1、Snna1d（1）q1，Sn（2）q1，Snna1热点一等差数列例1（1）等差数列an的前n项和为Sn，若a2a4a612，则S7的值是（）A21 B24 C28 D7（2）设等差数列an的前n项和为Sn，若1a31,0a63，则S9的取值范围是_思维启迪（1）利用a1a72a4建立S7和已知条件的联系；（2）将a3，a6的范围整体代入答案（1）C（2）（3,21）解析（1）由题意可知，a2a62a4，则3a412，a44，所以S77a428.（2）S99a136d3（a12d）6（a15d）又13，33（a12d）3,06（a15d）18，故3S921.思维升华（1）等差数列问题的基本思想是
2、求解a1和d，可利用方程思想；（2）等差数列的性质若m，n，p，qN*，且mnpq，则amanapaq；Sm，S2mSm，S3mS2m，仍成等差数列；aman（mn）dd（m，nN*）；（A2n1，B2n1分别为an，bn的前2n1项的和）（3）等差数列前n项和的问题可以利用函数的性质或者转化为等差数列的项，利用性质解决（1）已知等差数列an中，a7a916，S11，则a12的值是（）A15 B30C31 D64（2）在等差数列an中，a50且a6|a5|，Sn是数列的前n项的和，则下列说法正确的是（）AS1，S2，S3均小于0，S4，S5，S6均大于0BS1，S2，S5均小于0，S6，S7，
3、均大于0CS1，S2，S9均小于0，S10，S11均大于0DS1，S2，S11均小于0，S12，S13均大于0答案（1）A（2）C解析（1）因为a8是a7，a9的等差中项，所以2a8a7a916a88，再由等差数列前n项和的计算公式可得S1111a6，又因为S11，所以a6，则d，所以a12a84d15，故选A.（2）由题意可知a6a50，故S100，而S99a50，故选C.热点二等比数列例2（1）（20xx安徽）数列an是等差数列，若a11，a33，a55构成公比为q的等比数列，则q_.（2）已知等比数列an的前n项和为Sn，且a1a3，a2a4，则等于（）A4n1 B4n1C2n1 D2n
4、1思维启迪（1）列方程求出d，代入q即可；（2）求出a1，q，代入化简答案（1）1（2）D解析（1）设等差数列的公差为d，则a3a12d，a5a14d，（a12d3）2（a11）（a14d5），解得d1，q1.（2）由可得2，q，代入得a12，an2（）n1，Sn4（1），2n1，故选D.思维升华（1）an为等比数列，其性质如下：若m、n、r、sN*，且mnrs，则amanaras；anamqnm；Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列（q1）（2）等比数列前n项和公式Sn能“知三求二”；注意讨论公比q是否为1；a10.（1）已知各项不为0的等差数列an满足a42a3a80，数列bn是等比数
5、列，且b7a7，则b2b8b11等于（）A1 B2C4 D8（2）在等比数列an中，a1an34，a2an164，且前n项和Sn62，则项数n等于（）A4 B5C6 D7答案（1）D（2）B解析（1）a42a3a80，2aa43a8，即2a4a7，a72，b72，又b2b8b11b1qb1q7b1q10bq18（b7）38，故选D.（2）设等比数列an的公比为q，由a2an1a1an64，又a1an34，解得a12，an32或a132，an2.当a12，an32时，Sn62，解得q2.又ana1qn1，所以22n12n32，解得n5.同理，当a132，an2时，由Sn62，解得q.由ana1q
6、n132（）n12，得（）n1（）4，即n14，n5.综上，项数n等于5，故选B.热点三等差数列、等比数列的综合应用例3已知等差数列an的公差为1，且a2a7a126.（1）求数列an的通项公式an与前n项和Sn；（2）将数列an的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列bn的前3项，记bn的前n项和为Tn，若存在mN*，使对任意nN*，总有SnTm恒成立，求实数的取值范围思维启迪（1）利用方程思想求出a1，代入公式求出an和Sn；（2）将恒成立问题通过分离法转化为最值解（1）由a2a7a126得a72，a14，an5n，从而Sn.（2）由题意知b14，b22，b31，设等比数列b
7、n的公比为q，则q，Tm81（）m，（）m随m增加而递减，Tm为递增数列，得4Tm8.又Sn（n29n）（n）2，故（Sn）maxS4S510，若存在mN*，使对任意nN*总有SnTm，则106.即实数的取值范围为（6，）思维升华等差（比）数列的综合问题的常见类型及解法（1）等差数列与等比数列交汇的问题，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用性质，可使运算简便（2）等差数列、等比数列与函数、方程、不等式等的交汇问题，求解时用等差（比）数列的相关知识，将问题转化为相应的函数、方程、不等式等问题求解即可已知数列an前n项和为Sn，首项为a1，且，an，Sn成等差数列（1）求数列an的通项公式；（2
8、）数列bn满足bn（log2a2n1）（log2a2n3），求证：.（1）解，an，Sn成等差数列，2anSn，当n1时，2a1S1，a1，当n2时，Sn2an，Sn12an1，两式相减得anSnSn12an2an1，2，数列an是首项为，公比为2的等比数列，an2n12n2.（2）证明bn（log2a2n1）（log2a2n3）log222n12log222n32（2n1）（2n1），（），（1）（）（）（1）（nN*）即0an为递增数列，Sn有最小值d0，a7a100，a80.a7a10a8a90，a9a80，则a2 0130，则a2 0140，则a2 013D若a40，则a2 014解析
9、因为a3a1q2，a2 013a1q2 012，而q2与q2 012均为正数，若a30，则a10，所以a2 0132已知数列an是首项为a，公差为1的等差数列，bn.若对任意的nN*，都有bnb8成立，则实数a的取值范围为_答案（8，7）解析ana（n1）1na1，所以bn，因为对任意的nN*，都有bnb8成立，即（nN*）恒成立，即0（nN*），则有解得8a0，an1an2.当n2时，an是公差d2的等差数列a2，a5，a14构成等比数列，aa2a14，（a26）2a2（a224），解得a23，由条件可知，4a1a54，a11，a2a1312，an是首项a11，公差d2的等差数列等差数列an的通项公式为an2n1.等比数列bn的公比q3，等比数列bn的通项公式为bn3n.（2）Tn，（）k3n6对任意的nN*恒成立，k对任意的nN*恒成立，令cn，cncn1，当n3时，cncn1；当n4时，cn0，上式不成立；当n为奇数时，（2）n2n2 012，即2n2 012，得n11.综上，存在符合条件的正整数n，且所有这样的n的集合为n|n2k1，kN，k5
