1、y（2.3）这里C是常数。I P - du d2ux rx将它们代入方程（7.1）得. - dll d ll r x dli 、rr r r c（ru + 2q + -）er + p（ - f ?;w）el + que1 =0 dx dx dx+（2“ + p）学+ （ +诃刃因为刃工0,且因门是特征方程的根，故有k+pG+q=0,又因.=_与故有2rx+p=0, 于是上式成为业=0显然满足dF 的函数很多，我们取其中最简单的一个则yxe是方程（3.1）的另一个特解，且门，兀是两个线性无关的函数，所以方程（3.1）的通解是y = +c：e e IX=cosxisinx有丄（eix+e_ix）=
2、coSX2-（yi4-y2） = -e（严+严）=eaxcos B x2 21 / 一 1 a x i iPx a* n（yiy e e e ） e sm p x2/ 2i由上节定理一知，（yi+yj , （yiy：）是方程（3. 1）的两个特解，也即euxcos x, e，xsin 3 x是方程（3.1）的两个特解：且它们线性无关，我们已知，方程（3.1）的通解为y=cie * xcos B x+cce 1 xsin B x1（皆一eXsinx2i或 y = eH（CCOS B x+C, sin B x）其中6, 3为任意常数，至此我们已找到了实数形式的通解，其中a, B分别是特征方程 （3
3、. 2）复数根的实部和虚部。综上所述，求二阶常系数线性齐次方程（3.1）的通解，只须先求出其特征方程（3. 2）的根，再 根据他的三种情况确定其通解，现列表如下特征方程r+pr + q=0的根笄+P字+ 0 = 0微分方程dx dx 的通解有二个不相等的实根口，r2y = + c2erzX有二重根rx=r：y= （ci+c：x） ehX有一对共辘复根r2 = a-i/3y=e x （cicos B x+asin B x）在解决二阶常系数线性微分方程的解的问题中，我们用到了一个转换，也就是令y = ,那我们为什么会想到它呢？为什么要用它不用其它的呢？首先观察微分方程共+畔+代0dx dx ,由4
4、个部分构成,d2y dydx，, p与dx相乘，q与y相乘，然后相加等于0,我们可以观察到他们的特点就是，dx , y都是与常数因子相乘，然后相加等于0,如果能找到一个函数y,其写，g, y之间只相差一个常数因子，综合我们以前所学过的 dx dx知识，一个函数的一阶，二阶倒数和该函数只相差一个常数，这样的函数有可能是方程（3. 1）的特解，在初等函数中，我们所学过的指数函数，就符合上述要求，于是我们令 从而进行下去，得到了结果。求二阶常系数线性非齐次方程dH +p 必 +qy = f（x）（3. 3）的通解，只要先求出其对应的齐次方程的通解，再求出其一个特解，而后相加就得到非齐 次方程的通解，
5、而且对应的齐次方程的通解的解法，前面已经解决，因此下面要解决的问题是求方程（3. 3）的一个特解。方程（3. 1）的特解形式,与方程右边的f（x）有关，这里只就f（x）的两种常见的形式进行讨论。一.f（x）=R（x）e,其中r（x）是n次多项式，我们先讨论当0=0时，即当f（x）=p （x）时方程和）（3. 4）的一个特解。（1）如果qHO,我们总可以求得一 n次多项式满足此方程，事实上，可设特解 y =QP.（x）二-才+宀/一+几，其中a。，,_是待定常数，将歹及其导数代入方程（3. 4）, 得方程左右两边都是n次多项式，比较两边X的同次幕系数，就可确定常数a。，。存例1.求$Z + g
6、+ 2y = F3的一个特解。ax ax解自由项f（x）=F3是一个二次多项式，又q=2H0,则可设方程的特解为y = aox2 +aYx+a2求导数y, = 2aox+al代入方程有2aox24- （2a0 +2a1）x4- （2a0 + a i+2a 2） =x3比较同次幕系数=-1 1 7所以特解2尹丁肓（2）如果q=o,而pHO,由于多项式求导一次，其次数要降低一次，此时y =Qn（x）不能满 足方程，但它可以被一个（n+l）次多项式所满足，此时我们可设y =xQn （x） = a oxn+1 + a ixa+ + a nx代入方程（7. 4）,比较两边系数，就可确定常数d。，di,=
7、 3x2 + 2的一个特解。解自由项f（X）=3x： + 2是一个二次多项式，又q=o, P=4HO,故设特解 3y = aox +akx+a2xyr = 3aox2 + 2aLx + a2=6aoX + 2q代入方程得12dox+ （8d】 + 6do） x4- （ 2 =3x+2,比较两边同次幕的系数1_4血=3i 昭 + 60 = 0Qq、+ 4a2 = 23解得19321 3 1Q所求方程的特解r宀訂+护 如果p=0, q=o,贝IJ方程变为兀= S（x）,此时特解是一个（n+2）次多项式，可设y =x2q（x）,代入方程求得，也可直接通过两次积分求得。下面讨论当OH0时，即当f （x
8、）=6（x）e时方程（3. 5） dy歹2 + P忑+ 0=P”a）e的一个特解的求法，方程（3. 4）与方程（3. 5）相比，只是其自由项中多了一个指数函数因子 e，x,如果能通过变量代换将因子e去掉，使得（3. 5）化成（3. 4）式的形式，问题即可解决, 为此设y=ue,其中u=u（x）是待定函数，对y=ue：求导得dy石=du石+ aue（LX求二阶导数瞬=严瞬+ 2aeax-+a2uel dx dx dx代入方程（3. 5）得eax_JL +2a 芈 + a2u + peax + an + que（LX = p n （x） exdx dx dx-7-v + （2a+ p） + （a2
9、 + pa + q）u = pn（x） （3. 6）dx dx由于（3. 6）式与（3. 4）形式一致，于是按（3. 4）的结论有：如果a2 + pa + qQ,即a不是特征方程F+pr+q=0的根，则可设（3. 6）的特解u= Q3从而可设（3. 5）的特解为y=Qa（X）e 如果，+ M + q = ，而2a + pH0,艮卩a是特征方程F+pr + q = 0的单根，则可设（3. 6）的特解u=g（x）,从而可设（3. 5）的特解为y =xQo（x）严 如果r2 + pa + cj = 0,且2a + p = 0,此时a是特征方程r+pr+q=0的重根，则可设（3. 6）的特解u=xQn
10、（x）,从而可设（3. 5）的特解为y =xu（x）严例3.求卞列方程具有什么样形式的特解（2）螟+ 5 字+6y = 3严 dx dx（3）+ a-+y = （3x2 + a）ex解因d =3不是特征方程r=+5r+6=0的根，故方程具有形如y = aQeix的特解。因a = 一2是特征方程f+5r+6=0的单根，故方程具有形如y = X（aox+aL）e2x 的特解。因a = 一 1是特征方程r：+2r + l= 0的二重根，所以方程具有形如y = x2（aQx2 + aLx+a2）ex 的特解。结论在一阶二阶微分方程中，有一个函数因子y = 都是通过它的转换，巧妙的解决了该类微分方程的求解，其实对于n阶微分方程，首先观察微分方程 dx dnlx 儿、 -dnx . dnlx _ _ z x . 斗工丽 + * = 丽，Q（l）与 dfi 相乘 ,a（f）与 x 相乘，dnx d”h然后相加等于0,我们可以观察到他们的特点就是力”，d/T , x都是与常数因子相dnx dn-lx乘，然后相加等于0,如果能找到一个函数y,其力，d严,./之间也只相差一 个常数因子，综合我们以前所学过的知识，一个函数的一阶，二阶倒数和该函数只相差一个常数，在初等函数中，我们所学过的指数函数，就符合上述要求，于是我们令y =从而进行下去，也能得出结果。
