1、（x2）x6，余式为15。因为x2不能整除x24x3，所以x2不是x24x3的因式，且x24x3不是x2的倍式。利用多项式的除法，我们可以得到下面的结论：已知A、B皆为多项式，（1） 若B能整除A时，则称B是A的因式，A是B的倍式。（2） 若B不能整除A时，则B不是A的因式，A不是B的倍式。P113随堂练习回答下列问题：（1） x2是否为x24x2的因式？（2） x31是否为x1的倍式？解（x24x2）（x2）得商式为x2，余式为2，所以x2不是x24x2的因式。（x31）（x1）得商式为x2x1，余式为0，所以x31是x1的倍式。在正整数的除法中，21 37也可以用213 7表示，我们称3与
2、7皆是21的因子，而21是3与7的倍数。同样的，（x24x3）（x3）（x1）可以写成x24x3（x3）（x1），我们称（x3）与（x1）皆是x24x3的因式，而x24x3是（x3）与（x1）的倍式。因式与倍式A、B、C皆为非零多项式，若AB C，则称B与C是A的因式，A是B与C的倍式。已知2x25x3（x3）（2x1），则下列叙述哪些是正确的？（复选）（A） 2x25x3是x3的倍式 （B） 2x1是2x25x3的因式（C） 2x1是x3的倍式 （D） 2x1是x3的因式（A）、（B）P1142 因式分解对应能力指标8-a-06由前面的例子中可以知道：x24x3（x3）（x1）像这样，将一个
3、二次多项式写成两个一次式的乘积，称为二次式的因式分解。x24x3（x3）（x1）例题1利用除法判别因式判别x1是否为x25x6的因式。如果x1是x25x6的因式，将x25x6因式分解。计算（x25x6）（x1）是否能整除。因为整除，所以x1是x25x6的因式，且x25x6（x1）（x6）即x25x6可因式分解为（x1）（x6）。P1151. 判别x1是否为2x2x3的因式。如果x1是2x2x3的因式，将2x2x3因式分解。是，2x2x3（x1）（2x3）2. 承上题，利用多项式的除法，判别4（x1）是否为2x2x3的因式。4（x1）4x4所以4（x1）是2x2x3的因式。由随堂练习可知，若ax
4、b是某多项式的因式，且k是不为0的常数，则k（axb）也是此多项式的因式。随堂练习搭配习作P38基础题1已知3x22x8（x2）（3x4），下列哪些是3x22x8的因式？ x22（x2）2（x2）（x2）2（x2）（x2）（3x4）（x2）（3x4）我们可以用多项式的除法运算，判别多项式B是不是多项式A的因式。但如果只知道多项式A，要如何找出多项式A的因式呢？因为不可能一个一个挑选多项式去试除，所以接下来要介绍一些因式分解的方法。P1163 提公因式法对应能力指标8-a-07如A CB C的多项式（A、B、C皆为多项式），其中A C和B C两项有共同的因式C，称C为A C的公因式。如果将公因式
5、C提出来，写成A C（AB） CC （AB）就是将多项式A C因式分解。将多项式写成A （AB）的过程，其实是分配律的逆运算。 C C 多项式x23x含有x2、3x两项，而x2xx与3x3x两项都含有因式x，亦即x是x2与3x的公因式，根据分配律可得x23xxx3x（x3）xx（x3）这种因式分解的方法，称为提公因式法。写出下列各小题中两个多项式的公因式：（1） 5x与x2的公因式为x。（2） 3（x1）与x（x1）的公因式为x1。（3） （x1）（x2）与（x2）（x1）的公因式为x2。P117例题2提单项公因式配合习作P38基础题2 （1） （2）因式分解下列各式：（1） 5x2x（2）
6、3ab5b2（3） 4x25xy3x（1） 多项式5x2x中有5x2、x两项。5x2x5xx1x 两项都有公因式xx（5x1）（2） 多项式3ab5b2中有3ab、5b2两项。3ab5b23ab5bb 两项都有公因式bb（3a5b）（3） 多项式4x25xy3x中有4x2、5xy、3x三项。4x25xy3x4xx5yx3x 三项都有公因式xx（4x5y3）在提出公因式时，像多项式2x24x中的两项都含有公因式x，可以因式分解为x（2x4），但是2x和4仍可提出2，所以也可以将2提出，即也可以想成由2x2与4x两项直接提出公因式2x。2x24xx（2x4）2x（x2）（1） 3a26a（2） 5
7、aba3aa3a23a（a2）a5ba1a（5b1）P118例题3提单项公因式（1） 2x2x（x1）（2） x（2x1）x（x3）2x2x（x1）2xxx（x1）x2x（x1）x（3x1）x（2x1）x（x3）x（2x1）（x3）x（2x1x3）x（x2）（1） y22y（y1）（2） x（5x2）x（x1）yy2（y1）y（3y2）x（5x2）（x1）x（4x3）例题4提公因式配合习作P39、39基础题2 （3）、4、5 （1）（1） x（2x1）（2x1）（2） （x1）（3x2）（x1）（x1）x（2x1）（2x1）x（2x1）1（2x1）（2x1）（x1）（x1）（3x2）（x1）（
8、x1）（x1）（3x2）（x1）（x1）（3x2x1）（x1）（2x3）（1） x（x4）（x4）（2） （x3）（2x1）（2x1）（3x4）（x4）（x1）（2x1）（x3）（3x4）（2x1）（2x1）P119有些多项式乍看之下好像没有公因式，但经过适当的转化之后，就能找到各项之间的公因式。例题5变号提公因式配合习作P38基础题2（4）（1） 2x（x1）3（1x）（2） （2x1）（x2）（12x）（x2）2x（x1）3（x1） 1x（x1）（2x1）（x2）（2x1）（x2） 12x（2x1）（2x1）（x2）（x2）（2x1）（x2x2）2x（2x1）分解的过程中，若出现单项式，通
9、常会放到式子的前面。（1） （2x1）（x3）（3x）（3x1）（2x1）（x3）（x3）（3x1）（x3）（2x1）（3x1）（x3）（5x2）（2） （2x3）2（1x）（32x）（2x3）2（1x）（2x3）（2x3）（2x3）（1x）（2x3）（x4）P120x2axx（xa）bxabb（xa）有公因式xa4 分组提公因式法对应能力指标8-a-07多项式x2axbxab中，x2、ax、bx、ab四项无法提出公因式，但如果将原多项式分为x2ax与bxab两组，则这两组会有公因式xa，说明如下：x2axbxab（x2ax）（bxab）x（xa）b（xa）（xa）（xb）也可以采用不同的分组
10、方法，将原多项式分为x2bx与axab两组：（x2bx）（axab）x（xb）a（xb）有公因式xb（xb）（xa）虽然两种分组方法不同，但因式分解的结果仍然相同。动动脑在漫画中，这两组是否可以提出公因式，进行因式分解呢？不能从 动动脑 的结果发现，在进行分组提公因式时，各组之间必须可以提出公因式，才能进行分组分解。P121例题6分组提公因式因式分解x26xax6a。x26xax6a（x26x）（ax6a）x（x6）a（x6）两组都有公因式x6（x6）（xa）随堂练习配合习作P38、39基础题2（5）、5（2）（1） x33x22x6（2） 10x24x15xy6y（x33x2）（2x6）x2
11、（x3）2（x3）（x3）（x22）（10x24x）（15xy6y）2x（5x2）3y（5x2）（5x2）（2x3y）例题7重新分组提公因式配合习作P38基础题2 （6）因式分解（a2xx）（ax2a）。a2xxx（a21）ax2aa（x21）思路分析无法提出公因式，故考虑重新分组。（a2xx）（ax2a）（a2xax2）（xa）ax（ax）（xa）ax（xa）1（xa）（xa）（ax1）因式分解（3xy8）2（x6y）。（3xy8）2（x6y）3xy82x12y3xy2x12y8x（3y2）4（3y2）（3y2）（x4）P122例题8因式分解的几何意义如下图所示，有4个长方形，面积分别是xy
12、、2x、3y、6，在不重叠的情况下，这4个长方形可以紧密的排出一个大长方形。已知这个大长方形的长为（y2），求宽。步骤1：紫色长方形与粉红色长方形可组合成长为y2，宽为x的长方形xy2xx（y2）步骤2：黄色长方形与绿色长方形可组合成长为y2，宽为3的长方形3y63（y2）步骤3：四个长方形的面积总和为大长方形的面积，故得：xy2x3y6（xy2x）（3y6）x（y2）3（y2）（y2）（x3）所以宽为（x3）P123如下图，有A、B、C、D四块不同的长方形纸板，在不重叠的情况下，A、B、C、D可以紧密的排出一个大长方形，求大长方形的长与宽。大长方形的面积（22）（2）（2）（2）（2）（1）
13、所以长、宽分别为（2）、（1）。重点回顾 因式与倍式： x23x2（x2）（x1），称（x2）与（x1）为x23x2的因式，而x23x2是（x2）与（x1）的倍式。 提公因式法：形如A C的多项式，可提出公因式C， CC（AB）。 x（x1）7（x1）（x1）（x7） 分组提公因式法：多项式axaybxby可以先分为（axay）、（bxby）二组提公因式，所以axaybxby（ab）（xy）。 x33x2x3（x33x2）（x3）x2（x3）（x3） （x3）（x21）P1243-1自我评量1. x1与x1都是3x22x5的因式吗？ 课P114例1答：x1是3x22x5的因式，x1不是3x22
14、x5的因式。2. 已知多项式2x26x82（x1）（x4），则下列哪些是2x26x8的因式？（复选） 课P115随堂（A） x1（B） 2x4（C） 2（x4）（D） x23x4（E） 2x26x8（A）（C）（D）（E）3. 因式分解下列各式： 课P117例2 课P118例4 课P118例4 课P118例4（1） 4x27x（2） y（y3）4（y3）4xx7xx（4x7）（y3）（y4）（3） （2x3）（2x3）2（4） （x1）（x2）（x1）（3x5）（2x3）1（2x3）（2x3）（12x3）（2x3）（2x4）2（2x3）（x2）（x1）（x2）（3x5）（x1）（x23x5）（
15、x1）（2x3）P1254. 如图所示，有4个长方形，面积分别是xy、9、3x、3y，在不重叠的情况下，这4个长方形可以紧密的排出一个大长方形，求大长方形的长与宽。课P122例8大长方形的面积xy93x3y（xy3y）（3x9）y（x3）3（x3）（x3）（y3）长、宽分别是（x3）、（y3）5. 因式分解下列各式： 课P119例5 课P121例6 课P121例6 课P121例7（1） （3x5）24x（53x）（2） 2x35x22x5（3x5）24x（3x5）（3x5）（3x5）4x（3x5）（7x5）（2x35x2）（2x5）x2（2x5）（2x5）（2x5）（x21）（3） ax24x2ax8（4） （ax26）（3x2ax）（ax24x）（2ax8）x（ax4）2（ax4）（ax4）（x2）ax263x2ax（ax22ax）（3x6）ax（x2）3（x2）（x2）（ax3）
