1、届高三数学一轮复习导学案教师讲义第11章第3讲 变量间的相关关系统计案例第3讲变量间的相关关系、统计案例学生用书P1931变量间的相关关系常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系2两个变量的线性相关(1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线(2)从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点分布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关(3)回归方程为x，其中，(4)相关系数当r0时，表明两个变
2、量正相关；当r0，则zy0.1x，故x与z负相关 某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持和不支持两种态度)的关系，运用22列联表进行独立性检验，经计算K27.069，则所得到的统计学结论是：有_的把握认为“学生性别与支持该活动有关系”()附：P(K2k0)0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828A.0.1% B.1%C99% D99.9%解析：选C.因为7.069与附表中的6.635最接近，所以得到的统计学结论是：有10.0100.9999%的把握认为“学生性别与支持该活动有关系” 下面是一个22列联表y1y2总计x1
3、a2173x222527总计b46则表中a、b处的值分别为_解析：因为a2173，所以a52.又因为a2b，所以b54.答案：52、54 对于下列表格所示的五个散点，已知求得的回归直线方程为0.8x155，则实数m的值为_x196197200203204y1367m解析：依题意得(196197200203204)200，(1367m)，因为回归直线必经过样本点的中心，所以0.8200155，解得m8.答案：8相关关系的判断学生用书P194典例引领 (1)四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得线性回归方程，分别得到以下四个结论：y与x负相关且2.347x6.423；y与x
4、负相关且3.476x5.648；y与x正相关且5.437x8.493；y与x正相关且4.326x4.578.其中一定不正确的结论的序号是()A B.C D(2)x和y的散点图如图所示，则下列说法中所有正确的序号为_x，y是负相关关系；在该相关关系中，若用yc1ec2x拟合时的相关系数的平方为r，用x拟合时的相关系数的平方为r，则rr；x、y之间不能建立线性回归方程【解析】(1)由线性回归方程x知当0时，y与x正相关，当0时，正相关；r0时，正相关；0时，负相关 通关练习1在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)(n2，x1，x2，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi
5、，yi)(i1，2，n)都在直线yx1上，则这组样本数据的样本相关系数为()A1 B.0C. D1解析：选D.所有点均在直线上，则样本相关系数最大，即为1，故选D.2变量X与Y相对应的一组数据为(10，1)，(11.3，2)，(11.8，3)，(12.5，4)，(13，5)；变量U与V相对应的一组数据为(10，5)，(11.3，4)，(11.8，3)，(12.5，2)，(13，1)r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则()Ar2r10 B.0r2r1Cr20r1 Dr2r1解析：选C.由线性相关系数公式知r .因为11.72，3，XiUi(i1，2，5)
6、，YiV6i(i1，2，5)，所以 所以A0，B0，所以r10，r20.线性回归分析学生用书P194典例引领 (2017高考全国卷)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸(单位：cm)下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：抽取次序12345678零件尺寸9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04抽取次序910111213141516零件尺寸10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95(1)求(xi，i)(i1，2，16)的相关系数r，并回答是否可以认为这一天生产
7、的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若|r|0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小)(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3s，3s)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查(i)从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？(ii)在(3s，3s)之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差(精确到0.01) 附：样本(xi，yi)(i1，2，n)的相关系数r.0.09.【解】(1)由样本数据得(xi，i)(i1，2，16)的相关系数为r0.18.由于
8、|r|0.25，因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(2)(i)由于9.97，s0.212，由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(3s，3s)以外，因此需对当天的生产过程进行检查(ii)剔除离群值，即第13个数据，剩下数据的平均数为(169.979.22)10.02，这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02，x160.2122169.9721 591.134，剔除第13个数据，剩下数据的样本方差为(1 591.1349.2221510.022)0.008，这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为0.09.线性回归分析问题的类型及解题方
9、法(1)求线性回归方程利用公式，求出回归系数，.待定系数法：利用回归直线过样本点的中心求系数(2)样本数据的相关系数r，反映样本数据的相关程度，|r|越大，则相关性越强 通关练习(2016高考全国卷)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图注：年份代码17分别对应年份20082014.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量附注：解：(1)由折线图中数据和附注中参考数据得因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高
10、，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系(2)由1.331及(1)得0.103，1.3310.10340.92. 所以，y关于t的回归方程为0.920.10t.将2016年对应的t9代入回归方程得0.920.1091.82.所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨独立性检验学生用书P195典例引领 (2017高考全国卷)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg), 其频率分布直方图如下：(1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，估计A的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有9
11、9%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量50 kg箱产量50 kg旧养殖法新养殖法 (3)根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较附：P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828，K2.【解】(1)旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为(0.0120.0140.0240.0340.040)50.62.因此，事件A的概率估计值为0.62.(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表箱产量6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关(3)箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量平均值(或中位数)在50 kg到55 kg之间，旧养殖法的箱产
12、量平均值(或中位数)在45 kg到50 kg之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高，因此，可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法(1)比较几个分类变量有关联的可能性大小的方法通过计算K2的大小判断：K2越大，两变量有关联的可能性越大通过计算|adbc|的大小判断：|adbc|越大，两变量有关联的可能性越大(2)独立性检验的一般步骤根据样本数据制成22列联表根据公式K2计算K2的观测值k.比较k与临界值的大小关系，作统计推断 通关练习(2018惠州第三次调研)在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为13，且成绩分布在40，
13、100，分数在80以上(含80)的同学获奖按文、理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图如图所示(1)求a的值，并计算所抽取样本的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)填写下面的22列联表，并判断能否有95%的把握认为“获奖与学生的文、理科有关”？文科生理科生合计获奖5不获奖合计200附表及公式：K2P(K2k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解：(1)a1(0.010.0150.030.0150.005)10100.025，450.1
14、550.15650.25750.3850.15950.0569.(2)22列联表如下：文科生理科生合计获奖53540不获奖45115160合计50150200因为K24.1673.841，所以有95%的把握认为“获奖与学生的文、理科有关” 求回归方程，关键在于正确求出系数，由于，的计算量大，计算时应仔细谨慎，分层进行，避免因计算而产生错误 回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法主要解决：(1)确定特定量之间是否有相关关系，如果有就找出它们之间比较接近的数学表达式；(2)根据一组观察值，预测变量的取值及判断变量取值的变化趋势；(3)求出线性回归方程 独立性检验是根据K2的值判断两个分类变量有关
15、的可信程度 回归分析及独立性检验中的两个易误点(1)回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是确定的值(2)独立性检验中统计量K2的观测值k的计算公式很复杂，在解题中易混淆一些数据的意义，代入公式时出错，而导致整个计算结果出错 学生用书P337(单独成册)1某商品的销售量y(件)与销售价格x(元/件)存在线性相关关系根据一组样本数据(xi，yi)(i1，2，n)，用最小二乘法建立的回归方程为5x150，则下列结论正确的是()Ay与x具有正的线性相关关
16、系B若r表示y与x之间的线性相关系数，则r5C当销售价格为10元时，销售量为100件D当销售价格为10元时，销售量为100件左右解析：选D.由回归直线方程知，y与x具有负的线性相关关系，A错，若r表示y与x之间的线性相关系数，则|r|1，B错当销售价格为10元时，510150100，即销售量为100件左右，C错，故选D.2(2018湖南湘中名校联考)利用独立性检验来考虑两个分类变量X和Y是否有关系时，通过查阅下表来确定“X和Y有关系”的可信度如果k3.841，那么有把握认为“X和Y有关系”的百分比为()P(K2k0)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.005
17、0.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828A.5% B.75%C99.5% D95%解析：选D.由图表中数据可得，当k3.841时，有95%的把握认为“X和Y有关系”，故选D.3在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据，并制作成如图所示的人体脂肪含量与年龄关系的散点图根据该图，下列结论中正确的是()A人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数等于20%B人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20%C人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数等于20%D人体脂肪含量与年龄负相关，且脂
18、肪含量的中位数小于20%解析：选B.因为散点图呈现上升趋势，故人体脂肪含量与年龄正相关；因为中间两个数据大约介于15%到20%之间，故脂肪含量的中位数小于20%.4(2018湖北七市(州)联考)广告投入对商品的销售额有较大影响某电商对连续5个年度的广告费x和销售额y进行统计，得到统计数据如下表(单位：万元)：广告费x23456销售额y2941505971由上表可得回归方程为10.2x，据此模型，预测广告费为10万元时销售额约为()A101.2万元 B.108.8万元C111.2万元 D118.2万元解析：选C.根据统计数据表，可得(23456)4，(2941505971)50，而回归直线10.
19、2x经过样本点的中心(4，50)，所以5010.24，解得9.2，所以回归方程为10.2x9.2，所以当x10时，y10.2109.2111.2，故选C.5下列说法错误的是()A自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B在线性回归分析中，相关系数r的值越大，变量间的相关性越强C在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好解析：选B.根据相关关系的概念知A正确；当r0时，r越大，相关性越强，当r300空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染天数413183091115记某企业每天由空气污染造成的经济损失为S(单位：元)，PM2.5指数为x.当x在区间0，100内时对企业没有造成经济损失；当x在区间(100，300内时对企业造成的经济损失成直线模型(当PM2.5指数为150时造成的经济损失为500元，当PM2.5指数为200时，造成的经济损失为700元)；当PM2.5指数大于300时造成的经济损失为2 000元(1)试写出S(x)的表达式；(2)试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于500元且不超过900元的概率；(3)若本次抽取的样本数据有30天是在供
