1、最新高等数学试题及答案2016中南大学现代远程教育课程考试复习题及参考答案高等数学一、填空题ax+a-x1设f(x)=，则函数的图形关于 2sinx-2x02若y=2，则y()=. 2x+10x2x2sin3 极限limx0sinx1= 。x2+ax+b=2，则a=_, b=_。 4.已知lim2x2x-x-25.已知x0时，(1+ax)-1与cosx-1是等价无穷小，则常数a6.设x+z=y()，其中可微，则22123zyz y7.设u=exyz2，其中z=z(x,y)由x+y+z+xyz=0确定的隐函数，则ux(0,1)=12z8.设z=f(xy)+y(x+y),f,具有二阶连续导数，则=
2、 。 xxy9.函数f(x,y)=xy-xy-xy的可能极值点为和10.设f(x,y)=x2siny+(x2-1)xy|则fy(1,0)=_.211.xsin2xdx= . 220,上曲线y=cosx,y=sinx之间所围图形的面积为12.在区间 .13若+0e-kxdx=221，则k=_。 222(x+4y+1)dxdyD14.设：x+y1 ,则由估值不等式得2215.设D由y=x,y=2x,y=1,y=2围成（x0），则f(x,y)d在直角坐标系下的D两种积分次序为_和_.16.设D为0y1-x,0x1，则_.17.设级数Dfdxdy的极坐标形式的二次积分为nn=112+p收敛，则常数p的
3、最大取值范围是 . x2x4x6+-+ )dx=18.x(1- 01!2!3! 119. 方程dx-x2+dy-y2=0的通解为20微分方程4y-20y+25=0的通解为.21.当n=_时，方程y+p(x)y=q(x)yn 为一阶线性微分方程。22. 若44阶矩阵A的行列式为|A|=3,A*是A的伴随矩阵,则|A*|=_.23.设Ann与Bmm均可逆，则C = A0-1C也可逆，且 . 0B24.设A=31，且AX-E=3X，则X = . 232-1225矩阵402的秩为 0-33 26. 向量=(-1,0,3,-5),=(4,-2,0,1),其内积为_.27. n阶方阵A的列向量组线性无关的
4、充要条件是28. 给定向量组1=(111),2=(a0b),3=(132),，若1,2,3线性相关，则a，b满足关系式 .29. 已知向量组(I)与由向量组(II)可相互线性表示，则r(I)与r(II)之间向量个数的大小关系是.30 向量=(2,1)T 可以用=(0,1)T与 =(1,3)T线性表示为.31. 方程组Ax=0有非零解是非齐次方程组AB=b有无穷组解的.32. 设A为mn矩阵,非齐次线性方程组Ax=b有唯一解的充要条件是r(A)r(A|b 33.已知n元线性方程组且r(A)n，则该方程组的一般解中自由未知量的个AX=b有解，数为 34.设0是方阵A的一个特征值，则齐次线性方程组(
5、0E-A)x=0的 都是A的属于0的特征向量.35.若3阶矩阵A的特征值为1，2，-3，则A-1的特征值为.36.设A是n阶方阵，|A|0,A为A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵，若A有特征值0,则*+2E必有特征值=37.,分别为实对称矩阵A的两个不同特征值1,2所对应的特征向量,则与 的内积（,）= .38.二次型f(x1,x2,x3,x4)=x1x4+x2x3的秩为(A)*3420 39. 矩阵A= 24为正定矩阵,则的取值范围是_.0122240. 二次型f(x1,x2,x3)=2x1+3x2+tx3+2x1x2+2x1x3是正定的,则t的取值范围是_.41. A、B、C代表三事件，事件“
6、A、B、C至少有二个发生”可表示为 .42. 事件A、B相互独立，且知P(A)=0.2,P(B)=0.5则P(A B)= .43. 若随机事件A和B都不发生的概率为p，则A和B至少有一个发生的概率为.44. 在相同条件下，对目标独立地进行5次射击，如果每次射击命中率为0.6， 那么击中目标k次的概率为 (0k5).45. 设随机变量X服从泊松分布，且PX=1=PX=2,则PX=3= .0x1x1x2，则a= . 46. 设随机变量X的分布密度为f(x)=a-x0其它47. 若二维随机变量（X，Y）的联合分布律为且X，Y相互独立，则常数a = ,b = .48. 设X的分布密度为f(x)，则Y=
7、X的分布密度为. 349. 二维随机变量（X，Y）的联合分布律为则与应满足的条件是 ，当X，Y相互独立时， .50. 设随机变量X与Y相互独立，且XN(1,2),YN(0,1).令Z = -Y + 2X +3，则D(Z)= .251. 已知随机变量X的数学期望E(X)=1,E(X=).令4Y2X3，则D(Y)二、单项选择题1设f(x)=x+1 ，则f(f(x)+1)=（ ）A x Bx + 1 Cx + 2 Dx + 32 下列函数中，（ ）不是基本初等函数A y=() B y=lnx2 C y=3. 下列各对函数中，（ ）中的两个函数相等.A. y=1exsinx D y=x5 cosxxl
8、n(1-x)ln(1-x)2g=与 B. 与g=2lnx y=lnx2xxC. y=-sin2x与g=cosx D. y=4. 设f(x)在x=x0处间断，则有（ ）(A) f(x)在x=x0处一定没有意义； x(x-1)与y=x(x-1)f(x)limf(x)； (B) f(x0-0)f(x+0); (即lim-+xx0xx0(C) limf(x)不存在，或limf(x)=； xx0xx0(D) 若f(x)在x=x0处有定义，则xx0时，f(x)-f(x0)不是无穷小1-+2x,x05函数f(x)= 在x = 0处连续，则k = ( xk,x=0)A-2 B-1 C1 D2ex-a6.若f(
9、x)=，x=0为无穷间断点，x=1为可去间断点，则a=（ ）. x(x-1)（A）1 （B）0 （C）e （D）e -17函数z=ln(x2+y2-2)+4-x2-y2的定义域为（ ）22222222x+y2x+y4x+y220,f(x)0,则f(x)在(-,0)内（ ）.(A) f(x)0,f(x)0; (B) f(x)0;(C) f(x)0,f(x)0,f(x)0,11.设f(x)在x=0的某个邻域内连续，且f(0)=0，limx0f(x)2sin22=1，则在点x=0处f(x)（ ）.（A）不可导 （B）可导，且f(0)0 （C）取得极大值 （D）取得极小值12.设函数f(x),g(x)
10、是大于零的可导函数，且f(x)g(x)-f(x)g(x)0，则当axf(b)g(x) （B）f(x)g(a)f(a)g(x) （C）f(x)g(x)f(b)g(b) （D）f(x)g(x)f(a)g(a) 13.设f(x)是连续函数,且F(x)=（A）-e-xf(e-x)-f(x)（C）e-xf(e-x)-f(x) e-x xf(t)dt,则F(x)=( ). （B）-e-xf(e-x)+f(x) （D）e-xf(e-x)+f(x)14.设f(x)在1,2上具有连续导数，且f(1)=1,f(2)=1,则xf(x)dx=（ ）. 1f(x)dx=-1， 1 2 2（A）2 （B）1 （C）-1
11、（D）-215.设f(x)在a,b上二阶可导，且f(x)0,f(x)0,f(x)0.记 S1=f(x)dx S2=f(b)(b-a)， S3= a bf(a)+f(b)(b-a)，则有（ ）. 2（A）S1S2S3 （B）S2S3S1 （C）S3S1S2 （D）S1S3S216.设幂级数an=1n(x-1)n在x=-1处收敛. 则此级数在x=2处( ).（A）绝对收敛 （B）条件收敛（C）发散 （D）收敛性不能确定17.下列命题中,正确的是（ ）.（A）若级数u与vnn=1n=1n的一般项有unvn(n=1,2 ),则有uvnn=1n=1n un+1（B）若正项级数un满足1(n=1,2, )
12、,则un发散 un=1n=1n（C）若正项级数un收敛，则limn=1un+11 nunanan+1=R. （D）若幂级数anxn的收敛半径为R(0R+)，则limn=1nnnn18.设级数(-1)a2n=1收敛，则级数an=1n（ ）.（D）敛散性不确定 （A）绝对收敛 （B）条件收敛 （C）发散19. 微分方程(x+y)(dx-dy)=dx+dy的通解是（ ）（A）x+y+ln(x+y)=c; （B）x-y+ln(x+y)=c;（C）x+y-ln(x+y)=c; （D）x-y-ln(x+y)=c.20. 设y=f(x)满足微分方程y-5y+5y=0，若f(x0)s (C) r=s+1 (D
13、) r-1 （B）k1 （C）k2 （D）k3211 31. 已知=(1,k,1)T是矩阵A= 121的特征向量,则k=( )112(A) 1或2 (B) -1或-2 (C) 1或-2 (D) -1或232. 在随机事件A，B，C中，A和B两事件至少有一个发生而C事件不发生的随机事件可表示为（ ）（A）AC BC （B）ABC （C）ABC ABC ABC （D）A B C33. 袋中有5个黑球，3个白球，大小相同，一次随机地摸出4个球，其中恰有3个白球的概率为（ ）3531431（A） （B） （C）C8 （D） 48C8888834. 设A、B互为对立事件，且P(A)0,P(B)0,则下列
14、各式中错误的是（ ）（A）PB|A=0 （B）P(A|B)=0 （C）P(AB)=0 （D）P(A B)=135. 离散型随机变量X的分布列为P X = k =ak, k = 1,2,3,4.则a=( )（A）0.05 （B）0.1 （C）0.2 （D）0.2536. 设随机变量X的分布函数为F(x)=a+53()1arctanx(-x,a为常数)则P-X（ ） 3 （A）1112 （B） （C） （D） 632337. 设随机变量X服从N(,4),则PX2+，的值（ ）（A）随增大而减小； （B）随增大而增大；（C）随增大而不变； （D）随减少而增大.38 .设随机变量XN(,2)，则Y=a
15、X+b服从( )（A）N(,2) （B）N(0,1) （C）N 2,() （D）N(a+b,a22) ab39. 对目标进行3次独立射击，每次射击的命中率相同，如果击中次数的方差为0.72，则每次射击的命中率等于（ ）（A）0.1 ( B ) 0.2 ( C ) 0.3 ( D ) 0.440. 设随机变量X的概率密度为f(x)=0三、解答题 |x|0，则E(X)=( ). （A）-1 （B）0 （C）1 （D）以上结论均不正确a+x2x0试确立a,b并求f(x)2z2.设z=f(2x-y,ysinx), 其中f(u,v)具有二阶连续偏导数, 求. xyxy,x2+y20讨论f(x,y)在（0
16、，0） 23设f(x,y)=x+y2220,x+y=0（1）偏导数是否存在。（2）.是否可微。4.在过点P(1,3,6)的所有平面中, 求一平面, 使之与三个坐标平面所围四面体的体积最小. 5.20xcos2xdx26|x+y2-4|d，其中D为圆域x2+y29。227设f(x,y)在x+y1上连续，求证：limR01R2x2+y2R2f(x,y)d=f(0,0)。|x+2y2R证明 D=(x,y)2 (-1)n-18.求幂级数(x-4)n收敛区间及和函数S(x)： nn=11+y29求解 y=,y(1)=0; 3xy+xy10求解xy+xtany-y=0,y(1)=. x211求解4y+4y
17、+y=0满足y(0)=2,y(0)=0.12求解y-3y+2y=2ex满足y(0)=1,y(0)=-1;13设二阶常系数线性微分方程y+y+y=ex的一个特解为y=e2x+(1+x)ex，试确定,，并求该方程的通解.cos-sin14计算下列行列式sincos，213-11215计算下列行列式501a3a16证明： 1bb3142361122 c=(a+b+c)(b-a)(c-a)(c-b)c3101 17设AX+E=A2+X，且A= 020，求X.101a1b16718已知矩阵0b2=63，求常数a，b a019 将向量表示成1,2,3的线性组合：（1）1=(1,1,-1),2=(1,2,1
18、),3=(0,0,1),=(1,0,-2)20问，取何值时，齐次方程组x1+x2+x3=0x1+x2+x3=0x+2x+x=023 1有非零解？21设线性方程组2x1-x2+x3=1 -x1-2x2+x3=-1 x-3x+2x=c231试问c为何值时，方程组有解？若方程组有解时，求一般解。22.求一个正交变换化下列二次型为标准型：（1）f=2x1+3x2+3x3+4x2x323某工人看管甲、乙、丙3台机器，在1小时内，这3台机器不需照管的概率分别为0.8，0.9，0.6，设这三台机器是否需照管是相互独立的，求在1小时内(1)有机床需要工人照管的概率；(2) 机床因无人照管而停工的概率.24设随
19、机变量X的分布密度为f(x)=222A1+x2(-x01,0x1 fY(y)= fX(x)=0,其它0,y0求随机变量ZXY的概率密度函数.27一工厂生产的某种设备的寿命X（以年计）服从指数分布，密度函数为x1-14ef(x)=400xx0为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换，若售出一台设备，工厂获利100元，而调换一台则损失200元.求工厂出售一台设备赢利的数学期望.28.设随机变量（X，Y）服从正态分布，且X和Y分别服从正态分布N(1,3) 21XY和N(0,42)，X与Y的相关系数XY=-,Z=+,求Z的数学期望E(Z)和方差232D(Z)；参考答案一、填空题设f
20、(x)=ax+a-x12，则函数的图形关于解：f(x)的定义域为(-,+) ，且有f(-x)=a-x+a-(-x)a-x+axax+2=2=a-x2=f(x)即f(x)是偶函数，故图形关于y轴对称。2若y=sinx-2x0x2+10x2，则y(2)= . 解：1+24 。x2sin13 极限lim 。 x0sinx=x2sin1解：limx0sinx=limx0(xsin1xxsinx)=limx0xsin1xlimxx0sinx=01=0 注意：limx0xsin1x=0（无穷小量乘以有界变量等于无穷小量）limx11x0sinx=limx0sinx=sinx=11=1，其中limsinxx
21、0x=1是第一个重要极限。xlimx0x4.已知limx2+ax+bx2x2-x-2=2，则a=_, b=_。由所给极限存在知, 4+2a+b=0, 得b=-2a-4, 又lx2+xi2xax+b2-x-2=lxix2+a+2x+1=a+43=2, 知a=2,b=-8 由5.已知x0时，(1+ax)-1与cosx-1是等价无穷小，则常数a 123(1+ax解. limx022-1=limx0cosx-1zy1232ax2212323-x(1+ax+(1+ax)223=-a=1,a=-. 32+16.设x+z=y()，其中可微，则zy-z1zy解 2z=+y yy2zzy =y2z-z y-7.
22、设u=exyz2，其中z=z(x,y)由x+y+z+xyz=0确定的隐函数，则ux(0,1)=解 uz=exyz2+2zexy xxz-1-yzzz= +yz+xy=0，x1+xyxx1+0+u-1-yz=exyz2+2zexy x1+xyx=0,y=1时，z=-1zx=1(0,1)12z8.设z=f(xy)+y(x+y),f,具有二阶连续导数，则= 。 xxy解: z-1y=2f(xy)+f(xy)+y(x+y)xxx2z-11 =f(xy)+f(xy)+yf(xy)+(x+y)+y(x+y) xyxx=yf(xy)+(x+y)+(x+y)9.函数f(x,y)=xy-xy-xy的可能极值点为
23、和 22fx=y-y-2xy=y(1-2x-y)=0 解 2f=x-2xy-x=x(1-x-2y)=0y2x=0y=0x=0y=1x=1y=01x=3 y=13fxx=-2y，fxy=1-2y-2x，fyy=-2x，H1-2y-2x-2y= 1-2y-2x -2x0(0,0) H= 10(1,0) H= -11-2-1(0,1) H=不是， 不是 0-10-1 不是 -2-2/3-1/31111(,) H= 负定，极大值 （，） 3333-1/3-2/310.设f(x,y)=x2siny+(x2-1)xy|则fy(1,0)=_.解：因为f(1,y)=siny，故fy(1,0)=cosyy=0=
24、1211.xsin2xdx= . 解：原式=1122xd(-cos2x)=-xcos2x+xcos2xdx 2211111=-x2cos2x+xd(sin2x)=-x2cos2x+xsin2x-sin2xdx 22222111=-x2cos2x+xsin2x+cos2x+C. 22412.在区间 . 0,上曲线y=cosx,y=sinx之间所围图形的面积为解：A= 0cosx-sinxdx=4(cosx-sinx)dx+(sinx-cosx)dx 0 4 4=(sinx+cosx)0+(-cosx-sinx)=2-1+1+2=22.41，则k=_。 02+11b-kx-kx答案：=edx=lim-ed(-kx) 0b+2k0
