1、第二章2123不等关系不等式的基本性质不等式的解集年 级八年级学 科数学版 本北师大版课程标题第二章 2.1 不等关系 2.2不等式的基本性质 2.3不等式的解集编稿老师王长远一校杨雪二校黄楠审核张伟一、考点突破1. 了解不等式的意义，能够根据具体问题中的数量关系理出不等式（组）；2. 理解并掌握不等式的基本性质，能够利用不等式的基本性质比较两个数（或式子）的大小；3. 了解一元一次不等式（组）的解的意义，能够利用不等式的基本性质解不等式，且能够在数轴上表示或判定其解集二、重难点提示重点：不等式的基本性质及应用其解不等式，并在数轴上表示出不等式的解集。难点：理解方程与不等式之间的区别和联系。微
2、课程1：不等关系【考点精讲】考点1：不等式的定义：一般地，用不等号连接的式子叫不等式。考点2：不等号：， 说明：（1）用“”来表示的字眼：“不小于”，“至少”“不低于”；（2）用“”来表示的字眼：“不大于”，“至多”“不超过”。考点3：列不等式考点4：不等式和方程的区别：（1）从定义上来看，不等式是表示不等关系的式子；而方程是含有未知数的等式；（2）从符号上来看，不等式是用“”“”“”或“”来表示的；而方程是用“”来连接两边的式子的；（3）从是否含有未知数上来看，不等式可以含有未知数，也可以不含有未知数；而方程则必须含有未知数。【典例精析】例题1 用适当的符号表示下列关系：（1）x的与x的2倍
3、的和是非正数；（2）一枚炮弹的杀伤半径不小于300米；（3）三件上衣与四条长裤的总价钱不高于268元；（4）明天下雨的可能性不小于70%；（5）小明的体重不比小刚轻。思路导航：（1）非正数用“”表示；（2）、（4）不小于就是大于等于，用“”来表示；（3）不高于就是等于或低于，用“”表示；（5）不比小刚轻，就是与小刚一样重或者比小刚重，用“”表示。答案：（1）（2）设炮弹的杀伤半径为r，则应有r300；（3）设每件上衣为x元，每条长裤是y元，应有3x4y268；（4）用P表示明天下雨的可能性，则有P70%；（5）设小明的体重为a千克，小刚的体重为b千克，则应有ab。点评：本题考查了不等式的定义。
4、一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式。解答此类题关键是要识别常见不等号：，b，则bb，bc，则ac。【典例精析】例题1 已知实数a、b、c在数轴上对应的点如图所示，请判断下列不等式的正确性。（1）bcab_ （2）acab _ （3）cbab_ （4）cbab_ （5）acbc_ （6）acbc_思路导航：由数轴可知：cba，a0，b0，c0，于是可利用不等式的性质来进行逐一判断。答案：由数轴可知：cba，a0，b0，c0，因为ca，两边都乘以b，注意b是一个负数，所以得bcab，故（1）正确；因为cb，两边都乘以a（a为正数），得acba，故（2）不正确；因为ca，两边都减b，得c
5、bab，所以（3）正确；因为ca，两边都加b，得cbab，所以（4）不正确；因为ab，两边都减去c，得acbc，所以（5）正确；因为ab，两边都加上c，得acbc，所以（6）不正确。点评：此题比较复杂，解答此题的关键是熟知不等式的基本性质即：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。例题2 根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“xa”或“xa”的形式：（1）5x4x8 （2）x21 （3）（4）10x0 （5） （6）3x50思路导航：根据不等式的基本性质
6、对各不等式进行逐一分析解答即可。答案：（1）根据不等式性质1，不等式两边都减4x，不等号的方向不变，得5x4x4x84x，即x8；（2）根据不等式性质1，不等式两边都减去2，不等号的方向不变，得x2212即x3；（3）根据不等式性质3，不等式两边同除以，不等号的方向改变，；（4）根据不等式性质1，不等式两边同减10，不等号的方向不变，得10x10010即x10，再根据不等式性质3，不等式两边同除以1，不等号的方向改变，得x10；（5）根据不等式性质3，不等式两边同乘以5，不等号的方向改变， （6）根据不等式性质1，不等式两边都减去5，不等号的方向不变得3x5505即3x5，再根据不等式性质2，
7、不等式两边同除以3，不等号的方向不变，得。点评：本题考查的是不等式的基本性质，需熟练掌握。（1）不等式两边加（或减）同一个数（或整式），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。例题3 已知x0，1y0，将x，xy，xy2按由小到大的顺序排列。思路导航：分析用作差法比较大小，即若ab0，则ab；若ab0，则ab。先由已知条件，利用不等式的性质，可得1y10，1y0，y110，再分三种情况讨论：xxy，xy2xy，xxy2。计算时，提取每个式子的公因式，再根据同号得正，异号得负的知识，确定和0的关系，最终
8、可得三个式子的大小关系。答案：分析用作差法比较大小，即若ab0，则ab；若ab0，则ab。x0，1y0，1y10，1y0，y110，又xxyx（1y），x（1y）0，则xxy，xy2xyxy（y1）0，xy2xy，xxy2x（1y）（1y）0，xxy2，综上有xxy2xy。点评：不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。也利用了同号得正，异号得负的知识。随堂练习：由ab得到ambm的条件是（）A. m0 B. m0 C. m0 D. mO答案：
9、由ab得到ambm，不等式的符号没有改变，m0故选A【总结提升】微课程3：不等式的解集【考点精讲】考点1：不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。说明：不等式的解不唯一，有无数个解。如3.5、5都是不等式30的解。1、0、2、3、3.5都是不等式x40的解。考点2：不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体叫做这个不等式的解集。考点3：在数轴上表示不等式的解集：（1）步骤：（2）注意事项： 数轴上实心与空心的区别在于：空心点表示解集不包括这一点，实心点表示解集包括这一点。数轴上表示不等式的解集遵循“大于向右走，小于向左走”这一原则。考点4：解不等式：求不等式解集的过程叫做解不
10、等式。说明：可利用不等式的基本性质求解；以后还可以简化为“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1”来解不等式。【典例精析】例题1 （1）不等式2x4的解有多少个？请写出来。（2）不等式2x50的正整数解有几个？请写出来。思路导航：（1）根据不等式的性质解不等式即可，再确定解有无数个。（2）先求出不等式的解集，在取值范围内可以找到正整数解。答案：（1）解不等式2x4，得x2，不等式2x4的解有无数个。故答案为无数。（2）不等式2x50的解集为，所以正整数解为1，2，共2个。点评：解答此题要先求出不等式的解集，再确定正整数解。解不等式要用到不等式的性质：（1）不等式的两边加（或减）同一个数（或
11、式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。例题2 解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来。（1）12x33x（2）思路导航：（1）先根据不等式的性质解不等式，然后再在数轴上表示解集；（2）先根据不等式的性质解不等式，然后再在数轴上表示解集。答案：（1）根据不等式的加减法性质，两边同时减去1得，2x23x根据不等式的加减法性质，两边同时减去3x得，2x3x2即x2根据不等式的乘除法性质，两边同时除以1得，x2。不等式的解集在数轴上表示为：（2）根据不等式的加减法性质，两边同时减去得， 根据不等式
12、的乘除法性质，两边同时乘以2得，即x2。不等式的解集在数轴上表示为：点评：本题考查数轴的表示方法，数轴上的箭头方向表示数字的递增，若不等式的取值含有等号，则在该点的表示是实心的，若取不到，则在该点的表示是空心的，而阴影部分表示的是取值内的数，顺着箭头的方向表示大于阴影部分的起点，反之则表示小于阴影部分的起点。例题3 已知x3是关于x的不等式的解，求a的取值范围。思路导航：先根据不等式的解的定义，将x3代入不等式，得到，解此不等式，即可求出a的取值范围。答案：x3是关于x的不等式的解，解得a4，故a的取值范围是a4。点评：本题考查了不等式的解的定义及一元一次不等式的解法，比较简单，根据不等式的解
13、的定义得出是解题的关键。【总结提升】不等式的解与不等式的解集的区别与联系：不等式的解不等式的解集区别定义满足一个不等式的未知数的某个值满足一个不等式的未知数的所有值特点个体全体形式如：是的一个解如：是的解集联系某个解定是解集中的一员解集一定包括了某个解第2章 2.4 一元一次不等式一、预习新知1. 解不等式：2（x3）40，并把解集在下列的数轴上（如图）表示出来。2. 解不等式，并把解集在下列的数轴上（如图）表示出来。二、问题思考1. 诸如2x4，12x33x，有哪些共同点？你能用自己的话总结一下一元一次不等式的定义吗？2. 类比我们学过的一元一次方程的解法，怎样来解一元一次不等式呢？（答题时
14、间：30分钟）不等关系1. 一种牛奶包装盒标明“净重300g，蛋白质含量2.9%”，那么其蛋白质含量为（）A. 2.9%及以上 B. 8.7g C. 8.7g及以上 D. 不足8.7g2. 若图示的两架天平都保持平衡，则对a、b、c三种物体的重量判断正确的是（）A. ac B. ac C. ab D. bc3. 若m是非负数，则用不等式表示正确的是（）A. m0 B. m0 C. m0 D. m04. 下列式子：20；2x3y0；x3；xy中，是不等式的个数有（）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个5. 已知x2的最小值是a，x6的最大值是b，则ab_。6. k的值大于1且不大于3，
15、则用不等式表示k的取值范围是_。（使用形如axb的类似式子填空。）7. 某种饮料重约300g，罐上注有“蛋白质含量0.5%”，其中蛋白质的含量为多少克？8. 已知有理数m，n的位置在数轴上如图所示，用不等号填空。（1）nm_0；（2）mn _0；（3）mn _0；（4）n1 _ 0；（5）mn_0；（6）m1 _0。不等式的基本性质1. 若xy，则下列式子错误的是（）A. x3y3 B. 3x3y C. x3y3 D. 2. 已知ab4，若2b1，则a的取值范围是（）A. a4 B. a2 C. 4a1 D. 4a23. 已知ab，若c是任意实数，则下列不等式中总是成立的是（）A. acbc
16、B. acbc C. acbc D. acbc4. 若ab0，且b0，则a，b，a，b的大小关系为（）A. abba B. abbaC. abab D. baba5. 已知mn，有下列关于m、n的命题：6m6n；3m3n；m5n5；2m52n5。其中，所有正确命题的序号是_。6. 四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为P，Q，R，S，如下图所示，则他们的体重从小到大是（用“”号连接）_。 图一 图二 图三7. 已知：bc，1abca1，求证：ba。8. 如图，某班进行拔河比赛，一共有两个老师，一个男老师，一个女老师，六个同学，三个男同学，三个女同学。其中每个男同学的力量相同，每个女同学的力量相同
17、。如果有三场比赛的结果是：第一场：一个男老师为一方，五个同学（两男三女）为另一方进行比赛，男老师输了；第二场：女老师为一方，五个同学（一男四女）为另一方进行比赛，女老师赢了；第三场：男老师加一个男同学为一方，女老师与三个女同学为另一方进行比赛，男老师一方赢了。问：女老师加两个男同学与男老师加上三个女同学进行比赛，结果将会怎么样？为什么？不等式的解集1. 关于x的不等式2xa2的解集如图所示，a的值是（）A. 0 B. 2 C. 2 D. 42. x1不是下列哪一个不等式的解（）A. 2x13 B. 2x13 C. 2x13 D. 2x133. 不等式x2x3的解集是（）A. x3 B. x3
18、C. x3 D. x34. 下列说法中正确的是（）A. x2是不等式3x4的一个解B. x2是不等式3x4的一个解集C. x2是不等式3x4的唯一解D. 不等式3x4的解一定大于45. 不等式（ab）xab的解集是x1，则a与b的大小关系是_。6. 已知，关于x的不等式x84xm的解集是x3，则常数m的值为_。7. 不等式5x3的非负整数解有多少个？分别是什么？8. 试写出一个不等式，使它的解集满足下列条件：（1）不等式的正整数解只有1，2，3；（2）不等式的整数解只有2，1，0，1。不等关系1. C 解析：根据净重300g，蛋白质含量2.9%，得蛋白质含量3002.9%8.7，故选C。2.
19、A 解析：由图一可知：2a3b，ab；由图二可知：2b3c，bc，故abc。故选A。3. D 解析：非负数即正数或0，即大于或等于0的数，则m0，故选D。4. B 解析：20；2x3y0是用不等号连接的式子，故是不等式，故选B。5.4 解析：因为x2的最小值是a，a2；x6的最大值是b，则b6；则ab264，所以ab4。6. 1k3 解析：根据题意，得1k3，故填1k3。7. 蛋白质的含量不少于1.5克 解析：该种饮料重约300g，罐上注有“蛋白质含量0.5%”，蛋白质含量的最小值3000.5%1.5克，蛋白质的含量不少于1.5克。 8. （1） （2） （3） （4） （5） （6） 解析：
20、（1）因为n0，m0，所以nm0；（2）因为n0，m0，且|n|1，|m|1，所以mn0；（3）因为n0，m0，所以mn0；（4）因为n0，|n|1，所以n10；（5）因为n0，m0，所以mn0；（6）因为0m1，所以m10。不等式的基本性质1. B 解析：A. 不等式两边都减3，不等号的方向不变，正确；B. 乘以一个负数，不等号的方向改变，错误；C. 不等式两边都加3，不等号的方向不变，正确；D. 不等式两边都除以一个正数，不等号的方向不变，正确；故选B。2. D 解析：由ab4，得，2b1，4a2，故选D。3. B 解析：A. ab，c是任意实数，acbc，故本选项错误；B. ab，c是任
21、意实数，acbc，故本选项正确；C. 当ab，c0时，acbc，而此题c是任意实数，故本选项错误；D. 当ab，c0时，acbc，而此题c是任意实数，故本选项错误；故选B。4. B 解析：ab0，ab，ab，由b0，bb，abba；故选B。5. 解析：mn，6m6n（不等式性质2），故此选项错误；mn，3m3n（不等式性质3），故此选项错误；mn，m5n5（不等式性质1），故此选项正确；mn，2m52n5（不等式性质1，2），故选项错误；故正确的是；故答案为：。 6. SPRQ 解析：由图一、二得，SPR，SP0，由图三得，PRQS，SPRQ，RQ0，RQ；综上，SPRQ，故答案为：SPRQ。
22、 7. 证明：因为bc，所以2bbc，由bca1，得2ba1，由1a，得1a2a，所以2b1a2a，ba成立。8. 解：设男老师力量为x，女老师力量为y，男同学力量为z，女同学力量为s。第一场，2z3sx；第二场，yz4s；第三场，xz3sy；得：z2s得：yzxs得：y2zx3s即：一个女老师加两个男同学拔过一名男老师和三名女同学。 不等式的解集1. A 解析：2xa2，x1，a0，故选A。2. A 解析：因为：A. 2x13中，x2；B. 2x13中，x1；C. 2x13中，x1；D. 2x13中，x2；故选A。3. B 解析：合并同类项得：x3，系数化为1得：x3，故选B。4. A 解析：A. 由于324，则x2是不等式3x4的一个解，所以A选项正确；B. 不等式3x4的解集为x，所以B选项错误；C. 不等式3x4的解集为x，则不等式有无数个解，所以C选项错误；D. 不等式3x4的解集为x，所以D选项错误。5. ab 解析：不等式（ab）xab的解集是x1，ab1，ab，则a与b的大小关系是ab，故答案为：ab。6. 1 解析：解不等式x84xm，移项得，x4xm8，合并同类项得，3xm8，化系数为1得，x，所以3，解得m1。7. 解析：5x3，x2，非负整数解有3个：0，1，2。故答案为：0，1，2。8. 解
