1、a2n =a12 a22an 2 ；an2a1n a2n行列式对行满足的性质对列也同样满足。性质 2 互换行列式的两行（列） ，行列式的值变号 .abcd如: D=ad-bc ,=bc-ad= -D以 r i表第 i行， C j 表第 j 列。交换i,j 两行记为 r ir j ,交换 i,j 两列记作C iC j 。性质 3：如果一个行列式的两行（或两列）完全相同，那么这个行列式的值等于零。性质 4：把一个行列式的某一行 （或某一列）的所有元素同乘以某一个常数 k的结果等于用这个常数 k 乘这个行列式。（第 i 行乘以 k，记作 r i k ）推论 1：一个行列式的某一行（或某一列）的所有元
2、素的公因式可以提到行列式符号的前面。推论 2：如果一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素都为零，那么行列式值等于零。推论 3：如果一个行列式的某二行（或某二列）的对应元素成比例，那么行列式值等于零。kai1kai 2kainkai1ai 2ain性质 5：如果行列式行 列 式 DD 的某一行（或某一列）的所有元素都可以表成两项的和，那么等 于 两 个 行 列 式 D1 和 D2 的 和 。a1 jb1a 2 jb2a2 na21 a22+bnan1 an 2性质 6：把行列式的某一行 （或某一列）的元素乘同一个数后， 加到另一行（或另一列）的对应元素上，行列式值不变。推论 如果行列式的某一行
3、 （列）的每个元素都是 m 个数之和 （m2），则此行列式等于 m 个行列式之和。定义：行列式aij如果满足：ji（i, j1, n）；则称此行列式为对称行列式。一个n 阶行列式，如果它的元素满足：ai ja j ii , j1,2n ；试证：当为奇数时，此行列式为零。每一行（或列）提出一个（ -1），再转置得 D=（ -1）nD性质 7 行列式的某一行（列）的各元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式的乘积之和等于零。按行： ai 1 Aj1ai 2 Aj 2ain Ajnij按列： a1i A1 ja2i A2 jani Anj将性质 7 与 Laplace 定理合并为下列结论：Dai k
4、Ajk（1）和akiAkj（ 2）行列式的计算1利用行列式定义直接计算例 1 计算行列式Dnn 1解Dn 中不为零的项用一般形式表示为a1n 1 a2 n 2an 11annn! .该项列标排列的逆序数 t（n1 n21n）等于 （ n 1）（n2） ，故（n1）（n 2）Dn （1）.2利用行列式的性质计算例 2 一个 n 阶行列式 D naij 的元素满足a ji, i, j1,2, n,则称 Dn 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零 .证明：由 aij aji 知 aii aii ，即aii 0,i 1,2, , n故行列式 Dn 可表示为a13a23a3n由行列式的性质 A
5、ADna13a3 n（1）n1）n Dn当 n 为奇数时，得 Dn = Dn，因而得 Dn = 0.3化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形， 其结果为行列式主对角线上元素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。例 3 计算 n 阶行列式D bb b b a解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第 2，3， n 列都加到第 1 列上，行列式不变，得（ n1）bD a a1）ba b a （n 1）b 00 0 0 a b a （n 1）b（ a b）n 14降阶法降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯
6、定理， 这样可以降低多阶， 为了使运算更加简便， 往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。例 4 计算 n 阶行列式解 将 Dn 按第 1 行展开Dn a 00 （ 1）n 1an（ 1）n 1（ 1）n an 2an 2 .5逆推公式法逆推公式法：对 n 阶行列式 Dn 找出 Dn与 Dn 1或 Dn 与 Dn 1n 2 之间的一, D种关系称为逆推公式（其中n 1n 2 等结构相同），再由递推公式求出Dn 的方法称为递推公式法。例5 证明xD nan 1a2a1xna xn 1a xn 2x a ,（ n 2）将 Dn 按第 1 列展开得an 3（ 1）n 1 a
7、nan xDn 1由此得递推公式： Dn an xDn 1 ，利用此递推公式可得Dn an xDn 1 an x（an 1 xDn 2 ）an an 1x x2Dn 2an an 1 x a1 xn 1 xn6利用范德蒙行列式例 6计算行列式x1x2x12x22xn2x1n 1x1n 2x2n 1x2n 2xnn 1xnn 2解把第 1 行的 1 倍加到第 2 行，把新的第 2 行的 1 倍加到第 3 行，以此类推直到把新的第 n1 行的 1 倍加到第 n 行，便得范德蒙行列式（xi x j ）n i j7加边法（升阶法）加边法（又称升阶法） 是在原行列式中增加一行一列， 且保持原行列式不变的
8、方法。例 7计算 n 阶行列式x a2x an第i行减第 1行2, , n 1（箭形行列式）1 0 0 xnajj 1xn 18数学归纳法例 8 计算 n 阶行列式用数学归纳法 . 当 n = 2 时D2x（ x a1 ） a2a1 x假设 n = k 时，有Dk xk a1 xk 1 a2 xk 2 ak 1x ak则当 n = k+1 时，把 Dk+1 按第一列展开，得Dk 1 xDkak 1x（xka1 xk 1ak 1 xak ） ak 1xk 1a1xkak 1 x2ak x ak 1由此，对任意的正整数 n，有Dn xn a1 xn 1 an 2 x2 an 1x an9拆开法把某
9、一行（或列）的元素写成两数和的形式， 再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以利计算。a 2例 9a220 a2 Dn1Dn 1a1 21Dnai1 2i 1上面介绍了计算 n 阶行列式的常见方法， 计算行列式时， 我们应当针对具体问题，把握行列式的特点，灵活选用方法。学习中多练习，多总结，才能更好地掌握行列式的计算。axby ay bz az bxx y z（1） aybz azbx axby（a3 b3） y z x ;azby aybzz x y证明bxayy aya yb z azz axx axx ayzyz aza2 y azb2 za3 yb3 zb3 y（a3
10、 b3） y关于行列式的消项（其中 C 代表列R 代表行）a2 ab b2（2）2a a b 2b （a b）3;1 1 1ab b2 c2 c1 a2 ab a2 b22a2bb ac3c1（ 1）3 1ab（ba）（ba） a b a （a b）31 1 1 1a b c d（3） a2 b2 c2 d 2a4 b4 c4 d 4（a b）（a c）（a d）（b c）（b d）（c d）（a b c d）; 证明c2d 2a4b4c4d 4（ c2 ,c3 ,c4 减数字去第一b（ba）c（cd（d0 b2（b2 a2） c2（c2 a2） d2（d 2 a2）列的）a）（ca）（db2
11、（bc2（ca） d 2（da） 0b a）b）（c bb）（db）c（c=（a b）（a c）（a d）（b c）（b d）（c d）（a b c d）（4）a xan an 1 an 2a2 x a1用数学归纳法证明当 n2 时 Dx2 a x命题成立假设对于 （n1）阶行列式命题成立即Dn 1 xn 1 a1 xn 2an 2x an 1则 Dn 按第一列展开有xDa （ 1）n 1 x0 0xD n 1 an xn a1xn 1an 1x an因此对于 n 阶行列式命题成立6 设 n 阶行列式 D det（aij ）,把 D 上下翻转、或逆时针旋转90 、或依副对角线翻转依次得D1 aD2 aD3 a111nn1n （n证明 D1D2（1）2DD3因为 Ddet（aij ）所以n 1 an1a21
