1、高考数学北师大版通用理总复习讲义45函数yAsinx+的图像及应用4.5函数yAsin(x)的图像及应用1 yAsin(x)的有关概念yAsin(x)(A0，0)，x0，)振幅周期频率相位初相ATfx2 用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示.xx02YAsin(x)0A0A03 函数ysin x的图像经变换得到yAsin(x)的图像的步骤如下：1 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)作函数ysin(x)在一个周期内的图像时，确定的五点是(0,0)，(，1)，(，0)，(，1)，(2，0)这五个点 ()(2)将y3sin 2x的图像向左平移个单位
2、后所得图像的解析式是y3sin(2x)()(3)ysin(x)的图像是由ysin(x)的图像向右移个单位得到的 ()(4)ysin(2x)的递减区间是(k，k)，kZ. ()(5)函数f(x)sin2x的最小正周期和最小值分别为，0. ()(6)函数yAcos(x)的最小正周期为T，那么函数图像的两个相邻对称中心之间的距离为. ()2 把函数ysin(x)图像上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将图像向右平移个单位，那么所得图像的一条对称轴方程为 ()Ax BxCx Dx答案A解析将ysin(x)图像上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数ysin(2x)；再将图像向右平移个
3、单位，得到函数ysin2(x)sin(2x)，x是其图像的一条对称轴方程3 (2013四川)函数f(x)2sin(x)(0， 0)，将yf(x)的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于 ()A. B3 C6 D9答案C解析由题意可知，nT(nN)，n(nN)，6n (nN)，当n1时，取得最小值6.5 已知简谐运动f(x)2sin (|)的图像经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相分别为_答案6，解析由题意知12sin ，得sin ，又|0)的周期为.(1)求它的振幅、初相；(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图像；(3)说明函数f(x)的图像
4、可由ysin x的图像经过怎样的变换而得到思维启迪将f(x)化为一个角的一个三角函数，由周期是求，用五点法作图要找关键点解(1)f(x)sin xcos x2(sin xcos x)2sin(x)，又T，即2.f(x)2sin(2x)函数f(x)sin xcos x的振幅为2，初相为.(2)令X2x，则y2sin2sin X.列表，并描点画出图像：xX02ysin X01010y2sin02020(3)方法一把ysin x的图像上所有的点向左平移个单位，得到ysin的图像，再把ysin的图像上的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到ysin的图像，最后把ysin上所有点的纵坐标伸长到原来
5、的2倍(横坐标不变)，即可得到y2sin的图像方法二将ysin x的图像上每一点的横坐标x缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到ysin 2x的图像；再将ysin 2x的图像向左平移个单位，得到ysin 2sin的图像；再将ysin的图像上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y2sin的图像思维升华(1)五点法作简图：用“五点法”作yAsin(x)的简图，主要是通过变量代换，设zx，由z取0，2来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图像(2)图像变换：由函数ysin x的图像通过变换得到yAsin(x)的图像，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”已知函数
6、f(x)3sin，xR.(1)画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图；(2)将函数ysin x的图像作怎样的变换可得到f(x)的图像？解(1)列表取值：xx02f(x)03030描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图(2)先把ysin x的图像向右平移个单位，然后把所有的点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f(x)的图像题型二求函数yAsin(x)的解析式例2(1)已知函数f(x)2sin(x)(其中0，|0，|0)的图像的一部分如图所示，则该函数的解析式为_思维启迪(1)根据周期确定，据f(0)和|确定；(2)由点(0,1)在图像上和|0
7、，|)的最小正周期为，T，2.f(0)2sin ，即sin (|)，.(2)观察图像可知：A2且点(0,1)在图像上，12sin(0)，即sin .|0)来确定；的确定：由函数yAsin(x)k最开始与x轴的交点(最靠近原点)的横坐标为(即令x0，x)确定.如图为yAsin(x)的图像的一段(1)求其解析式；(2)若将yAsin(x)的图像向左平移个单位长度后得yf(x)，求f(x)的对称轴方程解(1)由图像知A，以M为第一个零点，N为第二个零点列方程组解之得所求解析式为ysin.(2)f(x)sinsin，令2xk(kZ)，则x(kZ)，f(x)的对称轴方程为x(kZ)题型三函数yAsin(
8、x)的应用例3已知函数f(x)Asin(x)(A0，0，|，xR)的图像的一部分如下图所示(1)求函数f(x)的解析式；(2)当x6，时，求函数yf(x)f(x2)的最大值与最小值及相应的x的值思维启迪(1)解(1)由图像知A2，T8，T8，.又图像经过点(1,0)，2sin()0.|，.f(x)2sin(x)(2)yf(x)f(x2)2sin(x)2sin(x)2sin(x)2cos x.x6，x，当x，即x时，yf(x)f(x2)取得最大值；当x，即x4时，yf(x)f(x2)取得最小值2.思维升华利用函数的图像确定解析式后，求出yf(x)f(x2)，然后化成一个角的一个三角函数形式，利用
9、整体思想(将x视为一个整体)求函数最值(1)已知函数y2sin(x)为偶函数(0)，其图像与直线y2的某两个交点的横坐标为x1、x2，若|x2x1|的最小值为，则 ()A2， B，C， D2，(2)如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s cm和时间t s的函数关系式为s6sin(2t)，那么单摆来回摆动一次所需的时间为 ()A2 s B sC0.5 s D1 s答案(1)A(2)D解析(1)y2sin(x)为偶函数，.图像与直线y2的两个交点的横坐标为x1、x2且|x2x1|min，2.(2)T1，选D.三角函数图像与性质的综合问题典例：(12分)已知函数f(x)2sin()co
10、s()sin(x)(1)求f(x)的最小正周期(2)若将f(x)的图像向右平移个单位，得到函数g(x)的图像，求函数g(x)在区间0，上的最大值和最小值思维启迪(1)先将f(x)化成yAsin(x)的形式再求周期；(2)将f(x)解析式中的x换成x，得g(x)，然后利用整体思想求最值规范解答解(1)f(x)2sin()cos()sin(x)cos xsin x 3分2sin(x) 5分于是T2. 6分(2)由已知得g(x)f(x)2sin(x) 8分x0，x，sin(x)，1， 10分g(x)2sin(x)1,2 11分故函数g(x)在区间0，上的最大值为2，最小值为1. 12分解决三角函数图像与性质的综合问题的一般步骤：第一步：将f(x)化为asin xbcos x的形式第二步：构造f(x)(sin xcos x)第三步：和角公式逆用f(x)sin(x)(其中为辅助角)第四步：利用f(x)
