1、摘要本文共分两个模型，分别针对放牧的羊数和每年保留的羊数，夏季要供给冬季的草量进行讨论第一个模型，我们以养一种羊的方式，即第一年只养1龄羊，第二年只养2龄羊（小羊在秋季卖出），而到第五年的时候将所有的5龄羊全卖，第六年又重新循环。如此再根据所给的条件来对牧场所能放牧多少羊进行求解第二个模型，在第一个模型的前提下，我们改进第一个模型，因为我们计算出秋季草量过剩而春季不足，而且考虑到鲜草和甘草的转化问题，所以我们提出相应的假设进行求解。最后在第二个模型的基础上，分别回答题目所提的三个问题。关键词: 线性规划 优化 牧场管理一、问题重述有一块一定面积的草场放牧羊群，管理者要估计草场能放牧多少羊，每年
2、保留多少母羊羔，夏季要贮存多少草供冬季之用.为解决这些问题调查了如下的背景材料：（1）本地环境下这一品种草的日生长率为季节 冬 春 夏 秋日生长率（g/m2） 0 3 7 4（2）羊的繁殖率 通常母羊每年产13只羊羔，5岁后被卖掉。为保持羊群的规模可以买进羊羔，或者保留一定数量的母羊。每只母羊的平均繁殖率为年龄 01 12 23 34 45产羊羔数 0 1.8 2.4 2.0 1.8（3) 羊的存活率 不同年龄的母羊的自然存活率（指存活一年）为年龄 12 23 34 存活率 0.98 0.95 0.80 （4）草的需求量 母羊和羊羔在各个季节每天需要的草的数量（kg）为季节 冬 春 夏 秋母羊
3、 2.10 2.40 1.15 1.35羊羔 0 1.00 1.65 0二、模型建立与分析针对以上问题，我们对其数据进行了分析，并建立了线性规划模型，以下是我们的建模过程：（一）、按照以下假设建模：1.1、模型假设：（1） 只考虑羊的数量，不考虑体重。（2） 母羊只在春季产羊羔，公母羊羔各占一半，当年秋季将全部公羊羔和部分母羊羔卖掉，以保持母羊（每个年龄的）数量不变。（3） 假设牧场的面积为:A=1000000；1.2、 符号说明：00.5年龄段母羊羔为：x00.51年龄段母羊为：x112年龄段母羊为：x223年龄段母羊为：x334年龄段母羊为：x445年龄段母羊为：x5春季产草量：n1夏季产
4、草量：n2秋季产草量：n3冬季产草量：n4春季羊吃草总量：m1夏季羊吃草总量：m2秋季羊吃草总量：m3冬季羊吃草总量：m41.3、 计算各个年龄段羊的数量：x2=x1;由12年龄段母羊存活率为0.98可得：x3=0.98x2； 由23年龄段母羊存活率为0.95可得：x4=0.95*x3；由34年龄段母羊存活率为0.80可得：x5=0.80*x4； 每年龄段的母羊所生羊羔数的总和：x0=1.8*x2+2.4*x3+2.0*x4+1.8*x5；1.4、 计算每季节的产草量：n1=90*3*A/1000（kg）；n2=90*7*A/1000（kg）；n3=90*4*A/1000（kg）；n4=0（k
5、g）；1.5、计算每季节羊吃草量：m1=(x2+x3+x4+x5)*2.4*90+x0*1*90(kg)m2=(x2+x3+x4+x5)*1.15*90+x0*1.65*90(kg)m3=(x1+x2+x3+x4+x5)*1.35*90(kg)m4=(x1+x2+x3+x4+x5)*2.1*90(kg)1.6、一年下来羊吃的草量不能大于一年草的总产量1.7、 所要求的羊的总数为：max=x1+x2+x3+x4+x5由上述线性规划模型可得出：解得：A=1000000x0=2118x1=288x2=288x3=282x4=268x5=214m1=418052.2752m2=423515.32992
6、m3=162915.7536m4=253424.5056n1=270000n2=630000n3=360000n4=0所以，每年所保留下来的母羊羔为288(x1),此牧场能放牧的羊数为1340只（x1+x2+x3+x4+x5）。但此模型缺少夏季供给冬季的草量，再加上考虑鲜草向甘草的转化率，因此我们引入模型二。（二）、 在模型一的基础上，我们加上如下条件：仔细观察上面模型，可以发现一个问题，我们不难发现草的产量每个季节是不一样的，尤其冬季草是完全不生长的，所以必须调节每季节的草，于是，我们添加假设：2.1、模型假设：（4）春季秋季生长出的草自给自足（5）冬季所需的草由夏季提供（6）夏季保存到冬季
7、的草重量不变，只剩50%的能量2.2、符号说明：00.5年龄段母羊羔为：x00.51年龄段母羊为：x112年龄段母羊为：x223年龄段母羊为：x334年龄段母羊为：x445年龄段母羊为：x5春季产草量：n1夏季产草量：n2秋季产草量：n3冬季产草量：n4春季羊吃草总量：m1夏季羊吃草总量：m2秋季羊吃草总量：m3冬季羊吃草总量：m4夏季保存给冬季的草的质量：t2.3、计算各个年龄段羊的数量：x2=x1;由12年龄段母羊存活率为0.98可得：x3=0.98x2； 由23年龄段母羊存活率为0.95可得：x4=0.95*x3；由34年龄段母羊存活率为0.80可得：x5=0.80*x4； 每年龄段的母
8、羊所生羊羔数的总和：x0=1.8*x2+2.4*x3+2.0*x4+1.8*x5；2.4、各季节羊的吃草量春季羊的吃草量：m1=x0*1*90+(x2+x3+x4+x5)*2.4*90 (kg)夏季羊的吃草量：m2=x0*1.65*90+(x2+x3+x4+x5)*1.15*90 (kg)秋季羊的吃草量：m3=(x1+x2+x3+x4+x5)*1.35*90 (kg)冬季羊的吃草量：m4=2*(x1+x2+x3+x4+x5)*2.1*90 (kg)计算每季节的产草量：n1=90*3*A/1000（kg）；n2=90*7*A/1000（kg）；n3=90*4*A/1000（kg）；n4=0（kg
9、）；春季羊的吃草量不能大于本季节产草量：m1=n1夏季产草量大于等于夏季羊的吃草量加上留给冬季的草量：m2+t=n2秋季羊的吃草量不能大于本季节产草量：m3=n3冬季羊的吃草量等于夏季留下来的草量：m4=t通过以上分析可以得到如下max x1+x2+x3+x4+x5解得：x0=1367x1=186x2=186x3=182x4=172x5=137m1=269992.0944m2=273520.31724m3=105216.4242m4=327339.9864n1=270000n2=630000n3=360000n4=0t=327339.9864所以，每年所保留下来的母羊羔为186(x1),此牧场
10、能放牧的羊数为863（x1+x2+x3+x4+x5）。夏季保存在冬季的草量为：t=327339.9864。由结果可知春季的产草量为n1=270000kg，羊吃的总草量为：m1=269992.0944kg，所以春季基本上没什么浪费。夏季的产草量为：n2=630000kg，夏季和冬季羊的总吃草量为：m2+m4=600860.30354kg。浪费了：n2- m2-m4=29139.69636kg秋季的产草量为：n3=360000kg，羊的吃草量为：m3=105216.4242kg。；浪费了：n3-m3=253783.5758kg。可见浪费了很多，这也是本模型的缺点。冬季羊吃的草由夏季提供、没什么浪费
11、。 因此，我们引入模型三来解决草量的浪费问题。（三）、模型三：3.1模型假设：在模型二的基础上假设六删除；3.2 模型求解：将各个季节的吃草量与产草量之间的关系改为：夏季产草量大于等于夏季羊的吃草量：m2=n2秋季吃草量小于等于秋季羊的产草量家上夏季留下来的草量：m3=n3+n2-m2冬季羊的吃草量小于等于秋季留下来的草量：m4=n3+n2-m2-m3春季羊的吃草量不能大于本季节产草量加上冬季吃剩的草量：m1=n1+n2-m2+n3-m3通过以上分析可以得到如下max x1+x2+x3+x4+x5解得：A=1000000x0=2118x1=288x2=288x3=282x4=268x5=214
12、m1=418052.2752m2=423515.32992m3=162915.7536m4=253424.5056n1=270000n2=630000n3=360000n4=0结果分析：夏季的时候产草量是n2=630000（kg），吃草量是m2=423515.32992（kg）；留下了630000423515.32992206484.67008（kg）草给秋季。秋季的产草量是n3=360000（kg），吃草量是m3=162915.7536（kg）；留下了360000+206484.67008-162915.7536403568.91648（kg）草给冬季。冬季的产草量为0，吃草量为m4=253
13、424.5056（kg），留下了403568.91648253424.5056150144.41088（kg）草给春季。春季的产草量为n1=270000（kg），吃草量为m1=418052.2752（kg）。全年下来浪费的草量为150144.41088+270000418052.27522092.13568（kg）。三、三个模型的结果比较模型一：是把一年看成一个整体来求解得出的结果不是很符合实际。存在缺陷。因此引入模型二。模型二：在模型一的基础上改善，把四个季节都作为约束，从而保证每个季节的羊都能吃到草，符合实际。情况较好。但模型二浪费很严重。对农民来说会有很大的损失。考虑到此点，我们引入模型三。模型三：综合考虑模型一个模型二的所有问题。引入每个季节剩下的草将会留给下给季节用。此假设合理，符合实际。得出的结果，草的浪费比较少。结果令人满意。四、参考文献1、姜启源 谢金星 等编，数学模型，第四版，北京：高等教育出版社。2、赵静 但琦主编 数学建模与数学实验，北京：高等教育出版社，2008.13、杨桂元 黄己立主编 数学建模，合肥：中国科学技术大学出版社，2008.811
