数学专业学生的一门必修基础课程。行列式的计算是高等代 数中的重点、难点，特别是n阶行列式的计算，学生
2、在学习过程中，普遍存在很 多困难，难于掌握。讣算n阶行列式的方法很多，但具体到一个题，要针对其特 征，选取适当的方法求解。当看到一个貌似非常复朵的n阶行列式时，仔细观察, 会发现其实它们的元素在行或列的排列方式上都有某些规律。掌握住这些规律, 选择合适的il算方法，能使我们在极短的时间内达到事半功倍的效果！本文首先 介绍n阶行列式的定义、性质，再归纳总结行列式的各种汁算方法、技巧及其在 线性方程组中的初步应用。行列式是线性方程组理论的一个组成部分，是中学数 学有关内容的提高和推广。它不仅是解线性方程组的重要工具，而且在其它一些 学科分支中也有广泛的应用。关键词：n阶行列式计算方法归纳线性方程组
3、ABST RACTAlgebra is a courses of mathematics specialized coinpulsory of the basic mathematic- The determinants calculation is the most difficulty in higher algebra, especially, the n order determinants calculation , alway is students difficulty in the learning process, so ,it is difficult to master
4、for ours There are a lot of calculations of n order determinant in method , but when we say a problem of the calculation of n order determinant, according to its characteristics, selecting the appropriate method to solving is a very good idea. When you see a seemingly so complex n order determinant,
5、 we should observe them carefully,“nd we will find that their elements are arranged in rows or columns have some regularity. Grasping of these laws, finding a appropriate calculation method can help us to achieve a multiplier effect in a very short time! This paper mainly introduces the definition o
6、f n order determinant, nature, and calculation methods, the skills of calculation of n order determinant and application in linear equation group. Determinant is an importanf theory in linear equations and it is an indis pensable part of linear equations, determinant is also the middle school mathem
7、atics content raise and proinotion. It is not only the solution of linear equations of the important took but also in some other branch has a wide range of app lications.Key words: n order determinant calculation method induce linear equations引言1屛介行列式的定义 2屛介行列式的性质 3计算屛介行列式的具体方法与技巧利用行列式定义直接计算 利用行列式的性
8、质计算 化为三角形行列式3.4降阶法逆推公式法3.6利用范德蒙德行列式3.7加边法（升阶法）3.8数学归纳法1011拆开法4行列式在线性方程组中的初步应用114.1克拉默（Gramer）法则124.2克拉默（Gramer）法则的应用12421用克拉默（Gramer）法则解线性方程组13422克拉默法则及其推论在几何上的应用14结论16参考文献17致谢1817解方程是代数中一个基本问题，特别是在中学中所学的代数中，解方程占有 重要的地位因此这个问题是读者所熟悉的.比如说，如果我们知道了一段导线的 电阻r它的两端的电位差y,那么通过这段导线的电流强度八就可以有关系式ir = V求出来这就是所谓解一
9、元一次方程的问题在中学所学代数中，我们解过一元、 二元、三元以至四元一次方程组.线性方程组的理论在数学中是基本的也是要的内容.对于二元线性方程组当4心22-如佝*0时，次方程组有惟一解，即勺心22” “ _ “山一如勺Aj * *1122 -如切 如“处-0皿21我们称5如-mSl为二级行列式，用符号表示为你如一竹Si =21如于是上述解可以用二级行列式叙述为：当二级行列式时，该方程组有惟一解，即9 125 * 21的21(2211 %“21 2对于三元线性方程组有相仿的结论设有三元线性方程组5內+如兀2+/3=久+22X2 +233 =， 3 內 +432大2 +33X3 =%利彳弋 工弋
10、12233 + 122331 + 132132 12332 122133 132231 丿7 511 2 321 22 2331 “32 “33行列式，用符号表示为:h2233 +“1223刃 +)32132 112332 如心彳 _WWsi =我们有：当三级行列式cl =11 12 |321 22 23“31 32 “33时，上述三元线性方程组有惟一解，解为4 厶X严+，尤2=，a a其中S 12勺3H 勺|3 = 23,J,=21 勺 “23，3 =5 U b、妇32“3331 % 33如“32 S在本论文中我们将把这个结果推广到畀元线性方程组4内+4胪2+你忑=勺 “2 內+22兀2+
11、“2届=2弘内+0小：2+ 4汁為=/的情形为此，我们首先要给出阶行列式的定义并讨论它的性质，这就是 本论文的主要内容.1 n阶行列式的定义“21 “22 -211川 弘等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积仙几（1）的代数和，这 里jj2h是12，”的一个排列，每一项（5）都按下列规则带有符号：当j|j2人是偶排列时，（1）带正号，当是奇排列时，（1）带有负号这一定义可以写成二 2（_严5畑.恥人这里X表示对所有阶排列求和丿2人定义表明，为了计算阶行列式，首先作所有有可能山位于不同行不同列元 素构成的乘积。把构成这些乘积的元素按行指标排成自然顺序，然后山列指标所 成的排列的奇偶性来决定这一项
12、的符号 111定义立即看出，阶行列式是山“！项 组成的.2.阶行列式的性质于数k乘这个行列式:号的外边;等于零;式等于零;性质（8）设行列式D的第i行的所有元素都可以表成两项的和:D=那么D等于两个行列式的和，其中D|的笫i行的元素是bb小际D2的第i行的元素是5畑心，而P与D?的其他各行都和D的一样.同样的性质对于列来说也成立.性质（9）把行列式的某一行（列）的元素乘以同一个数后加到另一行（列） 的对应元素上，行列式的值不变.在深刻理解了阶行列式的定义及性质后，我们自然会想到，给出一个貌似 复朵的阶行列式，怎样在有限的时间内准确地算出它的值呢？这是本论文的中 心论点.刃阶行列式的计算方法很多
13、，除非零元素较少时可利用定义计算外，更多的 是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题U的特点，灵活选用方法，值 得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法下面介绍儿种常用的方 法，并举例说明.3计算畀阶复杂行列式的具体方法与技巧计算行列式 02 0 0D,中不为零的项用一般形式表示为该项列标排列的逆序数r 5一2M）等于-1）-2）,故2=(j)3.2利用行列式的性质计算呦=一4丿，7 = 1,2,，儿则称为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零.证明:方法1：所以D=0.llf gj =一0“知5 = ,即5 =0,/ = 12,n，故行列式Dn可表示为0如%一如0如 2 =一
14、如 _230 一-如一知0乂山行列式的性质A =/V0一如一如-细%0一佝3一吆D=13 023 0 一知 1“2%00如13 4”一旳2023 吆=(- ir一 “13 一込30 % 一细一吆一细 0=（j）g当为奇数时，得Dn=-Dn.因而得0 = 0.3.3化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为上三角形或下三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积乘以(-1)的逆序数次方因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法.例3计算“阶行列式ahb bhah bD =hha b b b b a把第2, 3,，畀列都加到第1列上，行列式不变,a + n-bhh ba + n-hah hD =
15、a + n-hha h a + (n-)h h h a1hb b1ab b= a + n-b1ba b1 b b a1hh b0a-b0 0= a + (n-h00a-b -0 0 0 0 -a-b得= a + (n-ih(a-hy-对于形如的所谓三角行列式，可直接展开得到两项递推公式 2=叽+叽2,然后采用如下一些方法求解.方法1 如果较小，则直接递推计算.方法2 用第二数学归纳法.即验证川=1时结论成立，设u0 = 0的两个根确定卩和q后，令 /(X)= D” 一 2心,则利用 /() = 00-1)递推求出 /()，再山 2 = pDgi +fM方法4 设2 =宀代入q -aD-i -0
16、0=0得-Q心-卩严=0.0 此有/-血-0 = 0 （称之为特征方程人求出其根州和也（假设X严X2），则 2 =內+爲叨这里可通过取=1和n = 2来确定例4 求阶行列式的值01101101解：按第1行展开得2=-2亠 即2 + 2厂作特征方程F + l = 0,解当卄=1时，9=0,代入式得ta-ih = 0；当 = 2时，D,=-l.代入式得-_方=-1 联立求解得 = b = -,故少=_严+（_/）” 2 23. 4降阶法降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是 用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式 的性质化简，使行列式中有
17、较多的零出现，然后再展开.例5计算阶行列式解将Di按第I行展开a00 00a0 00a0 000a 000a 0+(-1 严000000 a100 0D” = a= d”+（_l）T （一 1）%心,/| JI-2 =a a3.5逆推公式法逆推公式法：对阶行列式D /I找出0与Dzr -I或6丄J ）心 4-2之间的一种关系一称为逆推公式（其中66小D-2等结构相同人再山递推公式求出D,的方法称为递推公式法.例6 证明-13=x + 4工7 + /-x + + , (/I 2)证明：将D”按第1列展开得-10 000X-1.00 000 X-12仏3 a工4| + XD宀+(j)仏0-1-1山
18、此得递推公式：2=4严,利用此递推公式可得D”=勺 + 刃入=勺 + + xD) = 4“ + ”牙 + + I + x3.6利用范德蒙行列式例7计算行列式+1X；+X-,解 把第1行的一1倍加到第2行，把新的笫2行的一1倍加到第3行，以 此类推直到把新的第-1行的一1倍加到第行，便得范徳蒙行列式=n（Xf-勺）3.7加边法（升阶法）加边法（乂称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变 的方法。例8计算阶行列式解:（n+1 阶）-1计算“阶行列式-1D.=-1=% +ax + a假设畀*时，有则当n = k+ 把De按第一列展开，得= xC?+qxZJt4.l Jt ?=X +
19、(tjX + * +山此，对任意的正整数心有以=y + qx + + m2 兀0 + 41X + Ct3. 9拆开法把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列 式写成两行列式之和，使问题简化以利il算.例10计算行列式2 = 5 5l2+4 q.0“2 +人 544 +4 t +n 0041+人-6 +兔500几7 解：D” =z 、t 亠4I -I A )问题，把握行列戎的特点，灵活选用方法学习中多练习，多总结，才能更好地 掌握行列式的il算方法.4行列式在线性方程中的初步应用在中学代数和解析儿何里，我们已经遇到两个未知量和三个未知量的线性方 程组。但是许多从理论和实
20、际问题里导出的线性方程组常常含有相当多的未知 量，并且未知量的个数与方程的个数也不一定相等。因此我们将更深入的讨论含 有任意个未知量任童个方程的线性方程组.线性方程组组的一般形式是:也內+勺2兀2+5&=勺內 +22兀2 +/加兀 =/?2%+52吃+4忑=勺,其中心七代表未知量，勺（1=1, 2,m; j=l,2,n）代表未知量的系 数，54,，叽代表常数项.我们将在复数域C上讨论线性方程组。这就是说，方程组中未知量的系数和 常数项都认为是复数，并且以后谈到数时，也总指的是复数（若是把复数域换为 其他的任一数域，讨论还是可以同样进行）4. 1克拉默（Cramer）法则如果线性方程组4内+如牙
21、2+如凡=勺 “2 內+22X2+山2/； =h.（其中XpX, 代表未知量，勺（i=l,2,，in ; j=l, 2,，八）代表未知量的 系数，九S九代表常数项）的系数行列式D武），那么，这个方程组有解, 并且解是唯一的。可以表示为X=DJD、X2=DjDr“=D,JD 其中D是把D中的第1列换成常数项SSsS得到的阶行列式.这个定理有三个结论，方程组有解，解是唯一的，解由公式给肚4. 2克拉默（Cramer）法则的应用克拉默法则只是使用于方程个数和未知量个数相等的特殊情形，当线性方 程组的系数行列式不为零时，克拉默法则给出了该方程组的三个结论：（1）有解（解的存在性h（2）有唯一解；（3）
22、用行列式表示了方程组的不可取，但其理 论上的作用必须重视.山克拉默法则得到“方程个数与未知数个数相等的齐次线性方程组有非零解时，其系数行列式等于零”的结论，其实它还是充分必要条件，以后将多次用到.4. 2.1用克拉默法则解非齐次线性方程组例11求解线性方程组2 1%, + ,%2 +1 “ + + d| 心=a%, + + 兀3 + + 6 X =3 八!*+4內+叮心+% 心=5解：方程组的系数行列式为阶范徳蒙徳行列式的转置山曾工幻可知D= （4一勺）式0 /!故山克拉默法则法则知，方程组有惟一解乂有从而方程组的解为斗= D“)/D = O, = D/D = 1，兀3=D/d = o,，兀=
23、d5/d = o例12下列方程组中吗卫，绻各不相同，求证下面方程组有惟一解，并把它的 解求出来.兀+吃 兀=1ax + 偽 X, + + y; = hn-l M2 r -1解：其系数行列式D为范徳蒙德行列式，且山4汀+s时，式成立，故它是过点Ml和“2的直线方程例14 求空间的四个平面+ w +产0 0 = 123.4）相交于一点的 条件.解：四个平面相交于一点，即线性方程组ax + hy + cz = -d + “2 y + CZ = -2ax + byy + CyZ = -dyax + hy + cZ = -d有惟一解，设为（扯。忆。）将方程组改写为*|X + 勺，+ CZ + = 0+
24、仇 y + G z + djU = 0ax + “3 y + CyZ + dyii = 0ax + /?4 y + C4 z + du =0则这个4元齐次方程组有非零解（XodcpZ）-山克拉默法则的推论：齐次线性方 程组有非零解，则其系数行列式等于零有此可得空间的四个平面交于一点的条 件是：这个齐次线性方程组的系数柜阵行列式的值等于零.结论用行列式的性质和按行（列）展开定理计算行列式是本论文的重点之一掌 握行列式的计算方法和技巧是本论文的难点除了利用行列式的性质化为三角形 式和按行（列）展开公式使行列式降阶这些常用的方法外，要根据行列式的特点 采用特殊方法，如递推法、数学归纳法、加边法（升阶法）、拆开法，以及范德 蒙徳行列式的结论，等等都是我们学习过程中的点、难点要熟练的掌握这些 方法，就得经常亲
