1、分式分式的加减运算。本题考查异分母的分式的加减运算,具体考查通分、去括号、合并同类项、分解因式、约分等知识，反映了学生对数式运算的能力和规则（概念）理解与掌握的情况分式运算中，乘除运算主要涉及因式分解和约分（除法一般先变为乘法），加减运算主要涉及通分、约分和分母中的因式分解,其它的运算都是分子中的整式运算。异分母分式相加减运算中的知识点是通分和约分。通分即是把多个分式化为同分母的分式（一般要求转化后的分子和分母都是整式），约分是把分子和分母中的公因式（含公因数）约去。这里的同分母一般指最简公分母，取各个分母系数的最小公倍数,再取各分母所有字母因式（含不可约多项式）的最高次幂的积，即可确定最简公
2、分母，最简公分母需要对整式中的单项式和多项式有较好的理解。异分母分式相加减的规则是通分后借用同分母分式的加减法则（比照同分母的分数相加减的方法获得此法则）,后续的计算涉及整式运算（分子部分的乘、交换、合并、分解）和约分。在教学中，希望通过具体实例让学生经历观察、分析、类比、归纳猜想、抽象概括等一系列活动,发现规则、理解规则和应用规则。本题是一个程序性的问题，且特别要求程序规范。本题的规范是事先告诉的，给出了每个步骤的要求，只要按照要求解决问题即可。下面谈谈规范的问题：规范化是数学严谨性特点的反映，是初中数学教与学需要特别关注的内容之一。没有规矩不能成方圆,初中数学主要是模仿性学习，没有通过模仿
3、达到一定的理解及熟练程度也就没有创新。初中数学中有很多内容的形式、结构、特点等要求是非常明确的，就象学习开车一样，只有按照操作规范进行练习才能形成能力。不仅如此，对规范的掌握本质上也是对内容的掌握，比如只有对通分和去分母有很好的理解，才能少犯或不犯把通分和去分母混淆的错误。规范是指明文规定或约定俗成的标准。主要有以下三种情形：有一些规范是明文规定了的，如提取公因式法进行因式分解等；有一些规范没有明文规定，但其要求基本上是非常明确的,可认为是约定俗成，如解不等式组的程序性（大步骤）方法等；另有一些问题原来没有确定的解题规范,但按数学本身的要求（不是按平时的习惯要求，因为平时的习惯可能有问题）多数
4、人认同的解决问题的过程，也可以作为判定这个问题的解答是否合理的标准，也可认为是这些问题新的规范.在初中数学中的规范主要有三类：一类是指令性操作语言所界定的操作要求；一类是符合逻辑的推理；一类是解决问题的先后次序性。指令性操作语言所界定的操作要求主要有通分、去分母、作图指令等.推理中的类型主要有两大类：合情推理中的归纳和类比;演绎推理中以三段论为主要形式.解决问题的先后次序主要是解题的阶段性次序,比如数的混合运算中的三级运算（先处理括号和用符号表示的整体，再乘除，后加减，有必要时还要考虑运算律），比如本题必须先解决通分的问题，比如几何计算中必须先确定图形的形状，比如研究函数的性质一般先画它的图象
5、，等等。归纳有两类，一为不完全归纳，一为完全归纳。完全归纳有两类，一为无限，一为有限，有限的归纳可以枚举。初中数学中以不完全归纳为主，在每个学习领域都有大量的体现。要掌握不完全归纳的思想方法和用归纳获得知识的过程及表达方式。类比与归纳类似.演绎中的三段论，由“大前提、小前提、结论”构成。通常大前提是数学中的含有条件和结论的知识,如一些判断、公理和定理等;小前提是具体问题的条件,是大前提条件中的特殊或个别的情形；结论就是用大前提的结论确定具体问题的结论。在初中数学中的规范要求通常是用“”表示小前提，用“表示结论，而在结论后面的括号里标注理由表示大前提。标注的大前提可以用简单的符号书写（含数学知识
6、的名称，如“勾股定理”四个字），也可以全文表达（数学知识的定义，如勾股定理的定义）。在认为真正掌握了大前提这样的数学知识和三段论的推理本质之后,也可以不写大前提。与演绎相关的还有反证,亦可称为归谬。现在教学的过程中,教师不太关注规范，突出表现在没有坚持很好的示范、没有板书或板书潦草混乱，因此学生也不可能有很好的规范意识和规范解决问题的能力.对规范的考查要求，是希望解决教学不规范的问题。值得注意的是有人把规范等同于机械训练,这是对规范的错误认识。规范是在理解的基础上的严格的表达，机械训练是不理解而进行的持续的模仿性操作!18解不等式组注：不等式（1）要给出详细的解答过程,并写明各步是什么运算不等
7、式解一元一次不等式（不等式组）.本题是一个程序性的解答题,按照惯例其解题的程序是分别解两个不等式的解,然后借助于数轴的直观寻找两个不等式解的公共部分得到不等式组的解集。具体解题程序的表达是“解（1）得。 解（2）得。 在同一条数轴上表示两个不等式的解集. 从而得原不等式组的解集。”我们认为，惯例并不是僵化的金科玉律，是可以打破的。解不等式组的程序如何理解呢？它是在认为已经掌握了不等式及其性质、解不等式的方法与过程、不等式的解和解集、用数轴表示解集的基础上，简化了的解题的大步骤,是在不引起争议的情况下的简约表达方式.数轴的直观工具是解题程序中的一个环节。在已经多次解决不等式和不等式组的情况下，如
8、果对不等式组的两个不等式的解集的公共部分有了较好的理解（实际上多数老师都会让学生记顺口溜）,直接依照抽象的数量关系处理即可,不一定要使用数轴这个过程性的直观工具。本题的设计关注：考查对不等式组的理解和解不等式组的能力;对不等式（1）要求给出详细的解答过程，考查解不等式的能力,同时考查解不等式组的认识和规范表达能力。【顺德区：阅卷老师们对18题的评分标准有较大的争议，争议的焦点是初三学生是否有必要按照初一、二的标准,在解题时一定要写清楚怎样去分母、去括号、移项、合并同类项、把系数化为1？每年不同的评分标准让学生和老师感到无所适从。】注:不等式（组）的教学任务和要求都是初二年级要完成的，这就是整个
9、学段的标准，没有什么初三的标准问题.今年的考试要求的变化在全市相关会议上做过说明!19甲、乙两名射击选手各自射击十组，按射击的时间顺序把每组射中靶的环数值记录如下表：组数选手12345678910甲98908799919296乙858997（1） 根据上表数据,完成下列分析表:平均数众数中位数方差极差94.515.651218.65（2） 如果要从甲、乙两名选手中选择一个参加比赛,应选哪一个?为什么？统计收集、整理、描述和分析数据;集中量（平均数、中位数、众数）说明数据的集中程度、差异量（方差、极差）说明数据的离散程度；推断、决策与表达观点。本题考查的基本知识是非常基础的,并不难。考查学生对集
10、中量、差异量以及它们之间的关系的理解，考查学生推断或决策时应用相关数据或数据间的关系时说理能力.统计分析处理后的数据，都只能说明数据的某些方面。要说清楚数据的意义和作用,一般要结合相关的数据综合进行说明才行。方差（标准差）要与平均数一起考虑才是合理的，即在相同平均数时比较标准差。选择性决策的依据是比较多的:如果在比赛时只打一枪，可以考虑数值最大的数组；如果在比赛时打一组（比如10枪）,可以考虑比平均数多的数据比例,可以考虑众数是否为高分数值，可以考虑稳定性（要同时考虑平均数，否则会有很稳定但数值小的情况），可以考虑数据的时间序列。但本题在初中的考查意图主要是在平均数相同的情况下比较方差（标准差
11、），用稳定性说明选择性决策的依据。这里有一个概念叫“差异系数，即用标准差与平均数的比值定义，差异系数小的数组,则说明平均数能较好的代表数组的水平。21比较两个角的大小，有以下两种方法（规则）： 用量角器度量两个角的大小，用度数表示，则角度大的角大； 构造图形,如果一个角包含（或覆盖）另一个角，则这个角大对于如图给定的与，用以上两种方法分别比较它们的大小构造图形时，作示意图（草图）即可角比较角的大小本题反映了数学活动水平的过程性目标的考查，是规则学习的活动经验再现。具体的说明如下（“角的大小比较”的教学设计，孙治中2009年11月撰写）:【一、引言:前面学习了角,知道角是一个图形，还可以用角度（
12、数量，即角的度量性质）表示角的值。在生活中经常会出现多个角,比如一个人看高楼的情形：看到B点和看到A点的仰角是不同的。-生活中的、朴素的（实际引入多花哨）现象数学中对两个以上的同类对象一般都会研究它们之间关系，这是数学追求事物之间内在关系的本质所决定的。-现象中有数学（本课关注关系）学习数学的人要有对两个同类对象研究关系的意识和冲动。-这是热爱数学的表现,你要知道去研究两个对象的关系一般反映在位置、大小、运算上，本节课研究大小.-对于不同的对象要知道有哪些关系，还要选择研究什么关系（具体问题）二、两个角之间的大小关系之图形研究-基于过去的认知“图形中的线段可以比较长短、封闭图形可以比较面积大小
13、”提出问题：“角是图形,应该也能比较大小”研究问题：1给定两个角-实物或抽象图形对象2如何比较-确定比较的办法在确定办法前，应有对比较大小的问题的经验回顾。 以前学习过的比较问题：如线段的长短，面积的大小等。 以前比较时遵循的原则：用术语“覆盖（包含、剖分、重合度）”说明.-道理重要,且反映了数学上各种说法的相通性依据过去的原则，无论你认为角的边是有界的还是无界的（理论上角是无界的，实际问题中一般来说是有界的），无论是角A、角B，还是角C、角D,可能都会有角A角B，角C角D等结果，是混乱的. 确定比较规则：顶点重合,一边重合，比较另一边关系（有三种图式,可图示）。可以看出：过去的原则仍然有用，
14、和你的原认知不矛盾。三、两个角之间的大小关系之数量研究基于角的大小的度量性质（角具有量化的特征）比较规则:角度大的角大，反之亦然（亦有三种情况）-基于度量及度量的规则：如度量类型、度量工具、度量单位（后两项与类型有关）可以看出简单之极!然而要研究如何度量，也是不一般的（或者说你已知道）！四、规则的应用-学以致用1图形关系比较规则的应用2数量关系比较规则的应用在不同的问题类中是否正确的选择规则，反映了对规则的理解情况。五、进一步的说明1规则比较：用度量性质来说明角的大小是简单的，但离不开图形关系的比较；图形比较是操作性的，度量性质可以用来计算。2只研究两种规则，主要是角有图形和度量两种属性（或者
15、说有两方面的反映）。3从两种规则的研究和思考过程可以看出过去的经验起了重要作用，学习新知就是建立在积累的基础上的。4学会提问题（首先有问题意识）、思考、研究，自我寻找解决问题之道，是学习能力和创新能力得以培养的根本途径。上课时不一定完全按预设去实施，可以根据教学时的情况调整,即使讲得乱也不要紧，过后只要整理即可!评注：本设计简捷，有思考、有程序、有理论支撑，关注老师的引导和说明，也关注学生的活动与思考，关注知识的生成过程，更关注学习与教学者的经验作用，是一个直接借鉴的模范设计。25（1） 按语句作图并回答：作线段AC（），以A为圆心为半径作圆，再以C为圆心为半径作圆（，,圆A与圆C交于B、D两
16、点）,连结AB、BC、CD、DA.若能作出满足要求的四边形ABCD，则、应满足什么条件？（2） 若，求四边形ABCD的面积先阅读几段文字。2008年中考25题题干的一部分 我们所学的几何知识可以理解为对“构图”的研究：根据给定的（或构造的）几何图形提出相关的概念和问题（或者根据问题构造图形），并加以研究.例如：在平面上根据两条直线的各种构图,可以提出“两条直线平行、“两条直线相交”的概念；若增加第三条直线，则可以提出并研究“两条直线平行的判定和性质”等问题（包括研究的思想和方法）.2009年中考25题题干的一部分 一般地,学习几何要从作图开始，再观察图形,根据图形的某一类共同特征对图形进行分类
17、（即给一类图形下定义-定义概念便于归类、交流与表达），然后继续研究图形的其它特征、判定方法以及图形的组合、图形之间的关系、图形的计算等问题. 课本里对四边形的研究即遵循着上面的思路. 2011年中考25题题干的一部分 我们经常通过认识一个事物的局部或其特殊类型，来逐步认识这个事物比如我们通过学习两类特殊的四边形,即平行四边形和梯形（继续学习它们的特殊类型如矩形、等腰梯形等）来逐步认识四边形我们对课本里特殊四边形的学习，一般先学习图形的定义，再探索发现其性质和判定方法,然后通过解决简单的问题巩固所学知识2008年是在已知圆的基础上逐步添加直线的条数，引起图形构造的变化，从而产生相关的研究问题;2
18、009年是借助网格线根据条件作图,图形是不确定的；2011年是考查筝形及其性质与判定。根据以上的内容思考本题的设计,可以看出：一、本题的设计与前面的要求是一脉相承的；二、本题是2011年试题的补充，它与2011年试题共同构成一个较为完整的设计,是对筝形的较为完整的研究.第（1）题是图形的构造形成阶段,第（2）题是与图形相关的计算问题；三、图形的构造，可以有多种方式。以本题的图形为例,它可以用两个同底的等腰三角形进行构造，也可以用两个全等的三角形拼接而成，也可以象本题用尺规画两个圆并连线而成.本题考查的图形,是根据条件作图。原始设计没有对和的取值范围进行限定，并且要求对的取值变化与图形的关系进行
19、分析,可以考查作图能力、对图形类型的确认与图形特征的关系分析、分类的思想方法以及在学习几何的过程中对图形研究的经历和经验。但由于考虑前面对一些问题的规范要求会对学生解题时间造成影响，故对的取值范围进行了限定，并且问题设计成为题目中的样子，这样就大大降低了解题难度。这也是一些实验类的学校认为题目的难度不够的主要原因。四、与图形相关的计算问题也是多样的，比如线段的长、角度的大小、面积的大小及其它们之间的比较,比如与图形特征相关的计数及其关系（柱体的顶点数、多边形对角线在形内的交点个数、正多面体的欧拉公式等）。不同类型的问题，或者同一类型的问题，在不同的背景和情境下，解决问题的思路、方法、过程、所用
20、知识和表达可能都有较大的差异.本题首先要在作图时的复杂图形中确定要计算的图形的形状（是一个筝形），其次要分析这个图形的构造并向特殊可计算的图形转化（分割成两个三角形等,有不同分法），再对相关的可计量元素（三角形的边或高）进行分析并用合理的方法（本题用方程的思想方法）求出,最后进行相关计算。注1:如图如果设，利用建立方程则是可解的. 这种方法对所有已知三边的三角形面积求法都适用。如果设则会超要求。注2：第（2）小题如果知道海伦（秦九韶）公式（对象确定，则对象的特征、关系或者数量等也应是确定的，这是哲学意义上的普遍认识。既然三角形的三边确定了,那么三角形的面积也就是确定的，这样的思考就得到一个公式
21、）用之于计算，其解决问题的过程（符号与数值计算）更具有程序性且更简捷，比上面的解法容易.这里会产生两个问题，一是方法对得分不太公平，一是可能会引起教师补充教学一些教材没有要求的知识。虽然题目设计有其较为深刻的意义,但毕竟没有回避这个问题,是一件遗憾的事!需要说明的是，如果能够对前几年的试题的命题说明进行细致的研读，则对几何及几何知识的学习将提供极大的帮助。五、考试数据1.基本数据近三年数学平均分比较全市禅城南海顺德三水高明2010年66.0365.2868。6766.7662。7056.732011年76.9475。6982。0277.2569.9666。882011年比2010年增加10.9
22、110.4113.3510.497。2610。162012年77.6579。83.5571.8867。682012年比2011年增加0。72281.53-1。550.80近三年考试人数比较60605814020132214006486444759767837318613217434552838233-1519343105595207706181222305363954244247-667-491131091308单位平均分标准差最高分差异系数负偏态系数人数79.9723.73119297-0。963769223。62120283-1.3701795524.190.3199212301071。2
23、7。66385-0.718635067.68491154060.487423825。080.3230.979592452。分数段比例09101920293039404950591848%51%2.65%3。844.28%750.93%1.071.24%29%2.78334.23%1945%2.2941%414.85940.711.61%80%5.61%306.136.3314%23%4.447.15%7.76%8.05%6.84%4682%19%3.87%28%4.68%50%60697079808990991001091101198.4012。4918.21%20。93%17.244.2300%5.83%9.4817。3127.12%245.060.02%8。79%13。3792%22.27%6466%11。0618。162810.44%54%0.00%9。11%2117.72%16.898.42%1.186895%22。9714。23080.01可以上普通高中人比例大约百分之五十几，在这个范围内的学生分数在80分以上。
