1、（A9兀（B ） 10兀侧（左视图正视图俯视图（2007） 3、下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）A .B C D （2006） 12、如图，在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2, ZDAB=60, E 为 AB 的中点，将 ADE与ABEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P ,贝IJ三棱锥P -DCE的外接球的体积为（A （B （C） 8 7V（D） 24 （2006） 15、如图，已知正三棱柱111ABCABC-的所有棱长都相等.D是11AC的中点，贝IJ直线AD与平面IB DC所成角的正弦值为45（2012） 14、如图.正方体ABCD-A IB 1C
2、ID 1的棱长为1, E,F分别为线段AA 1,B 1C上的点，则三棱锥D 1-EDF的体积为 。1112113111=xx xx=-DEDFEDFD VV.P-ABQ 中，PB 丄平面ABQ, BA=BP=BQ, D, C, Ef F 分别是 AQ , BQ , AP,BP的中点，AQ=2BD, PD与EQ交于点G, PC与FQ交于点H,连接GH。 （ I ）求证：AB/GH； （II）求二面角D-GH-E的余弦值（1）因为C、D为中点，所以CD/AB同理：EF/AB,所以 EF/CD, EF u平面 EFQ ,正方形圆锥三棱台正四棱锥A 1/CDQEFC面，所以CD平面EFQ,又CD u平
3、面PCD,面PCD面QEF=GH.所以.所以 AB/GH.解法一：在厶 ABQ 中,2AQ BD =, AD DQ =,所以=90ABQ Z ,即 AB BQ 丄，因为 PB 丄平面ABQ,所以AB PB丄，又BP BQ B =,所以AB丄平面PBQ ,由（I）知ABGH,所以GH丄平面PBQ,又FHu平面PBQ ,所以GHFH丄，同理可得GH HC丄，所以FHC Z为二面角D GH E -的平面角.设2BA BQ BP=，连接 pc,在 t R A FBC中，由勾股定理得.FC =t R A PBC中，由勾股定理得.PC =,又H为APBQ的重心，所以13HC PC =同理FH=，在AFHC
4、中，由余弦定理得5524cos 5529FHC +-Z=-x,即二面角DGHE-的余弦值为45-.解法一 ：IABQ 中，2AQ BD =, AD DQ =,所以 90ABQ Z=,又 PB 丄平面 ABQ ,所以,，BA BQ BP两两垂直，以B为坐标原点.分别以,，BABQBP所在直线为x轴，y 轴.z输 建立如图所示的空间直角坐标系，设2BA BQ BP =,则（1Q1E,（0,0,IF , （020Q , （1 丄0D , （0,1,0C （0,0,2 P ,所以（1,2, 1 EQ =- , （0,2,1 FQ =-, （1, 1,2 DP =- , （0,1,2 CP =-,设平面
5、EFQ的一个法向量为111（, m x y z =,由 0m EQ = , Om FQ =，得 111112020xyZyz-+-=fl-=l取 1 ly =，得（0,1,2m =.设平面PDC 的一个法向量为222（、，n x y z =由 011DP =,On CP =，得 222222020x y z y z -十=（）-十=l取 21z =,得（0,2,ln = 所以 4cos , 5mnmnmn =,因为二面角D GH E -为钝二面角，所以二面角DGHE-的余弦值为45（2012） 18在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，,AB CD 60, DAB Z= FC 丄平面
6、,ABCD AE BD 丄，CB CD CF = . （ I ）求证 BD 丄平面 AED ；（II）求二面角FBDC-的余弦值r（2eI ）证明：因为四边形ABCD为等腰梯形.ABCD. 60DAB Z=,所以 120ADC BCD Z=Z= . X CB CD =,所以 30CDB Z=,因此 90ADB Z= , AD BD 丄，又 AEBD 丄，且 AEADA = , ,AEADu 平面 AED,所以AED .I）知ADBD丄，所以AC BC丄，又FC丄平面ABCD,因此，CA以C为 坐标原点.分别以,，CACBCF所在的直线为x轴，y轴，| （2012z轴建立空间直角坐标系，不妨设1
7、CB=,则（0, 0, 0 C , （0,1,0rcrcB, G , 0 D （0,0,IF,因此（,02BD二,（O,1,1BF=.设平面 BDF 的一 个法向量为（“Xy z =m ,则 OBD = m f OBF = m ,所以x=取1z=,贝 IJ（=111 rrrcrc又平面BDC的法向量可以取为（0, 0,1 =n ,所以cos , |=mnmn因为二面角FBDC 是锐二面角，所以二面角FBDC-rci（201；.BD的中点G,连结,CGFG,由于CB CD =,所以CG BD丄又FC丄 平面，BDu平面ABCD,所以FC BD丄.由于FCCGC = , ,FCCGu平面 FCG,
8、所以BD丄平面FCG,故BD FG丄所以FGCZ为二面角FBDC-的平面角在等腰三角形BCD中，由于120BCD Z=,因此CG CB =,又 CB CF =,所以CF = 故cos FGC Z=,因此二面角FI（2012）i8i rcrcrcBDC-的余弦值为.在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，090ACBZ=, EA 丄平面 ABCD , /EFAB , /FG BC , /EG AC,2AB EF =.（I ）若M是线段AD的中点，求证：/GM平面ABFE ；（II）若2AC BC AE =,求二面角ABFC 的大小.（I ） /EFAB, 2AB EF =可知延长 BF
9、 交 AE 于点 P ,而 /FG BC , /EGAC,贝 IJPBF Wu 平面,BFGCPAE Wu 平面 AEGC ,即 PG平面 BFGC 平面 ABDEGMABFE| （2012）AEGC GC =,于是,，BFCGAE 三线共点，1/2FG BC,若M是线段AD的中点，而/AD BC，则/FG AM ,四边形AMGF 为平行四边形，则GMAF,又GMC平面ABFE,所以/GM平面ABFE ；（II）由EA丄平面ABCD,作CH AB丄，则CH丄平面ABFE,作HTBF 丄，连接CT,则CTBF丄，于是CTHZ为二面角ABFC-的平面角。若 2AC BC AE =,设 1AE =,
10、贝lj 2AC BC =,AB CH =H%AB 的中点，2tan2AE AE FBA AB EF AB Z=sin FBA Z=HT BH ABF=Z=在 Rt CHT AV2.V2V272中 tail CH CTH HT Z=则 60CTH Z=,即二面角 ABFC 的大小为 60 oABCD为平行四边形，090ACB Z= EA 丄平面 ABCD ,可得以点A为坐标原点，AC AD AE所在直线分别为,xyz建立直角坐标设=,AC a AD b AE c =,则（0,0,0A, 1（,0,0, （0”0, （00, （, ,0 2C a D b M b B a b 由/EG AC 可得（
11、EG ACU=eR, 1（, 2GM GE EA AM a b c A.=+=-由FG BC 可得（FG BC AD 山屮=GR, 1122GM GF FA AM AD BA EA AD p=+二十卄 1（,（1 , 2a b c ,贝lj 12Xp,=l 12GM BA EA =4-,而 GM 平面 ABFE ,所以/GM 平面 ABFE ；（II）若 2AC BC AE =,设 1AE =,贝lj 2AC BC =,（2,0,0,（0,0,1,（2,2,0, （1, 1,1 CEBF 贝 IJ（0,2,0BC AD = , （1,1,1 BF =-,（2,2,0 AB 二，设 111122
12、22（, ,（,xyzxyz=n=ii 分别为平面 ABF 与平面 CBF 的法向量。则111112200x y x y z-= n-卄=I,令 llx =,贝lj 111, Ovz =, l（l,l,On= ; 2222200yxyz = （-卄=1 令 21x=,贝lj 220, lyz =, 2（ 1,0,1 =n o于是 1212121cos 2 =5|m BD m BD =因为二面角E-AF-C为锐二面角,所以所求二面角的余弦值为51111ABCDABCD-中，已知122DC DD AD AB =, AD DC 丄，AB DC .（I）设E是DC的中点.求证：1DE平面BDA1 ；
13、（II）求二面角11A BDC-的余弦值AD 1（I ）连结BE,则四边形DABE为正方形， BE ADA1D1 ,且BEADA1D1, 四边形A1D1EB为平行四边形. DIE / A1B .又 DIE 平面 A1D1C1B1 A1BD, A1B 平面 A1BD , DIE /平面A1BD . （II） D为原点，DADC, DD1所在直线分别为x轴.以，GDABE Cy轴.z轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设DA 1.则D（0. 0,A（l, 0, B（ll, , C（0, 2, 0, 0, , 0 2, Al （1,2 , DAI （1 0,DB（110,o, , 2, f 设 11
14、（x, y,z为平面ABD的一个法向量.由 1 zDl Cl Bl MAInDAI!DB,得 x 2z 0,31.取z 1 ,则11 （2, XV0.DAxFBEC y 又 DC2（0,3, DB （110, 2,设m（xl,yi.zl为平面C1BD的一个法向量，由mDC , m DB,得2vl2zl0,取 zl 1,.则m（1ii,xl yl 0设 m 与 n的夹角为，二面角Al BD （Cl为,显然为锐角， cos 3 3111 n 33,即二面角Al BD Cl的余弦为 cos33111 n3 9 3 x解法二：（I ）以D为原点，DA DC, DD1所在直 线分，别为x轴，y轴，z轴建
15、立如图所示的空间直角坐标系，设D1C1B1MDA a ,由题意知：0（0,0, A（a, 0,B（a, a, f0. 0? 0 Al C（0, a,Cl（0, a,a , Al （a, 2a ,Dl（0,2a,2 0 0. 2 2 0,E（0. a, DIE （0, a, 2a,DA（a, 2a, 00. 1 DB（a, a,ODAzFBECy又（0,a, 2a （a, a,（a.DIE DBDA. 0 0,DAI, DB 平面 A1BD , DIE 平面 A1BDDIE /平面A1BD（II）取DB的中点F,DC1的中点M,连结A1F,FM,由（I）及题意得知：a aF1 , ,M （0,
16、a, a, FA1 ,fa , FMf 9a ,2 2222 22FA1DB , , a a, a,0, FM DB,aa, a, 02 （0（0 22 22FA1 DB, FMDB,ZA1FM为所求二面角的平面角.22aa , aa, f aa a 2a 2 2FA1 FM3 2 22244cosZAl FM2 3 3 2a 6a 3 3a FA1 FM2 2 2所以二面角AlBD Cl的余弦值为3 .3解法三：如解法-图,连结ADI ,AE,设 DI HADI AID? AE BD F.连结GF,由题意知G是A1C1B1MEFBCA1D的中点，又E是CD的中点. 四边形ABED是平行四边形
17、，故F是AE的中点. 在AAEDl中，GF / DIE ,又GF 平 面 ABD, DIE 平面 ABD, DIE 平面 1 1ADA1BD. （II）如图，在 四边形 ABCD 中，设 AD a, AB AD, AD DC, AB / DC, ADAB .故 BD 2a ,由（I ）得 BC 2 BE 2 EC 2 a2 a2 2a 2 ,DC 2a, ZDBC 90 ，即 BD BC .又 BD BB1 , BD 平面 BCC1B1 , XBC1 平面 BCC1B1, BD BC1 ,取 DC1 的中点 M ,连结 A1F, FM ,由题意知： FM BC1 , FM BD .又 AID A1B ,A1F BD . ZA1FM为二面角Al BD Cl的平面角.连结AIM,在 AA1FM 中，由题意知：A1F 3 2 116a, FM BC1 BC
