1、小学数学课标解读第一节：总体主线和关键点分析“图形与几何”的课程内容，以发展学生的空间观念、几何直观、推理能力为核心展开，主要有：空间和平面基本图形的认识，图形的性质、分类和度量；图形的平移、旋转、轴对称、相似和投影；平面图形基本性质的证明；物体和图形的位置及运动的描述，以及利用坐标对其的刻画。1、图形的认识正确理解与把握标准对图形认识的要求，分析学生学习这部分内容时的特点，对于课程的实施和目标的达成是十分重要的。（1）明确认识的对象在第一学段，标准要求“能根据具体事物、照片或直观图辨认从不同角度观察到的简单物体”；“能通过实物和模型辨认长方体、正方体、圆柱和球等几何体”；“能辨认长方形、正方
2、形、三角形、平行四边形、圆等简单图形”等，其中既涉及到了对简单几何体的认识，也涉及到了经过抽象后的三维图形和二维图形。在第二学段中，认识的图形增加了线段、射线和直线等一维图形；对角的认识扩大到了平角、周角，增加了梯形、扇形，对三角形的认识从一般三角形到等腰三角形、等边三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等；三维图形的认识对象增加了圆锥。在第三学段，除增加了点、平面、菱形外，而更多的是对已有图形从整体到局部的认识，如“理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念”，“理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念”等。与其他二维、三维图形相比，点、直线、平面这些基本图形抽象的程度更高，因此必
3、须结合对现实生活中的物体的抽象才能更好地理解它们。标准关于“图形的认识”内容的安排，体现了从生活到数学、从直观到抽象，从整体到局部的特点，且三维、二维、一维图形交替出现，目标要求逐渐提高。（2）明确图形认识的要求图形认识的要求主要包括两个方面，一是对图形自身特征的认识，二是对图形各元素之间、图形与图形之间关系的认识。对图形自身的特征认识，是进一步研究图形的基础。在三个学段中，认识同一个或同一类图形的要求有明显的层次性：从“辨认”到“初步认识”，再从“认识”到“探索并证明”。例如，对于长方体、正方体、圆柱和球等几何体，第一学段要求“辨认”；第二学段要求“认识”；第三学段要求了解其中一些几何体的侧
4、面展开图。又如，对于平行四边形，第一学段要求“辨认”；第二学段要求“认识”；第三学段要求“探索并证明平行四边形的性质定理、判定定理”。再如，关于“视图”，第一学段要求“能根据具体事物、照片或直观图辨认从不同角度观察到的简单物体”；第二学段要求“能辨认从不同方向（前面、侧面、上面）看到的物体的形状图”；第三学段要求“会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视图，能判断简单物体的视图，会根据视图描述简单的几何体”。这种要求的层次性，既体现了从整体到局部的认识过程；也符合学生的认知特点，逐渐深入、循序渐进。对图形的各元素之间、图形与图形之间的关系的认识，主要包括大小、位置、形状之间关系的认识。
5、第一学段的“了解直角、锐角和钝角”；第二学段的“体会两点间所有连线中线段最短”；“了解周角、平角、钝角、直角、锐角之间的大小关系”；“了解三角形两边之和大于第三边”；第三学段的“会比较线段的长短”，“能比较角的大小”等，都是对图形大小关系的研究。点与直线的位置关系、直线与直线的位置关系、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系等，是义务教育阶段几种主要的图形位置关系；轴对称、中心对称、平移也反映了图形与图形之间的位置关系。图形的全等、相似都是研究研究图形之间关系的课程内容，全等研究的是图形的形状、大小关系；图形的相似研究的是图形的形状之间的关系；而图形的位似则还涉及到了图形的位置关系。 （3）明确
6、认识图形的方式与途径标准中较多地使用“通过观察、操作，认识”、“结合实例（生活情境）了解”、 “通过实物和具体模型，了解”的表述，这实际上明确了认识图形的过程和方式。图形，是人类长期通过对客观物体的观察逐渐抽象出来的，抽象的核心是把物体的外部形象用线条描绘在二维平面上。例如，点是位置的抽象，在几何中用“点”来标记一个物体的位置（例如地图上的城市为点）；线是路径的抽象，我们把“从一个地方走到另一个地方”抽象为“线段，或折线段、曲线段”。又如，观察一张书桌，它占据一定的空间，有长短、宽窄和高矮，这些反映到我们的脑子里就有了形状的概念，就抽象成几何图形。继续观察，发现桌面上有四个相等的角，两两相等的
7、对边，长和宽不相等。黑板、书本、门窗等，都具有这些相同的特征，于是就形成了“长方形”的概念。“长方形”已不再是某个具体的物体，而是抽象了的图形。正如前面指出的那样，图形的认识需要经历抽象的过程，有时这样的过程还是较为漫长的，因为学生往往难以一次性地真正完成这样的抽象。例如，对于角的概念，虽然小学就有接触，但在第三学段探讨角的轴对称性时，有的学生会认为“角不是图形”或“角不是轴对称图形”，因为“角的两边好像不一样长”，这反映了这些学生对“角”的认识没有达到抽象的水平。2、图形的测量对于图形，人们往往首先关注它的大小。一般地，一维图形的大小是长度，二维图形的大小是面积，三维图形的大小是体积。图形的
8、大小是可以度量的，度量的关键是设立单位，而度量的实际操作就是测量。图形测量的相关知识对每个学生的学习和适应未来的生活都是有用的，测量过程中蕴涵的方法和思想有助于学生提高分析问题和解决问题的能力。粗略地了解人类对图形进行测量的历史，可以更好地认识与了解测量的意义和作用。在谈到几何学的产生时，埃及人的贡献总是首先被提及并详尽地给以介绍。埃及位于非洲的北部，每年尼罗河水泛滥，洪水过后留下的淤泥形成肥沃的土壤，同时也带来土地要重新测量的需求，土地测量的需要就使图形成为数学的研究对象。埃及人创造出一套有效的土地面积测量的方法以及面积计算的公式，包括三角形、长方形和梯形，还包括圆面积的近似计算公式。现存的
9、文献表明，古埃及人并没有给出面积的定义，但是埃及人很清楚地知道，面积是对平面物体大小的度量，他们很可能就是用长乘以宽来度量长方形的面积、并且把这种度量作为最基本的面积度量元素。标准中“图形的测量”的课程内容主要安排在第一、二学段；其要求主要包括：体会测量的意义，体会并认识度量的单位及其实际意义，了解测量的一些基本方法，掌握一些基本图形的长度（包括周长）、面积和体积的测量方法和公式，在具体问题中进行恰当的估测。（1）使学生体会建立统一度量单位的重要性标准在第一学段要求“结合生活实际，经历用不同方式测量物体长度的过程，体会建立统一度量单位的重要性。”这种要求对面积、体积的单位也同样适用。度量单位是
10、度量的核心，度量单位的统一是使度量从个别的、特殊的测量活动成为一般化的、可以在更大范围内应用和交流的前提。因此，在课程的实施过程中，应该为学生提供必要的机会，鼓励学生选择不同的方法进行测量，并在相互交流的过程中发现单位的选择对测量结果的影响，进而体会建立统一度量单位的重要性。（2）使学生理解与把握度量单位的实际意义，对测量结果有很好的感悟标准在第一学段要求“在实践活动中，体会并认识长度单位千米、米、厘米，知道分米、毫米，能进行简单的单位换算，能恰当地选择长度单位”。进行单位之间的换算，不能靠机械地记忆换算公式和反复操练，而是要能够体会单位之间的实际关系，这就涉及到了对单位的理解。长度（类似的，
11、面积、体积）单位不仅仅是一个抽象的概念，对它的体会和认识应当通过实践活动，体验它的实际意义。例如，生活中哪些物体的长度大约为1米，1厘米的长度可以用什么熟悉的物体来估计，哪些物体的重量大约是1千克，哪些物体的体积大约是1立方米等。对单位的实际意义的理解，还体现在对测量结果、对量的大小或关系的感悟。比如，一个成人的身高为175（），应当选择cm而不是mm作为单位，这是对长度单位认识的一个深化。（3）在具体的问题情境中恰当地选择度量单位、工具和方法进行测量测量是从人类的生产、生活实际需要中产生的，学习测量的目的是为了实际的应用。在明确实际测量的对象后，选择恰当的度量单位、测量工具及方法关系到测量能
12、否方便、可操作地进行、影响着测量结果的准确程度。比如，用直尺测量黑板的长度是不错的选择，用它测量一栋大楼的长度就不是上策了学生只有在亲身实践中才能积累选择度量单位、测量工具和具体方法的经验。（4）重视估测及其简单应用估测或估计是标准突出强调的内容。估测或估计，既是一种意识的体现，也是一种能力的表现；不仅具有现实的意义，而且也有助于学生感受度量单位的大小。估测与精确测量之间有着密切的关系。生活中精确测量的结果有时需要用估计的办法来感受，对事物进行估计时则需要对度量单位很好的认识与把握、对图形度量知识的掌握，以及具有一定的空间观念。估测的意识和能力是在实践中发展起来的。标准要求“能估测一些物体的长
13、度，并进行测量”，并给出具体的实践任务“测量并计算一张给定正方形纸的面积，利用结果估计课桌面的面积；测量步长，利用步长估计教室的面积”。这样，把测量与面积计算有机地结合起来，有利于学生体会估测的作用以及估测的方法。例如（标准附录2例34），图中每个小方格为1个平方单位，试估计曲线所围部分的面积。这个案例主要是想说明：要帮助学生树立起规划和设计的意识，即根据要估计的精确程度来确定估计方案。例如，粗略估计的方案可以为小方格里有图形就记为1，无图形就记为0，然后相加求和；精细估计的方案可以为小方格的图形，大于一半的记为1，小于一半的记为0，然后相加求和；也可以分得更细。让学生通过记录、计算、比较等，
14、体会估计的意义和方法。（5）探索并掌握规则图形的周长、面积和体积公式，并能应用公式解决实际问题。关于规则图形的度量公式，标准要求探索并掌握长方形、正方形的周长公式；探索并掌握长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形、圆的面积公式，并能解决简单的实际问题；探索并掌握长方体、正方体、圆柱的体积和表面积以及圆锥体积的计算方法，并能解决简单的实际问题。标准还要求探索不规则图形的周长、面积、体积。例如，测量简单图形的周长、会用方格纸估计不规则图形的面积、体验某些实物（如土豆等）体积的测量方法等，通过这样的测量，学生不仅能进一步加深对度量意义的理解，而且能在运用所学知识解决问题的过程中，体会学科之间的联系
15、，感悟数学思想（如微积分的思想）。3、图形的运动或变化标准第一、二学段中“图形的运动”，涉及的主要内容是图形的平移、旋转和轴对称，第三学段中“图形的变化”除图形的平移、旋转和轴对称外，还包括图形的相似、位似，以及投影视图等。第三学段中，要求学生了解轴对称、旋转、平移的概念，探索它们的性质。图形的轴对称、旋转、平移不改变图形的形状和大小，利用这个特性可以探索线段、角、等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形、正多边形、圆的一些性质。比如，研究三角形全等时，可以先组织学生开展如下操作活动：活动1 先把两张全等的三角形纸板摆放成如图，再改变其中一个三角形的位置（平移，或翻折，或旋转），使它与另一个三角形重
16、合。说出这两个全等三角形的对应边和对应角。活动2 先把两张三角形纸板重合，然后改变其中一个三角形的位置（平移，或翻折，或旋转），展示所摆成的不同位置的图形。说出这两个全等三角形的对应边和对应角。活动3 观察下列图形中的两个全等三角形，改变其中一个三角形的位置（平移，或翻折，或旋转），使它与另一个三角形重合。上述活动将有效地帮助学生识别复杂图形中的全等三角形，从而为他们进行有关全等三角形的演绎证明奠定基础。几何图形的直观，为运用图形运动的方法研究图形性质提供了有利条件。通过图形的运动探索发现并确认图形的一些性质，有助于学生发展几何直观能力和空间观念，有利于学生提高研究图形性质的兴趣、体会研究图形
17、性质可以有不同的方法。研究图形的相似尤其是三角形的相似是第三学段“图形的变化”中的主要内容之一，利用相似可以解决日常生活中的大量实际问题，也是标准关注的重点。投影与视图是二维图形与三维图形转化中体现着图形的变化，这个过程是培养学生空间观念的好机会。4、图形的性质及其证明 （1）图形性质的探索图形的性质是对图形中各种元素之间的关系，以及图形之间关系的认识。为了更好地研究这些关系，就需要给出一些定义和基本事实，然后从定义和基本事实出发，去探索研究图形的其他性质。标准在“图形的性质”中，比较多的使用“探索并证明”的表述。在一定的情境中，引导学生借助已有的知识和经验，借助图形的直观，通过操作、度量、运
18、用合情推理或图形运动等方法，探索发现图形可能具有的性质，这与给出“已知、求证、证明”的方式研究图形性质是有区别的。两者相比，前者更加有利于学生在获取有关知识的过程中，不断提高研究几何图形性质的能力，发展创新意识和创新能力。在第一、二学段中，学生已经“辨认”、“认识”、“了解”、“知道”了一些图形及其“特征”。在此基础上，第三学段开始引导学生探索并证明图形的性质，发展学生的推理能力。学生探索图形性质，可以借助图形直观、通过观察、操作、度量等活动；也可以运用归纳、类比的方法。 （2）图形性质的证明推理，是从一个命题判断到另一个命题判断的思维过程，而证明是由一系列推理构成的。证明首先需要有大家公认的
19、出发点，其次，推理过程要正确。标准列出以下9个基本事实，作为义务教育阶段图形性质证明的出发点：（1）两点确定一条直线。（2）两点之间线段最短。（3）过一点有且只有一条直线与这条直线垂直。（4）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。（5）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。（6）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（7）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（8）三边分别相等的两个三角形全等。（9）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。从这9个基本事实出发，证明了有关线段、角、直线、三角形、四边形约40个定理；探索了圆、相似形的一些性质，并了解有关圆、相似形的
20、一些定理的证明。应当说明的是，标准把上述9条称为“基本事实”，而不称为“公理”，其主要原因是其中大多数都是欧氏公理体系中定理，另外它们也不具有公理体系所应有的独立性、相容性、完备性，如基本事实（3）与（5）就不互相独立。演绎推理是证明图形性质的常用方法，它的主要形式是三段论证，但是演绎推理并不等同于三段论证（比如，ab，bcac的推理就不是三段论证）。用演绎推理的方法证明图形性质的过程，通常用简化的三段论证，即“小前提、结论（大前提）”的形式表述。图形的轴对称、平移、旋转等运动、变化，常常是我们探究证明的思路、寻找证明的方法的途径，或者使我们获得一些对图形性质认识的猜测，利用演绎推理在对这些探
21、究和猜测加以证明。比如，对于等腰三角形“三线合一”的性质的探究与证明，可以经历下面的过程：（补图）如果ABC中，AB=AC，那么只要沿ABC的角平分线AD所在直线把ABD翻折，因为BAD=CAD,所以 BA落在射线AC上；因为AB=AC，所以点B与点C重合，于是ABD与ACD重合，即可以发现等腰三角形“三线合一”的结论。利用演绎得方法证明时，折痕就是我们要引的辅助线，它将等腰三角形分成两个全等的三角形，这就是对折带给我们的启发，接下来的证明也就不难了。又如，“三角形的中位线定理”的教学可参考设计如下：问题：怎样把一个三角形纸片剪成两部分，使分成的两部分能拼成一个平行四边形？操作：（1）沿ABC
22、 的中位线DE将ABC剪成两部分。（2）将ADE绕点E旋转180到CFE的位置（如图）。 四边形BCF（E）D是四边形吗？是怎样的四边形？运用图形运动的方法探索并得到猜测：因为DE绕点E旋转180到FE，所以DEF是一条直线，四边形BCF（E）D是四边形。明晰结论：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。不难看出，演绎推理的思路源于图形的旋转变换，图形的旋转变换是 “源”，演绎推理证明是它的“流”。5、图形的位置第一学段要求用两种方法定性地刻画物体的位置：一种是用“上、下、左、右、前、后”描述物体的相对位置，一种是用“东、南、西、北”等描述物体的绝对位置。第二学段则在此基础上进行定量的刻
23、画物体的位置，即用数对表示物体的位置。在此基础上，第三学段通过建立直角坐标系，要求在直角坐标系中确定图形的位置：如用坐标描述点的位置、刻画一个简单图形的位置等。进而在直角坐标系中进行图形的运动，并描述运动后图形的位置及其对应顶点坐标之间的关系：如把一个多边形沿坐标轴平移、或以坐标轴为对称轴进行轴对称变换后，能用坐标描述图形的位置，并体会对应顶点坐标之间的关系；能在直角坐标系中把一个多边形放大或缩小等。第二节、内容分析（一）第一、二学段内容分析第一、二学段“图形与几何”课程内容，分为图形的认识、测量、图形的运动、图形与位置”四个部分。一、图形的认识在第一、二学段中，学生将在日常生活中积累了有关图
24、形认识经验的基础上，通过观察、想象、操作、比较、归纳、概括、推理等方式，认识常见的立体图形和平面图形，探索它们的性质；在观察、想象、推理和图形的相互转换过程中发展空间观念，逐步学会用数学的眼光看待丰富的图形世界，体会图形在现实生活中的广泛应用。1、通过对实物的观察与操作认识图形第一学段要求“能通过实物和模型辨认长方体、正方体、圆柱和球等几何体”、“通过观察、操作，初步认识长方形、正方形的特征”；第二学段要求“结合实例了解线段、射线和直线”、“结合生活情境了解平面上两条直线的平行和相交（包括垂直）关系”等，这些要求的共同特点是通过观察与操作认识图形，直观地、整体地认识立体图形和平面图形。从对实物
25、的观察与操作过程中来认识图形的特征和性质，既符合学生认识事物的规律，也符合数学课程的目标要求。这样的过程有助于学生发展能力，初步体会数学的思想方法，发展积极的情感与态度。人们生活在三维的空间中，常见的楼房、积木、各种包装盒、皮球都给我们以长方体、正方体、圆柱体、球体等直观形象。基于这样的生活经验，学生可以从认识立体图形开始，“通过实物和模型等辨认长方体、正方体、圆柱和球等几何体”。“辨认”是认识的低级阶段，但与以往的经验有所不同，它要经历从实物到几何图形的抽象过程。从不同的角度观察长方体、正方体、圆柱体、球的表面，抽象出长方形、正方形、圆等平面图形。像这样从具体到抽象，从实物到图形，从整体到局
26、部的安排，揭示了立体图形与平面图形的关系，也符合学生的认知特点。第二学段要求“结合实例了解线段、射线和直线”、“结合生活情境了解平面上两条直线的平行和相交（包括垂直）关系”。射线和直线涉及到了无限的概念，与长方体、正方体、长方形、正方形等相比，在现实中没有“直线”的实物原型，这就需要学生进行抽象与想象。认识线段要容易一些，因为现实生活中有“线段”的实物原型。类似的，学生理解两条直线平行的位置关系也比较困难，可以利用两根铁轨作为实物原型来描述，两根铁轨不相交以及它们之间的距离处处相等的事实，都揭示了平行线的本质，但铁轨无法总是笔直的延伸，所以在从实物到几何图形的抽象过程中还需要想象，这有助于学生
27、发展抽象能力和空间观念。2、关注基于图形的想象和图形之间的转换，发展空间观念除了对常见图形的认识外，标准还有另一种对图形观察与认识的要求：能根据具体事物、照片或直观图辨认从不同角度观察到的简单物体。（第一学段）能辨认从不同方向（前面、侧面、上面）看到的物体的形状图。（第二学段）认识长方体、正方体和圆柱的展开图。（第二学段）空间观念作为标准内容的核心概念，是“图形与几何”学习的核心目标之一。为了促进学生对空间的理解与把握、发展空间观念，标准安排了视图与投影、展开与折叠等内容，为学生提供进行二维图形与三维图形之间转换的素材。值得注意的一点是，“从不同的方向看到的”不是真正意义上的视图，视图是平行投
28、影下的正投影，即平行光线将物体投射到与光线垂直的投影面上的“影子”。另外，在第一、二学段只要求辨认（不要求画出）所看到的物体的形状图。例如（标准附录2例33），观察下图：“认识长方体、正方体和圆柱的展开图”，体现了三维图形与二维图形之间相互转换的具体要求，目标是在图形转换中引导学生观察、抽象、想象，发展空间观念。教学中应注重展开与折叠的操作过程，通过想象实现图形之间的转换，让学生记忆展开图的数量或类型的做法是不可取的。3.注重以知识为载体渗透数学思想图形的分类是认识图形的核心。“辨认”不同的几何图形的过程就是将图形分类的过程，长方体、正方体、圆柱体就是三类不同的几何体；正方形、长方形、圆又是另
29、外的三类图形。“结合生活情境认识角，了解直角、锐角和钝角”、“认识等腰三角形、等边三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形”的学习中都有分类的思想。第一学段中的“能对简单几何体和图形进行分类”的要求，实际上就是借助对图形的认识使学生体会和感悟分类的思想。认识图形过程中大量的操作性活动，有利于学生积累数学活动经验，教学中应当予以充分的重视。二、测量在“图形与几何”的主线分析中，我们已讨论了有关测量的几个核心问题，这里仅就一些具体的问题再进行分析。第一学段中测量的内容标准可以分成三部分，一是关于度量单位及其统一性的意义的理解；二是关于长度的测量的问题；三是关于面积的测量问题。关于建立度量单位统一
30、性的重要性，不仅在长度的测量中要给予关注，在面积和体积的测量中仍要让学生去感受，因为重要的思想是需要螺旋上升的。关于对度量单位的认识，要结合实际例子体会度量单位的大小，如“北京到南京的铁路长约1000（ ）”，引导学生学会选择合适的度量单位；要用实物感知度量单位的大小，如“一米约相当于（ ）根铅笔长”，强化学生对度量单位的感知；还应关注不同维度度量单位之间的联系。例如，理解1分米2=100厘米2，可以借助图形（1010的方格，每个方格为1厘米2），也可以借助等式1分米2=1分米1分米=10厘米10厘米=100厘米2，避免学生死记硬背单位之间的换算关系。除了探索规则图形的周长、面积和体积公式并会
31、应用外，标准还要求能测量一些非规则图形的周长，如由规则图形组合成的图形的周长、圆形或杨树叶形的周长，并给出了测量树叶周长的两种方法，对测量的误差也给予了分析。第二学段中的内容标准包括了角的度量、部分图形的面积公式，以及体积的意义、度量单位和一些常见立体图形的体积的探索，以及“通过操作，了解圆的周长与直径的比为定值，掌握圆的周长公式；探索并掌握圆的面积公式，并能解决简单的实际问题”。圆是第一、二学段学习的平面图形中唯一的一个曲线形，对它的周长以及面积的探索和公式的给出都具有一定的挑战性，需要学生经历分析圆的半径与周长关系的过程，并通过对特殊情况的归纳得出圆的面积公式。这个过程有助于学生提高分析问
32、题、解决问题的能力，获得数学活动的经验，体会极限的思想。第一、二学段都应关注估测的问题。标准在长度、面积和体积三个维度上都提出了估测的要求：第一学段要求“能估测一些物体的长度，并进行测量”，“会估计给定简单图形的面积”；第二学段要求“体验某些实物（如土豆等）体积的测量方法”。比如，“测量一个土豆的体积”，可以转化为与土豆等体积的规则物体来测量（详见标准附录2例35）。第二学段还明确要求在掌握有关周长、面积、体积公式的基础上，“解决简单的实际问题”，解决问题既是学习的过程的重要环节，也是学习数学的主要目的。三、图形的运动运动是世间万物的基本特征，是物质存在的基本形式。所谓图形的运动，在义务教育数学课程中最基本的形式有两种：一是形状和大小不变，仅仅位置发生变化（合同运动）；二是形状不
