1、1n21n1即21 2222；n1 n 2nn行列式对行满足的性质对列也同样满足。性质 2 互换行列式的两行（列） ，行列式的值变号 .如: D=cbd=ad-bc ,=bc-ad= -D以 ri 表第 i 行，C j 表第 j 列。交换 i,j 两行记为 ri r ,交换 i,j 两列记作Ci C j 。性质 3：如果一个行列式的两行（或两列）完全相同，那么这个行列式的值等于零。性质 4：把一个行列式的某一行 （或某一列）的所有元素同乘以某一个常数 k的结果等于用这个常数 k 乘这个行列式。（第 i 行乘以 k，记作 ri k ）推论 1：一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素的公因式可以
2、提到行列式符号的前面。推论 2：如果一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素都为零，那么行列式值等于零。推论 3：如果一个行列式的某二行（或某二列）的对应元素成比例，那么行列式值等于零。1 nka ka ka k a a ai 1 i 2 in i 1 i 2 inn 1n 2 nn性质 5：如果行列式 D 的某一行（或某一列）的所有元素都可以表成两项的和，那么行 列 式 D 等 于 两 个 行 列 式 D1 和 D2 的 和 。b a11 12a a b11 12 12 21 22 jb a a a a a2 2 n 21 22 2 j+21 22 2 2 nn 1 n 2 n jb a a
3、 a a a a an n n n 1 n 2 nj nnn 2性质 6：把行列式的某一行 （或某一列） 的元素乘同一个数后， 加到另一行 （或另一列）的对应元素上，行列式值不变。推论 如果行列式的某一行 （列）的每个元素都是 m 个数之和 （m2），则此行列式等于 m 个行列式之和。定义：行列式 a a a （ i , j 1, , n ）如果满足： ；ij ij ji则称此行列式为对称行 列式。一个 n 阶行列式，如果它的元素满足： a i a i , j 1, 2 n ；试证：当 nj j i为奇数时，此行列式为零。nD 每一行（或列）提出一个（ -1），再转置得D=（-1）性质 7 行
4、列式的某一行（列）的各元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式的乘积之和等于零。按行： a A a A a A i ji 1 1 2 2 0j i j in jn按列：1 j i j ni nji 1 2 2 0将性质 7 与 Laplace定理合并为下列结论：D i j（1） a Ai jkk0 i j k 1和a Akjk 1ki0 i j（2）行列式的计算1利用行列式定义直接计算例 1 计算行列式0 0 1 00 2 0 0Dn 1 0 0 00 0 0 n解 Dn 中不为零的项用一般形式表示为a a a a n .1 n 1 2 n 2 n 1 1 nn !（ n 1）（ n 2 ）该
5、项列标排列的逆序数 t（n1 n2 1n）等于，故 2（ n 1）（ n 2）D （ 1） n !.2利用行列式的性质计算例 2 一个 n阶行列式D a 的元素满足n ija a , i, j 1, 2 , , n ,ij ji则称 Dn 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零 .证明：由a a 知a a ，即ii iia 0, i 1, 2 , , nii故行列式 Dn 可表示为1 2 1 3 1na 0 a a1 2 2 3 2 nD a a 0 an 1 3 23 3n1 n 2 n 3 n由行列式的性质A A1 2 13 1n12 2 3 21n 2 n 3 n12 1 3 1n
6、（ 1） a a 0 a13 2 3 31n 2 n 3n（ 1） D当 n 为奇数时，得 Dn =Dn，因而得 Dn = 0.3化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形， 其结果为行列式主对角线上元素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。例 3 计算 n阶行列式a b b bb a b bD b b a bb b b a解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第 2，3， ， n 列都加到第 1 列上，行列式不变，得a （n 1） b b b ba （n 1） b a b bD a （n 1） b b a ba （n 1） b b b a
7、1 b b b1 a b b a （n 1） b 1 b a b1 b b a0 a b 0 0 a （n 1） b 0 0 a b 00 0 0 a b a （ n 1） b （ a b ）4降阶法降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理， 这样可以降低多阶， 为了使运算更加简便， 往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。例 4 计算 n阶行列式a 0 0 0 10 a 0 0 00 0 a 0 0 D0 0 0 a 01 0 0 0 a解 将Dn 按第 1 行展开a 0 0 0 0 a 0 00 a 0 0 0 0 a 0D
8、 a 0 0 a 0（ 1）0 0 0 a0 0 0 a 1 0 0 0n n 1 n n 2a （ 1） （ 1） an n 2a a .5逆推公式法逆推公式法：对 n 阶行列式 Dn 找出 Dn 与 Dn1 或 Dn 与Dn1, Dn2 之间的一种关系称为逆推公式（其中 Dn, Dn1, Dn2 等结构相同），再由递推公式求出Dn 的方法称为递推公式法。例 5 证明x 1 0 0 00 x 1 0 00 0 0 x 1a a a a a xn n 1 n 2 2 1n n 1 n 2x a x a x a x a n1 2 1 , （ 2 ）n n将 Dn 按第 1 列展开得D xn 1
9、n 2 n 3 2 11 0 0 0x 1 0 00 0 x 1a xD由此得递推公式：D a xD ，利用此递推公式可得n n n 1D a xD 1 a x （a 1 xD 2 ）n n n n n na a x x Dn 1 n a a x a x xn n 1 16利用范德蒙行列式例 6 计算行列式1 1 1x 1 x 1 xn 12 2 2D x x x x x x1 1 2 2 n nn 1 n 2 n 1 n 2 n 1 n 2x x x x x x解 把第 1 行的1 倍加到第 2 行，把新的第 2 行的1 倍加到第 3 行，以此类推直到把新的第 n1 行的1 倍加到第 n 行
10、，便得范德蒙行列式x x x1 2 nD x x x （ x x ）1 2 n i jn i j 1n 1 n 1 n 1 x x x7加边法（升阶法）加边法（又称升阶法） 是在原行列式中增加一行一列， 且保持原行列式不变的方法。例 7 计算 n阶行列式x a a aa x a aD a a an 1 2 na a x a0 解：1 x 0 0 第 行 减 第 1行ii 2 , , n 1 1 0 x 0（箭形行列式）1 0 0 xj 1x0 x 0 00 0 x 00 0 0 xx 1x j 18数学归纳法例 8 计算 n阶行列式用数学归纳法 . 当 n = 2 时D x（ x a ） a2
11、 1 2a x a2 1x a x a假设 n = k 时，有k k 1 k 2D x a x a x a x ak 1 2 k 1 k则当 n = k+1 时，把 Dk+1 按第一列展开，得D x D ak 1 k k 1k kx （ x a x a x a ） a1 k 1 k k 1k 1 k 2x a x a x a x a由此，对任意的正整数 n，有n n 1 2n 1 n 2 n 1 n9拆开法把某一行 （或列） 的元素写成两数和的形式， 再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以利计算。1 1 2例 9 计算行列式1 2 22 2 n0 0 an n n n1 D
12、 n 10 0a D1 2 n 1 n 1 i 1 i上面介绍了计算 n 阶行列式的常见方法， 计算行列式时， 我们应当针对具体问题，把握行列式的特点，灵活选用方法。学习中多练习，多总结，才能更好地掌握行列式的计算。ax by ay bz az bx x y z（1）ay bz az bx ax by （ a3 3 ;b ） y z xaz bx ax by ay bz z x y证明ax by ay bz az bxay bz az bx ax byaz bx ax by ay bzx ay bz az bx y ay bz az bxa y az bx ax by b z az bx ax
13、 byz ax by ay bz x ax by ay bzx ay bz z y z az bx2 2a y az bx x b z x ax byz ax by y x y ay bzx y z y z x3 3a y z x b z x yz x y x y zx y z x y za y z x b y z xz x y z x yx y za b ）yzz x y关于行列式的消项（其中 C 代表列 R 代表行）a ab b2a a b 2b 1 1（a b） 3;3;a ab a b ab 2b 132aa 2b3 1ab2b a b a（b a ）（ b a ） （a b） 1 2
14、1 1 1 1（3）4（a b）（ a c）（ a d）（ b c）（ b d）（ c d）（ a b c d）;b（b） c（ c（ d（c2 ,c3 ,c4 减数字去第一0 b2 b a 2 c 2 c a 2 d 2 d 2 a（ ） （ ） （列的）（b a）（ c a ）（ d a）b c d2 b a c c a d d a（ b a）（ c a ）（ d a） 0 c b d b0 c （ c b）（ c b a ） d （ d b）（ d b a ）（b a）（ c a ）（ d a）（ c b ）（ d b ）c（ c（da ）=（a b）（ a c）（ a d）（ b c）
15、（ b d）（ c d）（ a b c d）（4）n a1xn 1 an 1x ana a x1 n 2 2证明 用数学归纳法证明当 n 2 时D 命题成立2 a a 1假设对于 （n 1）阶行列式命题成立 即Dn 1 xn 1 a1 xn 2 an 2x an 1则 Dn 按第一列展开 有D xD a （ 1）n n 1 n1 1 x 1xD n 1 an x因此 对于 n 阶行列式命题成立 6 设 n 阶行列式 D det（aij ）,把 D 上下翻转、或逆时针旋转 90 、或依副对角线翻转 依次得D D D1 2 3n （ n 1）证明 D1 D （ 1） D D3 D证明 因为 D det（aij） 所以D1 （ 1）11 1n2n21 2 n31 3n1 2 （ 1）n 2 ） （ n 2同理可证n （n 1）TD 2 （ 1） D D（ 1） （ 1） a a1n nnn（ n 1 ） n（ n 1） n （n 1）3 （ 1） 2 D （ 1） 2 （ 1） 2 D （ 1） D7 计算下列各行列式 （Dk 为 k 阶行列式 ）a 1（1） , 其中对角线上元素都是 a 未写出的元素
