1、初三数学角平分线线段的垂直平分线逆命题逆定理知识精讲 华东师大版初三数学用推理方法研究三角形角平分线、线段的垂直平分线、逆命题、逆定理知识精讲 华东师大版【同步教育信息】一. 本周教学内容： 用推理方法研究三角形角平分线、线段的垂直平分线、逆命题、逆定理知识要点（一）角平分线 1. 定理 （1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 （2）到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上。 2. 三角形三条角平分线相交于一点，这一点称为三角形的内心。（二）线段的垂直平分线 1. 定理 （1）线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。 （2）到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条
2、线段的垂直平分线上。 2. 三角形的三边的垂直平分线相交于一点，这一点是三角形的外心。（三）逆命题、逆定理 1. 概念 （1）互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题。 （2）如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理。 2. 定理 （1）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 （2）勾股定理的逆定理：如果三角形一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形。学法建
3、议 学习角平分线时，要理解添加辅助线的目的，学几何命题的证明方法和证明的叙述格式，并能进行总结归纳。 学习线段的中垂线时，要掌握两个定理的联系和区别，在利用线段中垂线定理证明几何命题时要避免再去证三角形全等。 学习逆命题、逆定理时，要分析命题的题设和结论，从而理解互逆命题的实质，能熟练地说出一个命题的逆命题，并能判断真假性，掌握勾股定理和其逆定理并能熟练应用。【典型例题】 例1. 如图，BE、CE分别是ABC的外角平分线，且相交于点E。 求证：E在A的平分线上。 分析：要证E在A的平分线上，只需证E到A两边距离相等即可，因此需作辅助线EM、EN、EH，使它们分别与AB、AC、BC垂直，只需证明
4、EMEN。 证明：过E作EMAB交AB的延长线于M，过E作ENAC交AC的延长线于N，过E作EHBC于H E在MBC的平分线上且EMAB，EHBC EMEH（角平分线上的点到角的两边距离相等） 同理，ENEH EMEN E在A的平分线上（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上） 说明：在有关角平分线的问题中，一般过角平分线上的点向两边作垂线来解决问题。 例2. 如图，ABC中，A90，ABAC，BD平分ABC交AC于D，CEBD的延长线于E。 求证：BD2CE 分析：要证明BD2CE，常需找出线段或2CE，由条件“BD平分ABC和CEBD”想到延长CE、BA相交于F，先证明CF2CE，再证明
5、BDCF即可，这需证明ABDACF。 延长CE、BA相交于F 在FBE和CBE中 FBECBE（ASA） BECF，ACAB 2F90，1F90 12 在ABD和ACF中 ABDACF（ASA） BDCF BD2CE 说明：（1）在题目中如果含有角平分线且含有和这条角平分线垂直的条件时，要想到翻折图象，此题所作的辅助线，实质上是将以BE所在直线为轴翻折过去得。 （2）此题图中，可以把BE、CA看成是FBC的两条高，注意“12”这个结论。 例3. 如图，直角梯形ABCD，ABCD，B90，E是BC中点，DE平分ADC。 求证：AE平分DAB 分析：要证AE平分DAB，只需证明点E在DAB的平分线
6、上即可，过E作EFAD于F，由条件可得EFECEB，则点E在DAB的平分线上，即AE平分DAB。 证明：过E作EFAD于F ECDC，DE平分ADC ECEF（角平分线的点到角的两边距离相等） BECE BEEF EFAD，BEAB AE平分DAB（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上） 说明：要善于利用角平分线的这两个定理解决有关角平分线的问题。 例4. 如图，在中，C90，BD是B的平分线交AC于D，CEAB于E交BD于O，过O作FGAB，交BC于F，交AC于G。 求证：CDAG 分析：过点D作DHAB于H，可证12，从而COCD，而CDDH，因此CODH，可证：，则CGDA，CDAG
7、。 证明：过点D作DHAB于H BD平分CBA，ACB90 CDDH（角平分线上的点到角两边距离相等） BD平分ABC 45 245390 23 又13 12 COCD DHCO CEAB，ABFG CEFG，6A COG90 在COG和DHA中 COGDHA CGAD 即：CDAG 说明：在有关角平分线的问题中，通常过角平分线上有关的点向两边作垂线，也可以在角的两边截长或补短，从而找到解决问题的途径。 例5. 已知：如图，ABC中，ABAC，BAC120，EF为AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，试猜想BF与FC的关系，并说明理由。 分析：因为EF是AB的中垂线，故连结AF，则AFB
8、F 因为ABAC，BAC120，易知 CB30，FAC90 因此在RtACF中，则 证明：连结AF EF垂直平分AB FAFB（线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等） B1（等边对等角） ABAC，BAC120 BC30 130 FAC90 又C30 FC2AF 说明：因为BF与FC在同一条直线上不易证，由线段的垂直平分线的性质，则连结AF，BFAF，所以AF与FC在AFC中，由已知条件易得FAC90，C30，从而证得。 例6. 如图，ABC中，C90，A30，分别以AB、AC为边向形外作正ABE和正ACD，连DE交AB于F。 求证：EFFD 分析：欲证EFFD，因为EF、FD在同一直线上
9、，FD又是AFD的一条边，由已知条件BAC30，CAD60，则FAD90，所以需以EF为边构造一个直角三角形，再证得此三角形与AFD全等，因此，由E点作ABE的AB边上垂线即可。 证明：过E点作EPAB于P点，则EPB90 BEAEAB EP平分BEA 在EPB和ACB中 EPBACB EPAC 又ACADCD EPAD CAD60 FAD2CAD90 在EPF和DAF中 EPFDAF（AAS） EFDF 例7. 写出下列各命题的逆命题，并判断其真假： （1）全等三角形对应角相等 （2）直角三角形两锐角互余 （3）同角的余角相等 分析：要写出一个命题的逆命题，首先要弄清楚原命题的题设和结论，再
10、把它的题设和结论对调重新组织语言即可。 答：（1）三个角对应相等的两个三角形全等。（假命题） （2）有两个互余锐角的三角形是直角三角形。（真命题） （3）如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角。（假命题） 例8. 如图，已知：在直角三角形ABC中，ABAC，BAC90，P为斜边BC上的任意一点。 求证： 分析：证明线段的平方问题，首先要考虑应用勾股定理，这时要从图中寻找或构造包含所证线段的直角三角形，最常见的办法是引垂线构造直角三角形。 证明：过A点作ADBC于D 在RtAPD中，由勾股定理可知： RtBAC中，ABAC，ADBC ADBDCD（等角对等边） 说明：本题还可作PEAB于E
11、，PFAC于F，无论哪种作法都是为了构造直角三角形，从而应用勾股定理。 例9. 如图，四边形ABCD为正方形，点E为AB的中点，点F在AD边上且。 求证：EFCE 分析：本题已知告诉了线段之间的关系，因此可以连结CF，通过证来解决。 证明：连结FC，设正方形ABCD的边长为a，则 在RtAEF中，（勾股定理） 在RtBCE中，（勾股定理） 在RtCDF中，（勾股定理） FEC90（勾股定理的逆定理） FECE【模拟试题】一. 填空题。 1. 在RtABC中，C90，BC16cm，A的平分线AD交BC于D，且使CDDB35，则点D到AB的距离为_。 2. 如图（a），已知C90，AD平分A，AD
12、BD2CD，点D到AB距离为5.6 cm，则BC长为_。图（a） 3. 如图（b），已知ABCD，O为A、C的平分线的交点，OEAC交AC于E且OE2，则两平行线AB、CD之间距离为_。图（b） 4. 如图（c），已知：C90，12，若BC8，BD5，则点D到AB的距离为_。图（c） 5. 在ABC中，AB15，AC13，高AD12，则ABC的周长是_。 6. 如图（d），ABC中，C90，DE是AB的中垂线，AB2AC，BC18 cm，则BE的长度为_。图（d） 7. “邻补角的平分线互相垂直”的题设是_，结论是_。 8. “不相等的两个角不一定是对顶角”是_命题。二. 选择题。 9. 如图
13、：已知点P到BE、BD、AC的距离恰好相等，则点P的位置： （1）在B的平分线上； （2）在DAC的平分线上； （3）在ECA的平分线上； （4）恰是B、DAC、ECA的三条角平分线的交点。 上述结论中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，ABC中，C90，ACBC，AD平分CAB交BC于D，DEAB于E，若AB6cm，则DEB的周长为（ ） A. 5cm B. 6cm C. 7cm D. 8cm 11. RtABC中，斜边BC6，AD、BE是中线，若ADBE，则BE的长为（ ） A. B. C. D. 12. 在RtABC中，AB，CM是斜边AB的
14、中线，将ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处，如果CD恰好与AB垂直，那么A等于（ ） A. 15 B. 30 C. 45 D. 60 13. 下列语句是命题的是（ ） A. 画AOB75 B. 连结AB C. 锐角小于它的余角 D. 画CDAB于D三. 解答题。 14. 如图，BD是ABC的平分线，DEAB于E，AB18cm，BC12cm，求DE的长。 15. 如图，BC90，M为BC的中点，DM平分ADC。 求证：AM平分DAB 16. 如图，在等边ABC中，ABC、ACB的平分线交于O，BO、CO的垂直平分线与BC分别交于E、F。 求证：BEEFFC 17. 写出下列命题的逆命题，并判断
15、是真命题还是假命题： （1）在空间里，命题“没有交点的两条直线互相平行”。 （2）如果，则。 （3）末位数字是零的整数一定能被5整除。【试题答案】一. 填空题。 1. 6cm 2. 16.8cm 3. 4 4. 3 5. 42或32 6. 12cm 7. 题设：如果两个角是邻补角，结论：那么它的角平分线互相垂直。 8. 假命题二. 选择题。 9. D 10. B 11. A 12. B 13. C三. 解答题。 14. 过D作DFBC于F ABDCBD，DEAB，DFBC DEDF 15. 作MEAD于E MCDC，MEDA，MD平分ADC MEMC 又M是BC中点 MBMC MEMB MEAD，MBAB AM平分DAB 16. 连结OE、OF，证OEF为等边三角形。 17. （1）在空间里，“如果两条直线互相平行，那么这两条直线没有交点”是真命题。 （2）如果，那么是真命题。 （3）能被5整除的数，那么末位数字一定是零。（假命题）
