1、微分方程稳定性分析微分方程稳定性分析 微分方程模型在微分方程模型在 模型分析模型分析 中的主要问题之一中的主要问题之一 稳定性分析稳定性分析 用微分方程方法建立的动态模型问题用微分方程方法建立的动态模型问题 模型分析模型分析 中的一个中的一个 重要问题是：重要问题是：当时间充分长后当时间充分长后，动态过程的，动态过程的 变化趋势变化趋势 是什么？是什么？微分方程模型中微分方程模型中,方程方程(组组)+初始条件初始条件 解解 初始条件的作用在于确定解初始条件的作用在于确定解,它它的微小变化会产生不同的的微小变化会产生不同的 解，换言之，对解的发展性态变化解，换言之，对解的发展性态变化,往往具有影
2、响作用往往具有影响作用.问题是是这种种对解的解的发展性展性态的影响作用是的影响作用是 长期存在期存在 的的,还是当是当时间充分大以后充分大以后,影响作用会影响作用会 “消逝消逝”?（1）微分方程模型的稳定性及其实际意义 有有时候候,初始条件的微小初始条件的微小变化会化会导致解的性致解的性态随随时间变 大后大后,产生生显著的差异著的差异,这时称称 系系统是不是不稳定定 的的;有有时候候,初始条件初始条件变化化导致解的性致解的性态差异会随差异会随时间变大大 后而消失后而消失,这时称称该 系系统是是稳定定 的的.在在实际问题中中,初始状初始状态不能精确地而只能近似地确定不能精确地而只能近似地确定,所
3、以所以稳定性定性问题的研究的研究对于用微分方程方法建立的模型于用微分方程方法建立的模型 具有十分重要的具有十分重要的实际意意义。也就是说，在具有稳定性特征的微分方程模型中也就是说，在具有稳定性特征的微分方程模型中,长远长远 来看来看,最终发展结果与精确的初始状态究竟如何最终发展结果与精确的初始状态究竟如何,两者两者 之间没有多大关系之间没有多大关系,初始状态刻画得精确不精确是无关初始状态刻画得精确不精确是无关 紧要的。紧要的。微分方程稳定性理论微分方程稳定性理论 可以使我们在很多情况下不求解可以使我们在很多情况下不求解 方程便可直接得到微分方程模型描绘的系统是方程便可直接得到微分方程模型描绘的
4、系统是 稳定稳定 或或 不稳定不稳定 的结论。的结论。研究者对于微分方程稳定性理论的研究兴趣往往大于研究者对于微分方程稳定性理论的研究兴趣往往大于 该方程解有无解析表达式的研究兴趣。该方程解有无解析表达式的研究兴趣。在数学建模竞赛活动中，很多问题中涉及到的微分方在数学建模竞赛活动中，很多问题中涉及到的微分方 程是一类称为程是一类称为 自治系统自治系统 的方程的方程。自治方程自治方程 是指方程中不显含自变量是指方程中不显含自变量 t 的微分方程，例如的微分方程，例如 自治方程自治方程 中的解随时间不断变大如有稳定变化趋势，中的解随时间不断变大如有稳定变化趋势，则这个解的则这个解的 最终趋势值最终
5、趋势值 只能是该方程的只能是该方程的 平衡点平衡点。的的 平衡点平衡点 是指代数方程是指代数方程 的根的根 （可能不止一个根）（可能不止一个根）；的的 平衡点平衡点 是是指代数方程组指代数方程组 的解的解 （可能不止一组解）。（可能不止一组解）。如果存在某个邻域，使微分方程的解如果存在某个邻域，使微分方程的解 x(t)从这个邻域从这个邻域 内的某个点内的某个点 x(0)出发出发，满足满足:则称微分方程则称微分方程 的的 平衡点平衡点 是是 稳定稳定 的；的；如果存在某个邻域，使微分方程的解如果存在某个邻域，使微分方程的解 x(t)，y(t)从这个邻域内的某个点从这个邻域内的某个点 x(0)，y
6、(0)出发出发，满足满足:则称微分方程则称微分方程 的的 平衡点平衡点 是是 稳定稳定 的。的。上述上述 一阶自治方程一阶自治方程 和和 二阶自治方程组二阶自治方程组 解的解的 稳定性理论稳定性理论 结果可简介如下：结果可简介如下：非线性方程非线性方程(一个方程一个方程 )情况情况 形式形式:x(t)=f(x(t)平衡点平衡点:解 f(x)=0,得 x=x0.注意:有时该方程的 根不止一个.稳定意义稳定意义:当当 t 时时,如如 x x0,则称则称 x0 是稳定的是稳定的 平衡点平衡点;否则称否则称 x0 是不稳定平衡点是不稳定平衡点.由此由此,当当 f(x0)0 时,x x0;当当 f(x0
7、)0 时,x +.(c)一阶一阶非非线性性问题的的稳定性定性结论:根据有关数学理根据有关数学理论,一阶一阶非非线性性问题的的稳定性在非定性在非临界情况下，与界情况下，与一阶一阶 线性性问题结论完全相同完全相同.研究方法研究方法:(a)作作 f(x)的线性替代的线性替代(利用一元函数的泰勒展开式利用一元函数的泰勒展开式):f(x)f(x0)(x-x0)+f(x0)=f(x0)(x-x0);(b)线性问题研究线性问题研究:求解求解 x=f(x0)(x x0),解得解得 非线性方程非线性方程(两个方程两个方程 )组情况组情况 平衡点平衡点:解解 f(x,y)=0,得得 x=x 0 g(x,y)=0,
8、y=y 0 .y(t)=g(x(t),y(t)形式形式:x(t)=f(x(t),y(t),稳定意定意义:当当 t +时,如如 x x0,y y0,则称称 (x0,y0)是是稳定的平衡点定的平衡点;否否则称称 (x0,y0)是不是不稳定平衡点定平衡点.上面的方程上面的方程组有有时可能不止一可能不止一组解解.研究方法研究方法:(a)作作 f(x,y)与与 g(x,y)的的线性替代（利用二元函数性替代（利用二元函数(b)的泰勒展开式）的泰勒展开式）:f(x,y)fx(x0,y0)(x-x0)+f y(x0,y0)(y-y0);g(x,y)g x(x0,y0)(x-x0)+g y(x0,y0)(y-y
9、0).(b)线性性问题研究研究:记 a1=f x(x0,y0),a2=f y(x0,y0),b1=g x(x0,y0),b2=g y(x0,y0),p=-(a1+b2),q=a1 b2-a2 b1,并无妨并无妨设 x0=0,y0=0;求解求解 其中其中 1 ,2 为特征方程特征方程 r 2+p r+q=0 的两根的两根.这里这里 1+2=-p,1 2 =q 或写为或写为 (1)当当 p 0,q 0 时时,如果如果 p2 4q 0，由由 1+2=-p,1 2 =q,推得推得 1 与与 2 均为负数均为负数，故当故当 t +时，时，e 1 t 与与 e 2 t 均趋于零均趋于零，系统稳定系统稳定;
10、如果如果 p2 4q 0，由由 1+2=-p,k=i 中中 为负数为负数（k =1，2），故当故当 t +时，时，ek t=et（sint cost）（k =1，2）也均趋于零也均趋于零，系统仍为稳定系统仍为稳定的的；(2)当当 p 0 时时,如果如果 p2 4q 0，由由 1+2=-p,可推出可推出 1 与与 2 中至少有一个为正数，中至少有一个为正数，故当故当 t +时，时，e1 t 与与 e2 t 中至少有一个中至少有一个 趋于趋于 +，系统不稳定系统不稳定;如果如果 p2 4q 0，仍由仍由 1+2=-p,可推出可推出 k=i （k =1，2）中中 为正数为正数，故当故当 t +时时,
11、ek t=et（sint cost）（k =1，2）趋于趋于+，仍可推出，仍可推出 系统不稳定系统不稳定。(3)当当 q 0 时时,此时必定有此时必定有 p2 4q 0，此时此时 系统也必不稳定系统也必不稳定。由由 1 2 =q,可推出可推出 1 与与 2 中至少有一个为中至少有一个为 正数，正数，故当故当 t +时，时，e1 t 与与 e2 t 中至少有一个趋于中至少有一个趋于 +，当当 p 0,q 0 时时,相应的平衡点是稳定的；相应的平衡点是稳定的；当当 p 0 或当或当 q 0 时时,相应的平衡点是不稳定的。相应的平衡点是不稳定的。综述之，在线性方程组非临界（综述之，在线性方程组非临界（p 0)情况中情况中 (C)非线性问题的非线性问题的 稳定性结论稳定性结论:(i)若相应的线性问题是若相应的线性问题是 稳定稳定 的的,则对应非线性问题也则对应非线性问题也 是是 稳定稳定 的的；(ii)若相应的线性问题是若相应的线性问题是 不稳定不稳定 的的,则对应非线性问题则对应非线性问题 也是也是 不稳定不稳定 的的.在非临界情况下在非临界情况下（p 0)，
