1、浙江省中考数学复习测试专题提升一 代数式在几何中的应用专题提升(一)代数式在几何中的应用利用代数式解决图形分割问题例1如图S11，一个长方形被分割成四个正方形和一个长方形，为了知道的周长，只需测量哪个正方形的周长(C)(图S11)A B C D【解析】设的边长为a，的边长为b，则的边长为ab，的边长为2ab，于是的长和宽分别为3ab 和ba，则的周长为4(ab)是的周长例2如图S12，一个平行四边形被分割成两个等腰直角三角形(面积都是S1)、两个直角三角形(面积都是S2)和一个正方形(面积是S3)，那么这个平行四边形的面积等于(A)(图S12)A4S1 B4S2 C4S2 S3 D3S14S3
2、【解析】设等腰直角三角形的直角边长为a，正方形的边长为c，则S2(ac)(ac)a2c2，S2S1S3，S32S12S2，S平行四边形2S12S2S32S12S22S12S24S1.(1)图形分割问题往往难以用几何的方法来解决，而设一个或几个字母表示线段长，用代数式_计算_的方法有时反而会轻松解决1如图S13，一个大矩形被分割成四个正方形(用字母A，B，C，D表示)和一个小矩形，四边形MNPQ由其中的三个正方形的对角线和小矩形的对角线顺次连结而成，如果需求出四边形MNPQ的面积，只需知道其中一个正方形的边长，那么表示这个正方形的字母是(B)(图S13)AA BB CC DD【解析】设正方形D的
3、边长为a，正方形A的边长为x，则S四边形MQPNx2(xa)2(x2a)2(xa)(x3a)a22x24ax2a22(xa)2，恰好是正方形B面积的2倍2如图S14，在长方形ABCD内，将两张边长分别为a和b(ab)的正方形纸片按图S14(1)，图S14(2)两种方式放置(图S14(1)，图S14(2)中两张正方形纸片均有部分重叠)，长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图S14(1)中阴影部分的面积为S1，图S14(2)中阴影部分的面积为S2.当ADAB2时，S2S1的值为(B)(图S14)A2a B2b C2a2b D2b【解析】设ADx，ABy，则xy2.S1(ya)a(y
4、b)(xa)，S2y(xa)(ab)(ya)，S2S1y(xa)(ab)(ya)(ya)a(yb)(xa)(xa)(yyb)(ya)(aba)bxabbyabb(xy)2b.利用代数式解决角的计算和证明问题例3如图S15，在ABC中，点D，E在边BC上，ABBE，ACDC.(图S15)(1)当BAC90时，求DAE的度数；(2)小明猜想：不论BAC是几度，总有DAEBAC.你认为小明的猜想对吗？为什么？解：(1)45；(2)设Bx，Cy，则BAC180xy.由ABBE，得BAE.同理，DAC，于是DAE(180xy).所以小明的猜想不正确例4将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼成如图S1
5、6(1)的形状，使点A，F，C，D在同一条直线上，ACBDFE90，BCEF，ACDF，连结AE，BD.取AD的中点O，再将纸片DEF绕点O顺时针方向旋转(090)，连结OB，OE，AE，BD，如图S16(2)当EF平分AEO时，探究BOD与AOE的数量关系，并说明理由(图S16)解：设OEFx，易证OAOBODOE，OCOF，BOCEOF，EOFBOC90x.AOEO，AEO2x，AOE1804x，AOF1804x(90x)903x，BOD90x(903x)2x，2BODAOE180.(2)角的计算和证明问题用纯几何方法难以处理时，可以设一个或几个_字母_表示角，用_代数计算_的方法往往是捷
6、径3如图S17，ABC和CDE都是正三角形，求证：ADBDBE60.(图S17)证明：因为ADCBEC，所以可设DACEBCx，DBCy，则ADB180BADABD180(60x)(60y)60xy60DBE，即ADBDBE60.4如图S18，在ABC中，点D在边AC上，点E在边AB上，ABAC，BDBC，ADDEBE.求A的度数(图S18)解：设EDBEBDx，则ADEA2x，CBDCABC3x，于是8x180，则A的度数为45.利用代数式解决线段的计算和证明问题例5如图S19，在四边形ABCD中，DABABC 90，CD与以AB为直径的半圆相切于点E，EFAB于点F，EF交BD于点G.试判
7、断EG与FG是否相等，并说明理由(图S19)解：设ADa，BC b，那么利用切线长定理得ADDEa，BCCEb.由DEGDCB，得，则EG.同理可得FG，所以EGFG.(3)利用代数式解决几何问题的一般步骤如下：设_字母_；寻找等量关系；用_字母_表示有关的量；对得到的代数式进行_计算或变形_5. 如图S110，在ABC中，ACB90，作正方形ACDE和正方形BCGH，BE交AC于点I，AH交BC于点J，求证：CICJ.(图S110)证明：设BCa，CD b，利用相似三角形分别计算CI，CJ的长，证法同例5.给一些特殊图形(如矩形、等边三角形、等腰直角三角形)建立一个平面直角坐标系，再结合代数
8、式解决问题的方法叫做建系法，建系法对解决含这些特殊图形的问题往往会有意想不到的效果知识储备：已知平面直角坐标系上两点A(x1，x2)，B(y1，y2)，则线段AB的中点表示为，线段AB的长度表示为.例6如图S111，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边AB上，BE4，过点E作EFBC，分别交BD，CD于点G，F，若M，N分别是DG，CE的中点，则MN的长是_ (图S111) (图DS11)【解析】如图DS11，以点B为坐标原点建立如图的平面直角坐标系，则G(4，4)，D(6，6)，C(6，0)，E(0，4)因为M，N分别是DG，EC的中点，所以M(5，5)，N(3，2)，则MN.例7定义
9、：如图S112(1)，点A，B在线段MN上，若以线段MA，AB，BN为边恰好能组成一个直角三角形，则称点A，B为线段MN的勾股分割点如图S112(2)，在ABC中，在ACB90，ACBC，AB2，延长BA到点M，延长AB到点N，使点A，B恰好是线段MN的勾股分割点(ABMA，ABBN)，过点M，N分别作AC，BC的平行线交于点P.猜想PC的长度是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由(图S112)解：如图DS12，以AB的中点为坐标原点建立如图的平面直角坐标系，则A(1，0)，B(1，0)，C(0，1)设MAa，BNb，则M(a1，0)，N(b1，0)，P，于是PC.(图DS12)因
10、为a2b2224，所以PC，即PC的长是定值.(4)上述两例如果用纯几何的方法计算，会添加较多的辅助线，并且计算难度较大，利用_平面直角坐标系_，再结合设字母的代数思想，思考的难度和计算的难度都会相对降低6如图S113，正方形ABCD的边长为10，G，H在正方形ABCD内，AGCH8，BGDH6，连结GH，则线段GH的长为_2_(图S113)【解析】如图DS13，以点B为坐标原点建立如图的平面直角坐标系，先由等积法计算出G，H，(图DS13)则GH2.7如图S114，在矩形ABCD中，AB84，AD42，点M是AD的中点，点N在边AB上，BN2AN，线段CM与DN交于点O，点P在OC上，BP平
11、分四边形BCON的面积，连结DP，则CDP的面积为_546_ (图S114) 图DS14)【解析】如图DS14，以A点为坐标原点建立如图的平面直角坐标系，则D(0，42)，B(84，0)，C(84，42)，N(28，0)，直线DN的解析式为yx42，直线CM的解析式为yx21，得O(12，24)，连结OA易求S四边形ANOM462，S四边形BCON2184，则SBCP1092，设P(x，y)，则1092，解得x32，则y29，SCDP546.1如图ZS11，小明家的住房平面图呈长方形，被分割成2个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形若只知道原住房平面图长方形的周长，则分割后不用测量就能知道周长
12、的图形的标号为(A) (图ZS11) (图DT11)A B C D【解析】如图DT11，设和的边长分别为a，b，则长方形的周长为8b，的周长为4b，的周长为4b，的周长为4a.2勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书周髀算经中早有记载如图ZS121，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图ZS122的方式放置在最大正方形内若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出(C) (图ZS121) (图ZS122)A直角三角形的面积B最大正方形的面积C较小两个正方形重叠部分的面积D最大正方形与直角三角形的面积和【解析】设直角三角形的斜边长为c，较长直角边长为b，较短直角
13、边长为a，由勾股定理，得c2a2b2，阴影部分的面积c2b2a(cb)a2acaba(abc)，较小两个正方形重叠部分的长a(cb)，宽a，则较小两个正方形重叠部分的的面积a(abc)，知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积3如图ZS13，已知AE10，点D为AE上的一点，在AE同侧作正方形ABCD，正方形DEFH，G，M分别为对角线AC，HE的中点，连结GM.当点D沿着线段AE由点A向点E移动时，四边形AGME的面积变化情况为(B)(图ZS13)A不变 B先减小后增大C先增大后减小 D一直减小【解析】如图DT12，过点G作GKAD于点K，过点M作MNDE于点N.设A
14、Dx，DE10x，(图DT12)则AKGKDKx，MNDNNE，容易求得四边形AGME的面积为x2x25(x5)2(0xb)，则_ (图ZS18) (图DT14)【解析】如图DT14，设图中左上角的正方形边长为m，则每个正方形的边长如图中正方形内的代数式，.9如图ZS19，在ABC中，ACBC，C90，点D，E，F分别在边BC，AC，AB上，四边形DCEF为矩形，P，Q分别为DE，AB的中点，若BD1，DC2，则PQ_(图ZS19)【解析】如图DT15，以B为坐标原点建立如图的平面直角坐标系，由中点坐标的意义可得P，Q，则PQ.(图DT15)10如图ZS110，已知三角形ABC的面积为1cm2
15、，且BCCD，AD3DE，AC与BE交于点F.那么四边形CDEF的面积为_ (图ZS110) (图DT16)【解析】如图DT16，SCDFx，SDEFy，易得SBCFx，SAEF2y.由SABCSACD可得SABF3y，于是x3y1.由SABE2SBDE得5y2(2xy)，解得x，y，则四边形CDEF的面积为.11如图ZS111，已知在正方形ABCD中，E，F分别是CD，AD的中点，BE，CF交于点P.求证：APAB.(图ZS111)解：以B为坐标原点，直线BC为x轴，直线BA为y轴建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，易得直线BE的解析式为yx，直线CF的解析式为y2x4，解得交点P以下略
16、12如图ZS112，AB是O的直径，点P是AB延长线上的一点，过点P作O的切线，切点为C，连结AC，BC.(图ZS112)(1)求证：BACBCP；(2)若点P在AB的延长线上运动，CPA的平分线交AC于点D，你认为CDP的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若没有变化，求出CDP的度数解：(1)略 (2)设BPC2x，ABCPy，则CDPxy，而ABC2xy，易得y(2xy)90，则CDPxy45.13如图ZS113，已知AB是O的直径，BC是O的切线，OC平行于弦AD，过点D作DEAB于点E，连结AC，与DE交于点P.问：EP与PD是否相等？证明你的结论(图ZS113)解：先证AEPABC，得.AEDOBC，得.由得ED2EP，则EPPD.
