1、小学数学典型应用题归纳总结汇总30种题型小学数学典型应用题归纳汇总30种题型 1 归一问题【含义】 在解题时,先求出一份是多少(即单一量),然后以单一量为标准,求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题。 【数量关系】 总量份数1份数量 1份数量所占份数所求几份的数量 另一总量(总量份数)所求份数 【解题思路和方法】 先求出单一量,以单一量为标准,求出所要求的数量。 例1 买5支铅笔要0.6元钱,买同样的铅笔16支,需要多少钱? 解(1)买1支铅笔多少钱? 0.650.12(元) (2)买16支铅笔需要多少钱?0.12161.92(元) 列成综合算式 0.65160.12161.92(元) 答:
2、需要1.92元。2 归总问题 【含义】 解题时,常常先找出“总数量”,然后再根据其它条件算出所求的问题,叫归总问题。所谓“总数量”是指货物的总价、几小时(几天)的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。 【数量关系】 1份数量份数总量 总量1份数量份数 总量另一份数另一每份数量 【解题思路和方法】 先求出总数量,再根据题意得出所求的数量。 例1 服装厂原来做一套衣服用布3.2米,改进裁剪方法后,每套衣服用布2.8米。原来做791套衣服的布,现在可以做多少套? 解 (1)这批布总共有多少米? 3.27912531.2(米) (2)现在可以做多少套? 2531.22.8904(套) 列成
3、综合算式 3.27912.8904(套) 答:现在可以做904套。3 和差问题 【含义】 已知两个数量的和与差,求这两个数量各是多少,这类应用题叫和差问题。 【数量关系】 大数(和差) 2 小数(和差) 2 【解题思路和方法】 简单的题目可以直接套用公式;复杂的题目变通后再用公式。 例1 甲乙两班共有学生98人,甲班比乙班多6人,求两班各有多少人? 解 甲班人数(986)252(人) 乙班人数(986)246(人) 答:甲班有52人,乙班有46人。4 和倍问题【含义】 已知两个数的和及大数是小数的几倍(或小数是大数的几分之几),要求这两个数各是多少,这类应用题叫做和倍问题。 【数量关系】 总和
4、 (几倍1)较小的数 总和 较小的数 较大的数 较小的数 几倍 较大的数 【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式,复杂的题目变通后利用公式。 例1 果园里有杏树和桃树共248棵,桃树的棵数是杏树的3倍,求杏树、桃树各多少棵? 解 (1)杏树有多少棵? 248(31)62(棵) (2)桃树有多少棵? 623186(棵) 答:杏树有62棵,桃树有186棵。5 差倍问题【含义】 已知两个数的差及大数是小数的几倍(或小数是大数的几分之几),要求这两个数各是多少,这类应用题叫做差倍问题。 【数量关系】 两个数的差(几倍1)较小的数 较小的数几倍较大的数 【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式,复
5、杂的题目变通后利用公式。 例1 果园里桃树的棵数是杏树的3倍,而且桃树比杏树多124棵。求杏树、桃树各多少棵? 解 (1)杏树有多少棵? 124(31)62(棵) (2)桃树有多少棵? 623186(棵) 答:果园里杏树是62棵,桃树是186棵。6 倍比问题【含义】 有两个已知的同类量,其中一个量是另一个量的若干倍,解题时先求出这个倍数,再用倍比的方法算出要求的数,这类应用题叫做倍比问题。 【数量关系】 总量一个数量倍数 另一个数量倍数另一总量 【解题思路和方法】 先求出倍数,再用倍比关系求出要求的数。 例1 100千克油菜籽可以榨油40千克,现在有油菜籽3700千克,可以榨油多少?解 (1)
6、3700千克是100千克的多少倍? 370010037(倍) (2)可以榨油多少千克? 40371480(千克) 列成综合算式 40(3700100)1480(千克) 答:可以榨油1480千克。7 相遇问题【含义】 两个运动的物体同时由两地出发相向而行,在途中相遇。这类应用题叫做相遇问题。 【数量关系】 相遇时间总路程(甲速乙速) 总路程(甲速乙速)相遇时间 【解题思路和方法】 简单的题目可直接利用公式,复杂的题目变通后再利用公式。 例1 南京到上海的水路长392千米,同时从两港各开出一艘轮船相对而行,从南京开出的船每小时行28千米,从上海开出的船每小时行21千米,经过几小时两船相遇? 解 3
7、92(2821)8(小时) 答:经过8小时两船相遇。8 追及问题【含义】 两个运动物体在不同地点同时出发(或者在同一地点而不是同时出发,或者在不同地点又不是同时出发)作同向运动,在后面的,行进速度要快些,在前面的,行进速度较慢些,在一定时间之内,后面的追上前面的物体。这类应用题就叫做追及问题。 【数量关系】 追及时间追及路程(快速慢速) 追及路程(快速慢速)追及时间 【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式,复杂的题目变通后利用公式。 例1 好马每天走120千米,劣马每天走75千米,劣马先走12天,好马几天能追上劣马?解 (1)劣马先走12天能走多少千米? 7512900(千米) (2)好马
8、几天追上劣马? 900(12075)20(天) 列成综合算式 7512(12075)9004520(天) 答:好马20天能追上劣马。9 植树问题【含义】 按相等的距离植树,在距离、棵距、棵数这三个量之间,已知其中的两个量,要求第三个量,这类应用题叫做植树问题。 【数量关系】 线形植树 棵数距离棵距1 环形植树 棵数距离棵距 方形植树 棵数距离棵距4 三角形植树 棵数距离棵距3 面积植树 棵数面积(棵距行距) 【解题思路和方法】 先弄清楚植树问题的类型,然后可以利用公式。 例1 一条河堤136米,每隔2米栽一棵垂柳,头尾都栽,一共要栽多少棵垂柳? 解 1362168169(棵) 答:一共要栽69
9、棵垂柳。10 年龄问题【含义】 这类问题是根据题目的内容而得名,它的主要特点是两人的年龄差不变,但是,两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。 【数量关系】年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系,尤其与差倍问题的解题思路是一致的,要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。 【解题思路和方法】 可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。 例1 爸爸今年35岁,亮亮今年5岁,今年爸爸的年龄是亮亮的几倍?明年呢? 解 3557(倍) (35+1)(5+1)6(倍) 答:今年爸爸的年龄是亮亮的7倍, 明年爸爸的年龄是亮亮的6倍。11 行船问题【含义】 行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要
10、弄清船速与水速,船速是船只本身航行的速度,也就是船只在静水中航行的速度;水速是水流的速度,船只顺水航行的速度是船速与水速之和;船只逆水航行的速度是船速与水速之差。 【数量关系】 (顺水速度逆水速度)2船速 (顺水速度逆水速度)2水速 顺水速船速2逆水速逆水速水速2 逆水速船速2顺水速顺水速水速2 【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。 例1 一只船顺水行320千米需用8小时,水流速度为每小时15千米,这只船逆水行这段路程需用几小时?解 由条件知,顺水速船速水速3208,而水速为每小时15千米,所以,船速为每小时 32081525(千米) 船的逆水速为 251510(千米)船
11、逆水行这段路程的时间为 3201032(小时) 答:这只船逆水行这段路程需用32小时。12 列车问题【含义】 这是与列车行驶有关的一些问题,解答时要注意列车车身的长度。 【数量关系】 火车过桥:过桥时间(车长桥长)车速 火车追及: 追及时间(甲车长乙车长距离) (甲车速乙车速) 火车相遇: 相遇时间(甲车长乙车长距离) (甲车速乙车速) 【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。 例1 一座大桥长2400米,一列火车以每分钟900米的速度通过大桥,从车头开上桥到车尾离开桥共需要3分钟。这列火车长多少米?解 火车3分钟所行的路程,就是桥长与火车车身长度的和。 (1)火车3分钟行多
12、少米? 90032700(米) (2)这列火车长多少米? 27002400300(米) 列成综合算式 90032400300(米) 答:这列火车长300米。13 时钟问题【含义】 就是研究钟面上时针与分针关系的问题,如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针夹角为60度等。时钟问题可与追及问题相类比。 【数量关系】 分针的速度是时针的12倍, 二者的速度差为11/12。 通常按追及问题来对待,也可以按差倍问题来计算。 【解题思路和方法】 变通为“追及问题”后可以直接利用公式。 例1 从时针指向4点开始,再经过多少分钟时针正好与分针重合?解 钟面的一周分为60格,分针每分钟走一格,每小时走60格;时
13、针每小时走5格,每分钟走5/601/12格。每分钟分针比时针多走(11/12)11/12格。4点整,时针在前,分针在后,两针相距20格。所以分针追上时针的时间为 20(11/12) 22(分) 答:再经过22分钟时针正好与分针重合。14 盈亏问题【含义】 根据一定的人数,分配一定的物品,在两次分配中,一次有余(盈),一次不足(亏),或两次都有余,或两次都不足,求人数或物品数,这类应用题叫做盈亏问题。 【数量关系】 一般地说,在两次分配中,如果一次盈,一次亏,则有: 参加分配总人数(盈亏)分配差如果两次都盈或都亏,则有: 参加分配总人数(大盈小盈)分配差 参加分配总人数(大亏小亏)分配差 【解题
14、思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。 例1 给幼儿园小朋友分苹果,若每人分3个就余11个;若每人分4个就少1个。问有多少小朋友?有多少个苹果?解 按照“参加分配的总人数(盈亏)分配差”的数量关系: (1)有小朋友多少人? (111)(43)12(人) (2)有多少个苹果? 3121147(个) 答:有小朋友12人,有47个苹果。15 工程问题【含义】 工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这类问题在已知条件中,常常不给出工作量的具体数量,只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等,在解题时,常常用单位“1”表示工作总量。 【数量关系】 解
15、答工程问题的关键是把工作总量看作“1”,这样,工作效率就是工作时间的倒数(它表示单位时间内完成工作总量的几分之几),进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。 工作量工作效率工作时间 工作时间工作量工作效率 工作时间总工作量(甲工作效率乙工作效率) 【解题思路和方法】 变通后可以利用上述数量关系的公式。 例1 一项工程,甲队单独做需要10天完成,乙队单独做需要15天完成,现在两队合作,需要几天完成?解 题中的“一项工程”是工作总量,由于没有给出这项工程的具体数量,因此,把此项工程看作单位“1”。由于甲队独做需10天完成,那么每天完成这项工程的1/10;乙队单独做需15天完
16、成,每天完成这项工程的1/15;两队合做,每天可以完成这项工程的(1/101/15)。由此可以列出算式: 1(1/101/15)11/66(天) 答:两队合做需要6天完成。16 正反比例问题 【含义】 两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定(即商一定),那么这两种量就叫做成正比例的量,它们的关系叫做正比例关系。正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。 两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的积一定,这两种量就叫做成反比例的量,它们的关系叫做反比例关系。反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综
17、合运用。 【数量关系】 判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决,而且比较简捷。 【解题思路和方法】 解决这类问题的重要方法是:把分率(倍数)转化为比,应用比和比例的性质去解应用题。 正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。 例1 修一条公路,已修的是未修的1/3,再修300米后,已修的变成未修的1/2,求这条公路总长是多少米? 解 由条件知,公路总长不变。 原已修长度总长度1(13)14312 现已修长度总长度1(12)13412 比较以上两式可知,把总长度当作12份,则300米相当于(43)份,从而知公路总长为 300(43)123600(
18、米) 答: 这条公路总长3600米。17 按比例分配问题【含义】 所谓按比例分配,就是把一个数按照一定的比分成若干份。这类题的已知条件一般有两种形式:一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数,另一种是直接给出份数。 【数量关系】 从条件看,已知总量和几个部分量的比;从问题看,求几个部分量各是多少。 总份数比的前后项之和 【解题思路和方法】 先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几,把比的前后项相加求出总份数,再求各部分占总量的几分之几(以总份数作分母,比的前后项分别作分子),再按照求一个数的几分之几是多少的计算方法,分别求出各部分量的值。 例1 学校把植树560棵的任务按人数分配给五年级三
19、个班,已知一班有47人,二班有48人,三班有45人,三个班各植树多少棵? 解 总份数为 474845140 一班植树 56047/140188(棵) 二班植树 56048/140192(棵) 三班植树 56045/140180(棵) 答:一、二、三班分别植树188棵、192棵、180棵。18 百分数问题 【含义】 百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。百分数是一种特殊的分数。分数常常可以通分、约分,而百分数则无需;分数既可以表示“率”,也可以表示“量”,而百分数只能表示“率”;分数的分子、分母必须是自然数,而百分数的分子可以是小数;百分数有一个专门的记号“%”。 在实际中和常用到“百分点
20、”这个概念,一个百分点就是1%,两个百分点就是2%。 【数量关系】 掌握“百分数”、“标准量”“比较量”三者之间的数量关系: 百分数比较量标准量 标准量比较量百分数 【解题思路和方法】 一般有三种基本类型: (1) 求一个数是另一个数的百分之几; (2) 已知一个数,求它的百分之几是多少; (3) 已知一个数的百分之几是多少,求这个数。 例1 仓库里有一批化肥,用去720千克,剩下6480千克,用去的与剩下的各占原重量的百分之几? 解 (1)用去的占 720(7206480)10% (2)剩下的占 6480(7206480)90% 答:用去了10%,剩下90%。19 “牛吃草”问题 【含义】
21、“牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题,也叫“牛顿问题”。这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。 【数量关系】 草总量原有草量草每天生长量天数 【解题思路和方法】 解这类题的关键是求出草每天的生长量。 例1 一块草地,10头牛20天可以把草吃完,15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天可以把草吃完? 解 草是均匀生长的,所以,草总量原有草量草每天生长量天数。求“多少头牛5天可以把草吃完”,就是说5 天内的草总量要5 天吃完的话,得有多少头牛? 设每头牛每天吃草量为1,按以下步骤解答: (1)求草每天的生长量 因为,一方面20天内的草总量就是10头牛20天所吃的草,即(11020);另一
22、方面,20天内的草总量又等于原有草量加上20天内的生长量,所以 11020原有草量20天内生长量 同理 11510原有草量10天内生长量 由此可知 (2010)天内草的生长量为 110201151050 因此,草每天的生长量为 50(2010)520 鸡兔同笼问题 【含义】 这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚,求鸡、兔各有多少只的问题,叫做第一鸡兔同笼问题。已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差,求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。 【数量关系】第一鸡兔同笼问题: 假设全都是鸡,则有 兔数(实际脚数2鸡兔总数)(42) 假设全都是兔,则有 鸡数(4鸡兔总数实际脚数)(42
23、) 第二鸡兔同笼问题: 假设全都是鸡,则有 兔数(2鸡兔总数鸡与兔脚之差)(42) 假设全都是兔,则有 鸡数(4鸡兔总数鸡与兔脚之差)(42) 【解题思路和方法】 解答此类题目一般都用假设法,可以先假设都是鸡,也可以假设都是兔。如果先假设都是鸡,然后以兔换鸡;如果先假设都是兔,然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先假设,再置换,使问题得到解决。 例1 长毛兔子芦花鸡,鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五,脚数共有九十四。请你仔细算一算,多少兔子多少鸡? 解 假设35只全为兔,则 鸡数(43594)(42)23(只) 兔数352312(只) 也可以先假设35只全为鸡,则 兔数(94235)(42)
24、12(只) 鸡数351223(只) 答:有鸡23只,有兔12只。21 方阵问题 【含义】 将若干人或物依一定条件排成正方形(简称方阵),根据已知条件求总人数或总物数,这类问题就叫做方阵问题。 【数量关系】 (1)方阵每边人数与四周人数的关系: 四周人数(每边人数1)4 每边人数四周人数41 (2)方阵总人数的求法: 实心方阵:总人数每边人数每边人数 空心方阵:总人数(外边人数) (内边人数) 内边人数外边人数层数2 (3)若将空心方阵分成四个相等的矩形计算,则: 总人数(每边人数层数)层数4 【解题思路和方法】 方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法是以每边的数自乘;空心方阵的变化较多,其解
25、答方法应根据具体情况确定。 例1 在育才小学的运动会上,进行体操表演的同学排成方阵,每行22人,参加体操表演的同学一共有多少人? 解 2222484(人) 答:参加体操表演的同学一共有484人。 22 商品利润问题 【含义】 这是一种在生产经营中经常遇到的问题,包括成本、利润、利润率和亏损、亏损率等方面的问题。 【数量关系】 利润售价进货价 利润率(售价进货价)进货价100% 售价进货价(1利润率) 亏损进货价售价 亏损率(进货价售价)进货价100% 【解题思路和方法】 简单的题目可以直接利用公式,复杂的题目变通后利用公式。 例1 某商品的平均价格在一月份上调了10%,到二月份又下调了10%,
26、这种商品从原价到二月份的价格变动情况如何? 解 设这种商品的原价为1,则一月份售价为(110%),二月份的售价为(110%)(110%),所以二月份售价比原价下降了 1(110%)(110%)1% 答:二月份比原价下降了1%。23 存款利率问题 【含义】 把钱存入银行是有一定利息的,利息的多少,与本金、利率、存期这三个因素有关。利率一般有年利率和月利率两种。年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百分数;月利率是指存期一月所生利息占本金的百分数。 【数量关系】 年(月)利率利息本金存款年(月)数100% 利息本金存款年(月)数年(月)利率 本利和本金利息 本金1年(月)利率存款年(月)数 【解题
27、思路和方法】 简单的题目可直接利用公式,复杂的题目变通后再利用公式。 例1 李大强存入银行1200元,月利率0.8%,到期后连本带利共取出1488元,求存款期多长。 解 因为存款期内的总利息是(14881200)元, 所以总利率为 (14881200)1200 又因为已知月利率, 所以存款月数为 (14881200)12000.8%30(月) 答:李大强的存款期是30月即两年半。24 溶液浓度问题 【含义】 在生产和生活中,我们经常会遇到溶液浓度问题。这类问题研究的主要是溶剂(水或其它液体)、溶质、溶液、浓度这几个量的关系。例如,水是一种溶剂,被溶解的东西叫溶质,溶解后的混合物叫溶液。溶质的量
28、在溶液的量中所占的百分数叫浓度,也叫百分比浓度。 【数量关系】 溶液溶剂溶质 浓度溶质溶液100% 【解题思路和方法】 简单的题目可直接利用公式,复杂的题目变通后再利用公式。 例1 爷爷有16%的糖水50克,(1)要把它稀释成10%的糖水,需加水多少克?(2)若要把它变成30%的糖水,需加糖多少克? 解 (1)需要加水多少克? 5016%10%5030(克) (2)需要加糖多少克? 50(116%)(130%)50 10(克) 答:(1)需要加水30克,(2)需要加糖10克。25 构图布数问题 【含义】 这是一种数学游戏,也是现实生活中常用的数学问题。所谓“构图”,就是设计出一种图形;所谓“布
29、数”,就是把一定的数字填入图中。“构图布数”问题的关键是要符合所给的条件。 【数量关系】 根据不同题目的要求而定。 【解题思路和方法】 通常多从三角形、正方形、圆形和五角星等图形方面考虑。按照题意来构图布数,符合题目所给的条件。 例1 十棵树苗子,要栽五行子,每行四棵子,请你想法子。 解 符合题目要求的图形应是一个五角星。 45210 因为五角星的5条边交叉重复,应减去一半。 26 幻方问题 【含义】 把nn个自然数排在正方形的格子中,使各行、各列以及对角线上的各数之和都相等,这样的图叫做幻方。最简单的幻方是三级幻方。 【数量关系】 每行、每列、每条对角线上各数的和都相等,这个“和”叫做“幻和”。 三级幻方的幻和45315 五级幻方的幻和325565 【解题思路和方法】首先要确定每行、每列以及每条对角线上各数的和(即幻和),其次是确定正中间方格的数,然后再确定其它方格中的数