1、0.4055内积分限为函数：先画图：x=.001:.01:3;y1=1./（2*x）;y2=sqrt（2*x）;plot（x,y1,o,x,y2,*,2.5,-.5:3）axis（-.5 3 -.5 3）legend（y1=1./（2*x）y2=sqrt（2*x）x=2.5）确定积分限：y1=（2*x*y=1y2=（y-sqrt（2*x）=0x,y=solve（y1,y2,x,y）1/2y =1得到解：f=exp（-x2-y2）;y1=1/（2*x）;jfy=int（f,y,y1,y2）;jfx=int（jfy,x,.5,2.5）;jf2=vpa（jfx）jf2 =.1241279880872
2、5833867150108282287常微分方程求解：dsolve（eqnvar） %eqn是常微分方程，var是变量，默认是teqn1eqn2,.eqnm通解： s=dsolve（Dx=yDy=-x）,y=s.y,x=s.xs = x: 1x1 sym y:C1*sin（t）+C2*cos（t）-C1*cos（t）+C2*sin（t）特解：condition1condition n y=dsolve（D2y=cos（2*x）y（0）=1Dy（0）=0simplify（y）-1/4*cos（2*x）+5/4解析解： dsolve（Dy=y-2*x/y（2*x+1）（1/2）数值解：x=0:.1
3、:4;y=sqrt（1+2*x）;odefun=inline（s-2*t/stst,s=ode45（odefun,0,4,1）;plot（x,y,o-,t,s,*-高阶微分方程式必须等价变化为一阶微分方程组：D2x-1000（1-x2）*Dx+x=0,x（0）=0,Dx（0）=1,（默认自变量为t）令：y1=x,y2=Dy1，则原微分方程组可化为： Dy1=y2,Dy2= 1000（1-y12）*y2-y1,y1（0）=0,y2（0）=1.建立程序：function dy=weifen1（t,y）dy=zeros（2,1）;dy（1）=y（2）;dy（2）=1000*（1-y（1）2）*y（2
4、）-y（1）;% t取值：0 3000,初值：0 1T,Y=ode15s（weifen1,0 3000,0 1）;plot（T,Y（:,1）,go-求刚性微分方程： Dy1=-.01*y1-99.99*y2, Dy2=-100*y2, y1（0）=0,y2（0）=1.function f=weifen2（t,y）f=-.01*y（1）-99.99*y（2）,-100*y（2）;0 400,初值：2,1 t,y=ode15s（weifen2,0 400,2 1）;plot（t,y,m*-多项式的表达式与根的求解：poly2sym（p） %由多项式系数转为多项式函数polyval（p,a） %求p
5、（a）roots（p） %求所有复数根poly（r） %由根向量r求多项式 p=1 0 -2 3;px=poly2sym（p）px =x3-2*x+3 y=polyval（p,2） 7 p=1 0 -2 1;q=1 0 2 3;x1=roots（p）x2=roots（q）x1 = -1.6180 1.0000 0.6180x2 = 0.5000 + 1.6583i 0.5000 - 1.6583i -1.0000 多项式的四则运算：syms xconv（p1,p2） %求p1（x）与p2（x）的乘积q,r=deconv（p1,p2） %q（x）=p1（x）/p2（x）+r（x）求两多项式的和：
6、p1=1 0 -2 1;p2=-1 0 1 0 -2 3;m=length（p1）;n=length（p2）;t=max（m,n）;p1=zeros（1,t-m）,p1;p2=zeros（1,t-n）,p2;p=p1+p2p = -1 0 2 0 -4 4 %求两多项式的积p3=conv（p1,p2）p=poly2sym（p3）p3 = -1 0 3 -1 -4 4 4 -8 3-x8+3*x6-x5-4*x4+4*x3+4*x2-8*x+3求多项式的除：p=-1 0 3 -1 -4 4 4 -8 3;p2=1 0 -2 3;q1,r1=deconv（p,p1）q2,r2=deconv（p,p
7、2）poly2sym（q1）poly2sym（r1）poly2sym（q2）poly2sym（r2）q1 = -1 0 1 0 -2 3r1 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0q2 = -1 0 1 2 -2 5r2 = 0 0 0 0 0 0 -6 8 -12-x5+x3-2*x+3-x5+x3+2*x2-2*x+5-6*x2+8*x-12多项式的合并与分解：collect（f） %合并同类项expand（f） %展开horner（f） %嵌套分解factor（f） %因式分解 syms x tf1=（x-1）*（x-2）*（x-3）;f2=（1+x）*t+t*x;p1=collect（
8、f1）p2=collect（f2）p1 =-6+x3-6*x2+11*xp2 =2*t*x+tf1=-6+x3-6*x2+11*x;f2=x5-2*x2+1;p1=horner（f1）p2=horner（f2）-6+（11+（-6+x）*x）*x1+（-2+x3）*x2p1=factor（f1）p2=factor（f2）（x-1）*（x-2）*（x-3）（x-1）*（x4+x3+x2-x-1）有理分式的分解与合并：a,b,c=residue（p,q） %将p（x）/q（x）分解为最简分式之和p,q=residue（a,b,r） %将简单分式之和合并为有理分式p=1 0 0 0 0 0;q=1
9、-1 -2;a,b,r=residue（p,q） %a表示分子a = 10.6667 0.3333b = 2 -1r = 1 1 3 5即：x5/（x2-x-2） = 10.6667/（x-2）+0.3333/（x+1）+x2+x3+3*x+5 format rata 32/3 1/3 将有理式分解为最简分式之和：p=1 0 1;q=1 -6 11 -6;a,b,r=residue（p,q） 5.0000 -5.0000 3.0000 2.0000 将有理式 分解为最简式之和： p=1;q=1 0 0 0 -1; 0.2500 0.0000 + 0.2500i 0.0000 - 0.2500i
10、 -0.2500 1.0000 -0.0000 + 1.0000i -0.0000 - 1.0000i将简单分式合并：a=32/3 1/3;b=2,-1;r=1 1 3 5;p,q=residue（a,b,r） 1 0 0 0 0 0q = 1 -1 -2计算行列式： D=2 -3 -1 2;1 -5 3 -4;0 2 1 -1;-5 1 3 -3;det（D） -75 syms a bA=a2 a*b b2;2*a a+b 2*b;1 1 1;det（A）a3-3*a2*b+3*a*b2-b3克莱姆法则求解线性方程组： D=1 1 1;2 1 -1;1 -1 -1; %系数矩阵D1=2 1
11、1;-1 1 -1;0 -1 -1;D2=1 2 1;2 -1 -1;1 0 -1;D3=1 1 2;1 -1 0;x1=det（D1）/det（D）;x2=det（D2）/det（D）;x3=det（D3）/det（D）;x1,x2,x3 1x3 =矩阵的生成：zeros（m,n）ones（m,n）rand（m,n） %0到1之间的均匀分布randn（m,n） %服从标准正态分布magic（n） diag（M） %取上三角矩阵triu（M）tril（M）length（M）size（M）eye（n）hilb（n） %病态矩阵 a（i,j）=1/（i+j-1）pascal（n） A=magic（
12、3）A = 8 1 6 3 5 7 4 9 2 A1=diag（A）,A2=diag（A1）A1 = 8 5A2 = 8 0 0 0 5 0 0 0 2 triu（A）,triu（A,1）,triu（A,-1）, 0 5 7 0 1 6 0 0 7 0 0 0 0 9 2 A=hilb（4）,A1=pascal（4） 1.0000 0.5000 0.3333 0.2500 0.5000 0.3333 0.2500 0.2000 0.3333 0.2500 0.2000 0.1667 0.2500 0.2000 0.1667 0.1429 1 1 1 1 1 2 3 4 1 3 6 10 1 4
13、 10 20矩阵的取块和变换：A（i,:A（:,j） %排成一列A（i,j）A（i:j,:,i:j）j,k:l）B=reshape（A,m,n）B=rot90（A） %逆时针旋转90度B=fliplr（A）B=flipud（A）A（a,:）= % 空矩阵的一部分，会改变维数A（Aa）=b %把大于a之处重新赋值B=sort（A） %把每一列的元素从小到大排列 B=A1（1:2,1:2）,B1=B（:B = 1 1 1 2B1 = A=hilb（3）,B=sort（A） 1.0000 0.5000 0.3333 0.5000 0.3333 0.2500 0.3333 0.2500 0.20001
14、.0000 0.5000 0.3333矩阵的基本运算：A+（-）B %同维A+k %所有元素都加kA*B %矩阵的乘法A*k,k*A %所有元素都乘以kA.*B %同维矩阵对应元素相乘A./BA/BABA. %A的转置A %A的共轭转置，在实数域内就是转置A（-1）或inv（A） %矩阵的逆AkA.kA（1/2）或sqrtm（A）sqrt（A） %矩阵中的元素开方 %求解矩阵方程：X*A=B,A*Y=BA=1 2;3 4;B=1 2;-1 0;X=B*inv（A）X1=B/AY=inv（A）*BY1=ABX = 1.0000 0 2.0000 -1.0000X1 = 1 0 2 -1Y = -
15、3.0000 -4.0000 2.0000 3.0000Y1 =2.0000 3.0000 %求矩阵的范数A1=norm（A,1）A2=norm（A,2）A3=norm（A,inf） 6 5.4650A3 = %求矩阵的条件数A1=cond（A） 14.9330%求解线性方程组rank（A） %秩rref（A） %行的最简形null（A） %系数矩阵为A的基础解系null（A,r） %有理数形式的基础解系 A=magic（4）zhi=rank（A）zjh=rref（A）jcjx=null（A） 16 2 3 13 5 11 10 8 9 7 6 12 4 14 15 1zhi = 3zjh =
16、 1 0 0 1 0 1 0 3 0 0 1 -3 0 0 0 0jcjx = -0.2236 -0.6708 0.6708 0.2236 A=magic（4）;B=1 2 3 4Az=A,B,a1=rank（A）,a2=rank（Az）Az = 16 2 3 13 1 5 11 10 8 2 9 7 6 12 3 4 14 15 1 4a1 =a2 = 4当系数矩阵的秩不等于增光矩阵的秩时，原方程组无解，但可以求出最小二乘解（X=A/b）（即A*X-b取最小值时的解）当系数矩阵的秩等于增光矩阵的秩，且秩等于方程组中方程的个数时，原方程组有唯一解，用X=A/b可求出当系数矩阵的秩等于增光矩阵的
17、秩，且秩小于方程组中方程的个数时，原方程组有无穷多解，则X=A/b求得的是一个特解jcjx=null（A） 可求出基础解系，则原方程的通解为：xt=x+k1*jcjx,k1为任意实数 X=ABWarning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 4.625398e-018. 1.0e+015 * 1.5897 4.7691 -4.7691 -1.5897一般情况下：设解得X=a,b,则可用 对原数据进行拟合特征值和特征多项式：trace（A） %迹poly（A） %矩阵A
18、特征多项式的系数a,b=eig（A） %A的特征列向量a，对角矩阵b为特征值B=orth（A） %正交化空间 A=1 2;a=trace（A）,b=poly（A）,c=roots（b） 1.0000 -5.0000 -2.0000c = 5.3723 -0.3723 A 3 4 c,d=eig（A） -0.8246 -0.4160 0.5658 -0.9094d = -0.3723 0 0 5.3723 orth（A） -0.4046 -0.9145 -0.9145 0.4046 %求一个正交矩阵p，使得inv（P）*A*p=B，B为对角矩阵A=0 -1 1;-1 0 1;1 1 0;a,b=
19、eig（A）p=orth（a）B=inv（p）*A*p %验证p*inv（p） %验证 -0.5774 -0.5216 0.6282 -0.5774 0.8048 0.1376 0.5774 0.2832 0.7658 -2.0000 0 0 0 1.0000 0 0 0 1.0000 -0.5774 0.7951 0.1856 -0.5774 -0.2368 -0.7814 0.5774 0.5583 -0.5958 -2.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 1.0000 1.0000 -0.0000 -0.000
20、0 -0.0000 1.0000 0.00000.0000 0.0000 1.0000若不要求正交变换，则只要a可逆，则a即为所求： inv（a） -0.5774 -0.5774 0.5774 -0.5216 0.8048 0.2832 0.6282 0.1376 0.7658 inv（a）*A*a -2.0000 -0.0000 0.00000.0000 -0.0000 1.0000求一个正交变换 x=P*y,把二次型化为标准形 %二次型矩阵为：A=0 1 1 -1;1 0 -1 1;1 -1 0 1;-1 1 1 0P=orth（a）B=P*A*PP*P 0 1 1 -1 1 0 -1 1
21、 1 -1 0 1 -1 1 1 0 -0.5000 -0.0788 0.2887 -0.8127 0.5000 0.6644 -0.2887 -0.4746 0.5000 -0.7432 -0.2887 -0.3381 -0.5000 0 -0.8660 0 -3.0000 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 1.0000P = -0.5000 0.2887 -0.8127 -0.0788 0.5000 -0.2887 -0.4746 0.6644 0.5000 -0.2887 -0.3381 -0.7432 -0.5000 -0.8660 -0.0000 -0.0000 -3.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 1.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.00000.0000 0.0000 0.0000 1.0000即得标准形为：将P的列向量移动可相应的交换标准型的系数
