1、大学生校园网VvSchool.CN线性代数综合测试题共 3 页第 1页大学线性代数期末考试题大学线性代数期末考试题一、一、填空题填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题（将正确答案填在题中横线上。每小题 2 2 分，共分，共 1010 分）分）1.若022150131x，则_。2若齐次线性方程组000321321321xxxxxxxxx只有零解，则应满足。3已知矩阵nsijcCBA)(，满足CBAC，则A与B分别是阶矩阵。4矩阵323122211211aaaaaaA的行向量组线性。5n阶方阵A满足032EAA，则1A。二、判断正误二、判断正误（正确的在括号内填（正确的在括号内填“”，错误的在括
2、号内填，错误的在括号内填“”。每小题。每小题 2 2 分，共分，共 1010 分）分）1.若行列式D中每个元素都大于零，则0D。（）2.零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（）3.向量组maaa，21中，如果1a与ma对应的分量成比例，则向量组saaa，21线性相关。（）4.0100100000010010A，则AA1。（）5.若为可逆矩阵A的特征值，则1A的特征值为。()三、单项选择题三、单项选择题(每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题 2 2 分，共分，共 1010 分分)1.设A为n阶矩阵，且2A，则TA
3、A（）。n212n12n 42.n维向量组s，21（3 s n）线性无关的充要条件是（）。s，21中任意两个向量都线性无关s，21中存在一个向量不能用其余向量线性表示s，21中任一个向量都不能用其余向量线性表示大学生校园网VvSchool.CN线性代数综合测试题共 3 页第 2页s，21中不含零向量3.下列命题中正确的是()。任意n个1n维向量线性相关任意n个1n维向量线性无关任意1n个n维向量线性相关任意1n个n维向量线性无关4.设A，B均为 n 阶方阵，下面结论正确的是()。若A，B均可逆，则BA可逆 若A，B均可逆，则A B可逆 若BA可逆，则BA可逆 若BA可逆，则A，B均可逆5.若4
4、321，是线性方程组0A的基础解系，则4321是0A的（）解向量 基础解系 通解 A 的行向量四、计算题四、计算题(每小题 9 分，共 63 分)1.计算行列式xabcdaxbcdabxcdabcxd。解3)(0000000001)(1111)(xdcbaxxxxdcbdcbaxdxcbdcxbdcbxdcbdcbaxdxcbdcbaxdcxbdcbaxdcbxdcbaxdcbdcbaxdxcbadcxbadcbxadcbax2.设BAAB2，且A,410011103求B。解解.ABEA)2(111122112)2(1EA，322234225)2(1AEAB大学生校园网VvSchool.CN线
5、性代数综合测试题共 3 页第 3页3.设,1000110001100011B2000120031204312C且矩阵满足关系式(),X CBE求。4.问a取何值时，下列向量组线性相关？123112211,221122aaa 。5.为何值时，线性方程组223321321321xxxxxxxxx有唯一解，无解和有无穷多解？当方程组有无穷多解时求其通解。当当1且且2时，方程组有唯一解；时，方程组有唯一解；当当2时方程组无解时方程组无解当当1时，有无穷多组解，通解为时，有无穷多组解，通解为10101100221cc6.设.77103 ,1301 ,3192 ,01414321求此向量组的秩和一个极大无
6、关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。7.设100010021A，求A的特征值及对应的特征向量。五、证明题五、证明题(7(7 分分)若A是n阶方阵，且，IAA，1A证明0 IA。其中I为单位矩阵。大学生校园网VvSchool.CN线性代数综合测试题共 3 页第 4页大学线性代数期末考试题答案大学线性代数期末考试题答案一、填空题一、填空题1.52.13.nnss，4.相关5.EA3二、判断正误二、判断正误1.2.3.4.5.三、单项选择题三、单项选择题1.2.3.4.5.四、计算题四、计算题1.大学生校园网VvSchool.CN线性代数综合测试题共 3 页第 5页3)(0000000001)
7、(1111)(xdcbaxxxxdcbdcbaxdxcbdcxbdcbxdcbdcbaxdxcbdcbaxdcxbdcbaxdcbxdcbaxdcbdcbaxdxcbadcxbadcbxadcbax2.ABEA)2(111122112)2(1EA，322234225)2(1AEAB3.121001210012000112100121001200011234012300120001)(100021003210432111BCEXBCBCBC，4.)22()12(812121212121212321aaaaaaaa，当21a或1a时，向量组321aaa，线性相关。5.当1且2时，方程组有唯一解；当
8、2时方程组无解大学生校园网VvSchool.CN线性代数综合测试题共 3 页第 6页当1时，有无穷多组解，通解为10101100221cc6.6.0000110020102001131300161600241031217130104302410312171307311100943121)(4321aaaa，则34321aaaar，其中321aaa，构成极大无关组，321422aaaa7.0)1(1200100013AE特征值1321，对于11，0200000001AE，特征向量为100001lk五、证明题五、证明题AIAIAIAAAAIA02 AI，0 AI一一、选择题选择题（本题共本题共 4
9、 4 小题小题，每小题每小题 4 4 分分，满分满分 1616 分分。每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中，只有一只有一项符合题目要求）项符合题目要求）1 1、设、设A，B为为 n n 阶方阵，满足等式阶方阵，满足等式0AB，则必有（，则必有（）(A)(A)0A或或0B;(B)(B)0 BA；（C C）0A或或0B;(D)(D)0 BA。大学生校园网VvSchool.CN线性代数综合测试题共 3 页第 7页2 2、A和和B均为均为n阶矩阵，且阶矩阵，且222()2ABAABB，则必有（，则必有（）(A)(A)AE；(B)(B)BE；（C C）AB.(D)(D)ABBA。3 3、设、设A
10、为为nm矩阵，齐次方程组矩阵，齐次方程组0Ax仅有零解的充要条件是（仅有零解的充要条件是（）(A)(A)A的列向量线性无关；的列向量线性无关；(B)(B)A的列向量线性相关；的列向量线性相关；（C C）A的行向量线性无关；的行向量线性无关；(D)(D)A的行向量线性相关的行向量线性相关.4 4、n阶矩阵阶矩阵A为奇异矩阵的充要条件是（为奇异矩阵的充要条件是（）(A)(A)A的秩小于的秩小于n；(B)(B)0A；(C C)A的特征值都等于零；的特征值都等于零；(D D)A的特征值都不等于零；的特征值都不等于零；二、填空题（本题共二、填空题（本题共 4 4 小题，每题小题，每题 4 4 分，满分分
11、，满分 1616 分）分）5 5、若、若 4 4 阶矩阵阶矩阵A的行列式的行列式5A ，A是是 A A 的伴随矩阵，则的伴随矩阵，则A=。6 6、A为为nn阶矩阵，且阶矩阵，且220AAE，则，则1(2)AE。7 7、已知方程组、已知方程组43121232121321xxxaa无解，则无解，则a。8 8、二 次 型、二 次 型2221231231213(,)2322f x x xxxtxx xx x是 正 定 的，则是 正 定 的，则t的 取 值 范 围的 取 值 范 围是是。三、计算题（三、计算题（本题共本题共 2 2 小题，每题小题，每题 8 8 分，分，满分满分 1616 分）分）9 9
12、、计算行列式、计算行列式1111111111111111xxDyy1010、计算、计算n阶行列式阶行列式121212333nnnnxxxxxxDxxx四、证明题（本题共四、证明题（本题共 2 2 小题，每小题小题，每小题 8 8 分，满分分，满分 1616 分。写出证明过程）分。写出证明过程）1111、若向量组、若向量组123,线性相关，向量组线性相关，向量组234,线性无关。证明：线性无关。证明：(1)(1)1能有能有23,线性表出；线性表出；大学生校园网VvSchool.CN线性代数综合测试题共 3 页第 8页(2)(2)4不能由不能由123,线性表出。线性表出。1212、设、设A是是n阶
13、矩方阵，阶矩方阵，E是是n阶单位矩阵，阶单位矩阵，EA可逆，且可逆，且1()()()f AEA EA。证明证明（1 1）()()2Ef AEAE；（2 2）()f f AA。五五、解答题解答题（本题共本题共 3 3 小题小题，每小题每小题 1212 分分，满分满分 3232 分分。解答应写出文字说明或演算步骤解答应写出文字说明或演算步骤）1313、设、设200032023A，求一个正交矩阵，求一个正交矩阵P使得使得1P AP为对角矩阵。为对角矩阵。1414、已知方程组、已知方程组040203221321321xaxxaxxxxxx与方程组与方程组12321axxx有公共解。有公共解。求求a的值
14、。的值。1515、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为 3 3，已知，已知1，2，3是它的三个解向量，是它的三个解向量，且且54321，432132求该方程组的通解。求该方程组的通解。解答和评分标准解答和评分标准一、选择题一、选择题1 1、C C；2 2、D D；3 3、A A；4 4、A A。二、填空题二、填空题5 5、-1-125;25;6 6、2；7 7、-1-1；8 8、53t。大学生校园网VvSchool.CN线性代数综合测试题共 3 页第 9页三、计算题三、计算题9 9、解：第一行减第二行，第三行减第四行得：、解：第一行减第二行，第三行减第
15、四行得：001111001111xxxDyyy第二列减第一列，第四列减第三列得：第二列减第一列，第四列减第三列得：000110000101xxDyy（4 4 分）分）按第一行展开得按第一行展开得100001xDxyy按第三列展开得按第三列展开得2201xDxyx yy。（4 4 分）分）1010、解解：把各列加到第一列把各列加到第一列，然后提取第一列的公因子然后提取第一列的公因子niix13，再通过行列式的变换化再通过行列式的变换化为上三角形行列式为上三角形行列式2212113313nnnniinxxxxDxxx（4 4 分）分）2110303003nniixxx1133nniix（4 4 分
16、）分）大学生校园网VvSchool.CN线性代数综合测试题共 3 页第 10页四、证明题四、证明题1111、证明：、证明：(1)(1)、因为因为332,，线性无关，所以线性无关，所以32，线性无关线性无关。，又又321，线性相关，故线性相关，故1能由能由32，线性表出。线性表出。(4(4 分分)123()3r，（2 2）、（反正法）若不，则（反正法）若不，则4能由能由321,，线性表出，线性表出，不妨设不妨设3322114kkk。由（由（1 1）知，）知，1能由能由32，线性表出，线性表出，不妨设不妨设32211tt。所以所以3322322114)(kkttk，这表明这表明432,，线性相关，矛盾。线性相关，矛盾。1212、证明证明（1 1）1()()()()()Ef AEAEEA EAEA1()()()()()()2EAEA EAEAEAEAE（4 4 分）分）（2 2）1()()()f f AEf AEf A由（由（1 1）得：）得：11()()2Ef AEA，代入上式得，代入上式得11111()()()()()()()()222f f AEEA EAEAEAEA EAEA11()
