1、线性代数期末考试试题C及解答3阶行列式14线性代数期末考试试题C及解答一、（36分）填空（2分18）1、四阶行列式D aj的展开式中有一项322334313341，此项前面应带的的符号6 111第三行元素的代数余子式之和253、 设向量 1 2 1 T, 3 1 6 T，则 A T ，A100 ，矩阵A的秩r（A） 。4、 设A为四阶方阵，且|A =2，贝片A2|= ，|4A* 3A （其中A*为矩阵A的伴随矩阵），A的行向量组线性 关。5、 A为m n矩阵，齐次线性方程组AX 0有非零解的充分必要条件为 ，此时AX 0的一个基础解系中含 个解向量3 1&设二阶矩阵A，且对角形矩阵B P 1A
2、P，则B :又矩1 3阵C与A相似，则C: ，C 1 I。17、设三阶矩阵 A， A 0且矩阵I A, I -A均不可逆，则 A的三个特征值4为 ，又实对称矩阵B与A相似，则二次型f xX2,X3 XtBX的秩为 ，且此二次型的规范形是 。二、（27分）计算（要求写出计算过程）22341、计算四阶行列式：D13341244123530012、已知矩阵A 011，B00141求矩阵X（6分+7分+7分+7分）0 01 0满足矩阵方程AX 2X B ,0 1第3 页3、设三阶矩阵A 求：(1) |A B ; (2)1 2A 2B，且 IA 1，|B4、已知!为三阶矩阵aA 1221的特征值，141
3、3为A属于特征值11的特征向量，求a, b,1的值；并判断A能否与对角形矩阵相似，说明理由。共6 页第4 页x-i 2x2 x3 2x4 0、（12分）设线性方程组 2x1 x2 x3 x4 1 。3x1 x2 2x3 x4 a问：a取何值时，方程组有无穷多解；此时求出方程组的通解。共6 页第5 页2X2X3，为标准形四、（15 分）设二次型 f 为。2，乂3 2x； ax I 2xf 2x.jX2 2x1x31、 写出此二次型的系数矩阵 A ;2、 a取何值时，此二次型正定；3、 当a 2时，该二次型在正交变换X TY下化 f 4yi2 y y，求出此正交变换X TY。共6 页第6 页五、（10分）证明题（5分+5分）1、n阶矩阵A满足A2 2A 41 0。求证：矩阵A 3I可逆，并求（A 3I）2、Rn中，向量组1, 2, 3线性无关，A为n阶矩阵，使向量组A 1, A 2, A 3线 性相关，问矩阵A应满足什么条件，并给出证明。
