1、二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程第六节 二阶常系数齐次线性微分方程教学目的:使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 教学重点:二阶常系数齐次线性微分方程的解法 教学过程: 一、二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程: 方程 y,，py,，qy,0 、q均为常数, 称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p如果y、y是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么y,Cy，Cy就是它的121122通解, rx rx 我们看看 能否适当选取r 使y,e满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将y,e代入方程 y,，py,，q
2、y,0 得 2rx (r ，pr，q)e,0, 2rx由此可见 只要r满足代数方程r，pr，q,0 函数y,e就是微分方程的解, 2 特征方程: 方程r，pr，q,0叫做微分方程y,，py,，qy,0的特征方程, 特征方程的两个根r、r12可用公式 24,p，,p,q r,1,22求出, 特征方程的根与通解的关系: rxrx12 (1)特征方程有两个不相等的实根r、r时 函数、是方程的两个线性无关y,ey,e1212的解, 这是因为 rx1ye(r,r)x1rxrx1212,e 函数、是方程的解 又不是常数, y,ey,e12rx2ye2因此方程的通解为 rxrx12 , y,Ce，Ce12r
3、xrx11 (2)特征方程有两个相等的实根r,r时 函数、是二阶常系数齐次线性微分y,ey,xe1212方程的两个线性无关的解, rx1 这是因为 是方程的解 又 y,e12rxrxrxrxrxrx111111, (xe)，p(xe)，q(xe),(2r，xr)e，p(1，xr)e，qxe1112rxrx11 ,e(2r，p)，xe(r，pr，q),0111rx1yxe2rx1也是方程的解 且不是常数, 所以,xy,xe2rx1ye1因此方程的通解为 rxrx11 , y,Ce，Cxe12(,，i,)x(,i,)x (3)特征方程有一对共轭复根r,i,时 函数y,e、y,e是微分方程的两个线性
4、无1, 2,x,x关的复数形式的解, 函数y,ecos,x、y,esin,x是微分方程的两个线性无关的实数形式的解, (,，i,)x(,i,)x 函数y,e和y,e都是方程的解 而由欧拉公式 得 12(,，i,)xx y,e,e(cosx，isinx) 1(,i,)xx y,e,e(cosx,isinx) 21x,x y，y,2ecosx ecos,x,(y，y)121221x,x y,y,2iesinx esin,x,(y,y)12122i,x,x故ecos,x、y,esin,x也是方程解, 2,x,x可以验证 y,ecos,x、y,esin,x是方程的线性无关解, 12因此方程的通解为 ,
5、x y,e(Ccos,x，Csin,x ), 12求二阶常系数齐次线性微分方程y,，py,，qy,0的通解的步骤为: 第一步 写出微分方程的特征方程 2 r，pr，q,0 第二步 求出特征方程的两个根r、r, 12第三步 根据特征方程的两个根的不同情况 写出微分方程的通解, 例1 求微分方程y,2y,3y,0的通解, 解 所给微分方程的特征方程为 2 r,2r,3,0 即(r，1)(r,3),0 其根r,1 r,3是两个不相等的实根 因此所求通解为 12,x3x y,Ce，Ce, 12例2 求方程y,，2y,，y,0满足初始条件y|,4、y,|,2的特解, x,0 x,0解 所给方程的特征方程
6、为 22 r，2r，1,0 即(r，1),0 其根r,r,1是两个相等的实根 因此所给微分方程的通解为 12,x y,(C，Cx)e, 12将条件y|,4代入通解 得C,4 从而 x,01,x y,(4，Cx)e, 2将上式对x求导 得 ,x y,(C,4,Cx)e, 22再把条件y,|,2代入上式 得C,2, 于是所求特解为 x,02,x x,(4，2x)e, 例 3 求微分方程y,2y,，5y, 0的通解, 解 所给方程的特征方程为 2 r,2r，5,0 特征方程的根为r,1，2i r,1,2i 是一对共轭复根 12因此所求通解为 x y,e(Ccos2x，Csin2x), 12n 阶常系
7、数齐次线性微分方程: 方程 (n) (n,1)(n,2) y，py，py， , , , ， py,，py,0 12 n,1n称为n 阶常系数齐次线性微分方程 其中 p p , , , p p都是常数, 12 n,1n二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式 可推广到n 阶常系数齐次线性微分方程上去, 引入微分算子D 及微分算子的n次多项式 n n,1n,2 L(D)=D，pD，pD， , , , ， pD，p 12 n,1n则n阶常系数齐次线性微分方程可记作 n n,1n,2 (D，pD，pD， , , , ， pD，p)y,0或L(D)y,0 12 n,1n023n(n)注 D
8、叫做微分算子Dy,y Dy,y, Dy,y, Dy,y, , , ,Dy,y rx 分析 令y,e 则 rxn n,1n,2 rxrx L(D)y,L(D)e,(r，pr，pr， , , , ， pr，p)e,L(r)e 12 n,1nrx因此如果r是多项式L(r)的根 则y,e是微分方程L(D)y,0的解 n 阶常系数齐次线性微分方程的特征方程 n n,1n,2 L(r),r，pr，pr， , , , ， pr，p,0 12 n,1n称为微分方程L(D)y,0的特征方程 特征方程的根与通解中项的对应: rx 单实根r 对应于一项: Ce, x, 一对单复根r , i, 对应于两项: e(Cc
9、os,x，Csin,x), 1212rxk,1 k重实根r对应于k项: e(C，Cx， , , , ，Cx), 12k 一对k 重复根r , i, 对应于2k项: 12,xk,1k,1 e(C，Cx， , , , ，Cx)cos,x，( D，Dx， , , , ，Dx)sin,x, 12k 12k (4) 例4 求方程y,2y,，5y,0 的通解, 解 这里的特征方程为 43222 r,2r，5r,0 即r(r,2r，5),0 它的根是r,r,0和r ,1,2i, 1234因此所给微分方程的通解为 x y,C，Cx，e(Ccos2x，Csin2x), 1234(4)4 例5 求方程y y,0的
10、通解 其中,0, ，,解 这里的特征方程为 4 4 r，,0, ,它的根为 , r,(1,i)r,(1,i)1,23,422因此所给微分方程的通解为 , x,x,22 , y,e(Ccosx，Csinx)，e(Ccosx，Csinx)12342222二、二阶常系数非齐次线性微分方程简介 二阶常系数非齐次线性微分方程: 方程 y,，py,，qy,f(x) 称为二阶常系数非齐次线性微分方程 其中p、q是常数, 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程 的通解y,Y(x)与非齐次方程本身的一个特解y,y*(x)之和: y,Y(x)， y*(x), 当f(x)为两种特殊形式时 方程的特解的求
11、法: ,x 一、 f(x),P(x)e型 m,x 当f(x),P(x)e时 可以猜想 方程的特解也应具有这种形式, 因此 设特解形式为m,xy*,Q(x)e 将其代入方程 得等式 2 Q,(x)，(2,，p)Q,(x)，(,，p,，q)Q(x),P(x), m22 (1)如果,不是特征方程r，pr，q,0 的根 则,，p,，q0, 要使上式成立 Q(x)应设为m 次多项式: mm,1 Q(x),bx，bx， , , , ，bx，b m01m,1m 通过比较等式两边同次项系数 可确定b b , , , b 并得所求特解 01m,x y*,Q(x)e, m22 (2)如果,是特征方程 r，pr，q
12、,0 的单根 则,，p,，q,0 但2,，p0 要使等式 2 Q,(x)，(2,，p)Q,(x)，(,，p,，q)Q(x),P(x), m成立 Q(x)应设为m，1 次多项式: Q(x),xQ(x) mm m,1 Q(x),bx，bx， , , , ，bx，b m01m,1m 通过比较等式两边同次项系数 可确定b b , , , b 并得所求特解 01mx, y*,xQ(x)e, m22 (3)如果是特征方程 r，pr，q,0的二重根 则，p，q,0 2，p,0 要使等式 ,2 Q,(x)，(2,，p)Q,(x)，(,，p,，q)Q(x),P(x), m成立 Q(x)应设为m，2次多项式: 2
13、 Q(x),xQ(x) mmm,1 Q(x),bx，bx， , , , ，bx，b m01m,1m 通过比较等式两边同次项系数 可确定b b , , , b 并得所求特解 01m 2,x y*,xQ(x)e, m,x 综上所述 我们有如下结论: 如果f(x),P(x)e 则二阶常系数非齐次线性微分方程my,，py,，qy ,f(x)有形如 k ,x y*,xQ(x)e m的特解 其中Q(x)是与P(x)同次的多项式 而k 按,不是特征方程的根、是特征方程的单根或mm是特征方程的的重根依次取为0、1或2, 例1 求微分方程y,2y,3y,3x，1的一个特解, ,x 解 这是二阶常系数非齐次线性微
14、分方程 且函数f(x)是P(x)e型(其中P(x),3x，1 ,0), mm与所给方程对应的齐次方程为 y,2y,3y,0 它的特征方程为 2 r,2r,3,0, 由于这里,0不是特征方程的根 所以应设特解为 y*,bx，b, 01把它代入所给方程 得 ,3bx,2b,3b,3x，1 001比较两端x同次幂的系数 得 ,3,3b,0 ,3b,3 ,2b,3b,1, 001,2b,3b,101,1由此求得b,1 , 于是求得所给方程的一个特解为 b,0131 , y*,x，32x 求微分方程y,5y,，6y,xe的通解, 例2,x 解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程 且f(x)是P(x)
15、e型(其中P(x),x ,2), ,mm与所给方程对应的齐次方程为 y,5y,，6y,0 它的特征方程为 2 r,5r，6,0, 特征方程有两个实根r,2 r,3, 于是所给方程对应的齐次方程的通解为 122x3x Y,Ce，Ce, 12由于,2是特征方程的单根 所以应设方程的特解为 2x y*,x(bx，b)e, 01把它代入所给方程 得 ,2bx，2b,b,x, 001比较两端x同次幂的系数 得 ,2,1b,0 ,2b,1 2b,b,0, 001,2b,b,001,1由此求得 b,1, 于是求得所给方程的一个特解为 b,10212x , y*,x(,x,1)e2从而所给方程的通解为 12x
16、3x22x , y,Ce，Ce,(x，2x)e122提示 2x22xy*,x(bx，b)e,(bx，bx)e 010122x22x(bx，bx)e,(2bx，b)，(bx，bx),2e 01010122x222x(bx，bx)e,2b，2(2bx，b),2，(bx，bx),2e 010010122x22x22xy*,5y*,，6y*,(bx，bx)e,5(bx，bx)e,，6(bx，bx)e 010101222x22x22x,2b，2(2bx，b),2，(bx，bx),2e,5(2bx，b)，(bx，bx),2e，6(bx，bx)e 001010101012x2x,2b，4(2bx，b),5(
17、2bx，b)e,2bx，2b,be 00101001,x方程y,，py,，qy,eP (x)cos,x，P(x)sin,x的特解形式 ln应用欧拉公式可得 ,x eP(x)cos,x，P(x)sin,x ln,i x,i, xi, x,i, xeeee，,x, ePxPx()(),，lni2211(,，i,)x(,i,)x ,P(x),iP(x)e，P(x)，iP(x)elnln22(,，i,)x(,i,)x ,P(x)e，P(x)e11 , 而m,maxl n, 其中P(x),(P,Pi)P(x),(P，Pi)lnln22(,，i,)xk(,，i,)x 设方程y,，py,，qy,P(x)e的
18、特解为y*,xQ(x)e 1mk(,i,)(,i,),则必是方程的特解 y*,xQ(x)ey，py，qy,P(x)e1m其中k按,i不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1, ,x 于是方程y,，py,，qy,eP(x)cos,x，P(x)sin,x的特解为 lnk(,，i,)xk(,i,)x y*,xQ(x)e，xQ(x)emmkx, ,xeQ(x)(cos,x，isin,x)，Q(x)(cos,x,isin,x)mmk ,x(1)(2) ,xeR(x)cos,x，R(x)sin,x, mm综上所述 我们有如下结论: ,x 如果f(x),eP(x)cos,x，P(x)sin,x 则二阶常
19、系数非齐次线性微分方程 lny,，py,，qy,f(x) 的特解可设为 k ,x(1)(2) y*,xeR(x)cos,x，R(x)sin,x mm(1)(2)其中R(x)、R(x)是m次多项式 m,maxl n 而k 按,，i, (或,i,)不是特征方程的根或是mm特征方程的单根依次取0或1, 例3 求微分方程y,，y,xcos2x的一个特解, 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程 解,x且f(x)属于eP(x)cosx，P(x)sinx型(其中,0 ,2 P(x),x P(x),0), ,lnln与所给方程对应的齐次方程为 y,，y,0 它的特征方程为 2 r，1,0, 由于这里,，i,
20、2i 不是特征方程的根 所以应设特解为 y*,(ax，b)cos2x，(cx，d )sin2x, 把它代入所给方程 得 (,3ax,3b，4c)cos2x,(3cx，3d，4a)sin2x,xcos2x, 41比较两端同类项的系数 得 b,0 c,0 , d,a,3914于是求得一个特解为 , y*,xcos2x，sin2x39提示 y*,(ax，b)cos2x，(cx，d)sin2x, y*,acos2x,2(ax，b)sin2x，csin2x，2(cx，d)cos2x ,(2cx，a，2d)cos2x，(,2ax,2b，c)sin2x y*,2ccos2x,2(2cx，a，2d)sin2x,2asin2x，2(,2ax,2b，c)cos2x ,(,4ax,4b，4c)cos2x，(,4cx,4a,4d)sin2x y*,， y*,(,3ax,3b，4c)cos2x，(,3cx,4a,3d)sin2x ,3a,1,3b，4c,041由 得 b,0 c,0 d, a,3c,039,4a,3d,0,
