1、可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图113，当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD则， C同理可得， b a从而 A c B（图113）是否可以用其它方法证明这一等式由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。（证法二）：过点A作， C由向量的加法可得则 A B，即同理，过点C作，可得从而类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即理解定理（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存
2、在正数k使，；（2）等价于，从而知正弦定理的基本作用为：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如。一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。例题分析例1在中，已知，cm，解三角形。解：根据三角形内角和定理，；根据正弦定理，评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。例2在中，已知cm，cm，解三角形（角度精确到，边长精确到1cm）。因为，所以，或当时，当时，应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。.课堂练习第5页练习第1（1）、2（1）题。补充练习已知ABC中，求（答案：1：2：3）
3、1.1.2余弦定理掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。教学重点余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；教学难点勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。.课题导入 C如图114，在ABC中，设BCaACbABc已知ab和C，求边c b aA c B（图114）.讲授新课探索研究联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题用正弦定理试求，发现因A、B
4、均未知，所以较难求边c。由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。如图115，设，那么，则 C B 从而（图115）同理可证于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即这个式子中有几个量从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：从而知余弦定理及其推论的基本作用为：已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；已知三角形的三条边就可以求出其它角。勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两
5、个定理之间的关系（由学生总结）若ABC中，C，则，这时由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。例1在ABC中，已知，求b及A解：cos求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：解法一：cos解法二：sin又，即解法二应注意确定A的取值范围。例2在ABC中，已知，解三角形（见课本第8页例4，可由学生通过阅读进行理解）由余弦定理的推论得：cos第8页练习第1（1）、2（1）题。补充练习在ABC中，若，求角A（答案：A120）课题: 113解三角形的进一步讨论掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
6、通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。创设情景在ABC中，已知，解三角形。（由学生阅读课本第9页解答过程）从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形。下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。例
7、1在ABC中，已知，讨论三角形解的情况分析：先由可进一步求出B；则1当A为钝角或直角时，必须才能有且只有一解；否则无解。2当A为锐角时，如果，那么只有一解；如果，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若，则有两解；（2）若，则只有一解；（3）若，则无解。（以上解答过程详见课本第910页）注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。随堂练习1（1）在ABC中，已知，试判断此三角形的解的情况。（2）在ABC中，若，则符合题意的b的值有_个。（3）在ABC中，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围。（1）有两解；（2）0；（3）例2
8、在ABC中，已知，判断ABC的类型。由余弦定理可知（注意：），即，。随堂练习2（1）在ABC中，已知，判断ABC的类型。（2）已知ABC满足条件，判断ABC的类型。（1）；（2）ABC是等腰或直角三角形）例3在ABC中，面积为，求的值可利用三角形面积定理以及正弦定理由得，则3，即，（1）在ABC中，若，且此三角形的面积，求角C（2）在ABC中，其三边分别为a、b、c，且三角形的面积，求角C（1）或；（2）.课时小结（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；（2）三角形各种类型的判定方法；（3）三角形面积定理的应用。.课后作业（2）设x、x1、x2是钝角三角形
9、的三边长，求实数x的取值范围。（3）在ABC中，判断ABC的形状。（4）三角形的两边分别为3cm，5cm它们所夹的角的余弦为方程的根，求这个三角形的面积。 2.2解三角形应用举例第一课时能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。其次结合学生的实际情况，采用“提出问题引发思考探索猜想总结规律反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。对于例2这样的开放性题目要鼓励学生讨论，
10、开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正激发学生学习数学的兴趣并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解根据题意建立数学模型，画出示意图1、复习旧知 复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形2、设置情境请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢我们知道，对于未知的距离、高度等，存在
11、着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解例题讲解（2）例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在
12、所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，BAC，ACB。求A、B两点的距离（精确到0.1m）启发提问1：ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当启发提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢请学生回答。这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，应用正弦定理算出AB边。根据正弦定理，得AB 65.7（m）答:A、B两点间的距离为65.7米变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km灯塔A在观察站C的北偏东30，灯塔B在观察站C南偏东60，则
13、A、B之间的距离为多少老师指导学生画图，建立数学模型。解略：a km例2、如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法。这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC和BC，再利用余弦定理可以计算出AB的距离。测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CDa，并且在C、D两点分别测得BCA， ACD，CDB，BDA ，在ADC和BDC中，应用正弦定理得AC BC 计算出AC和BC后，再在ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离
14、AB 分组讨论：还没有其它的方法呢师生一起对不同方法进行对比、分析。变式训练：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得BCA60，ACD30，CDB45，BDA 60略解：将题中各已知量代入例2推出的公式，得AB20评注：可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。学生阅读课本4页，了解测量中基线的概念，并找到生活中的相应例子。课本第14页练习第1、2题解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已
15、知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解课本第22页第1、2、3题板书设计授后记第二课时能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题本节课是解三角形应用举例的延伸。采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架。通过3道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法。教学形式要坚持引导讨论归纳，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、
16、探索习惯。作业设计思考题，提供学生更广阔的思考空间进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件提问：现实生活中人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢今天我们就来共同探讨这方面的问题范例讲解例1、AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法。求AB长的关键是先求AE，在ACE中，如能求出C点到建筑物顶部A的距离CA，再测出由C点观察A的仰角，就可以计算出AE的长。选择一条水平基线HG，使H、
17、G、B三点在同一条直线上。由在H、G两点用测角仪器测得A的仰角分别是、，CD a，测角仪器的高是h，那么，在ACD中，根据正弦定理可得AC AB AE h AC h h例2、如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角54，在塔底C处测得A处的俯角50。已知铁塔BC部分的高为27.3 m求出山高CD（精确到1 m）师:根据已知条件大家能设计出解题方案吗（给时间给学生讨论思考）若在ABD中求CD，则关键需要求出哪条边呢生：需求出BD边。师：那如何求BD边呢可首先求出AB边，再根据BAD求得。解:在ABC中 BCA90ABC 90BAC BAD .根据正弦定理所以 AB 解RtABD中得 BD A
18、BsinBAD将测量数据代入上式得BD 177 （m）CD BD BC17727.3150（m）山的高度约为150米.有没有别的解法呢若在ACD中求CD，可先求出AC。分析得很好，请大家接着思考如何求出AC同理，在ABC中，根据正弦定理求得。（解题过程略）例3、如图一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15的方向上行驶5km后到达B处测得此山顶在东偏南25的方向上仰角为8求此山的高度CD.欲求出CD，大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢在BCD中在BCD中，已知BD或BC都可求出CD根据条件易计算出哪条边的长BC边在ABC中 A15C 251510根据正弦
19、定理 BC 7.4524（km）CDBCtanDBCBCtan81047（m）山的高度约为1047米课本第17页练习第1、2、3题利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化。课本第23页练习第6、7、8题为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30，测得塔基B的俯角为45，则塔AB的高度为多少m答案：20（m）第三课时能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题本节课是在学习了相关内容后的第三节课，学生已经对解法有了基本的了解，这节课应通过综合训练强化学生的
20、相应能力。除了安排课本上的例1，还针对性地选择了既具典型性有具启发性的2道例题，强调知识的传授更重能力的渗透。课堂中要充分体现学生的主体地位，重过程，重讨论，教师通过导疑、导思让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三。培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生的探索精神。能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题创设情境前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题。然而在实际的航海生活中人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海
21、面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢今天我们接着探讨这方面的测量问题。例1、如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75的方向航行67.5 n mile后到达海岛B然后从B出发沿北偏东32的方向航行54.0 n mile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C此船应该沿怎样的方向航行需要航行多少距离（角度精确到0.1距离精确到0.01n mile）学生看图思考并讲述解题思路教师根据学生的回答归纳分析：首先根据三角形的内角和定理求出AC边所对的角ABC，即可用余弦定理算出AC边，再根据正弦定理算出AC边和AB边的夹角CAB。在ABC中，ABC180 75 32137，根据余弦定理，AC
22、113.15根据正弦定理 sinCAB 0.3255所以 CAB 19.075 CAB 56.0此船应该沿北偏东56.1的方向航行需要航行113.15n mile例2、在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2，再继续前进10m至D点，测得顶端A的仰角为4，求的大小和建筑物AE的高。请大家根据题意画出方位图。上台板演方位图（上图）教师先引导和鼓励学生积极思考解题方法，让学生动手练习，请三位同学用三种不同方法板演，然后教师补充讲评。解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在ACD中，ACBC30， ADDC10，ADC 1804，。因为 sin42s
23、in2cos2 cos2得 23015，在RtADE中，AEADsin6015答：所求角为15，建筑物高度为15m（设方程来求解）设DE x，AEh在 RtACE中（10 x） h30在 RtADE中xh（10）两式相减，得x5h15在 RtACE中tan223015答：解法三：（用倍角公式求解）设建筑物高为AE8，由题意，得BAC， CAD2，AC BC 30m AD CD 10m在RtACE中，sin2在RtADE中，sin4得 cos223015，AEADsin6015例3、某巡逻艇在A处发现北偏东45相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75的方向以10海里小时的速度向我海岸行驶，巡
24、逻艇立即以14海里小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追需要多少时间才追赶上该走私船你能根据题意画出方位图教师启发学生做图建立数学模型这道题的关键是计算出三角形的各边，即需要引入时间这个参变量。如图，设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船，则CB10 x AB14xAC9ACB（14x） 9（10 x） 2910 xcos化简得32x30 x270，即x或x（舍去）所以BC 10 x 15AB 14x 21又因为sinBAC BAC 38或BAC 141（钝角不合题意，舍去），3883巡逻艇应该沿北偏东83方向去追，经过1.4小时才追赶上该走私船.在求解三角形中，我们
25、可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解课题:能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题掌握三角形的面积公式的简单推导和应用本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总结出该公式的特点，循序渐进地具体运用于相关的题型。另外本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用，教师要放手让学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，能不拘一格，一题多解。只要学生自行掌握了两定理的特点，就能很快开阔思维，有利地进一步突破难点。让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验教学重点推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目教学难点利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式。在
