1、例1求下列函数的极值：（1）f（x）2x33x212x1；（2）f（x）3ln x.反思与感悟求可导函数f（x）的极值的步骤（1）确定函数的定义域，求导数f（x）（2）求方程f（x）0的根（3）利用f（x）与f（x）随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值特别提醒：在判断f（x）的符号时，借助图象也可判断f（x）各因式的符号，还可用特殊值法判断跟踪训练1已知函数f（x）ex（axb）x24x，曲线yf（x）在点（0，f（0）处的切线方程为y4x4.（1）求a，b的值；（2）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值类型二已知函数极值求参数例2已知f（x）x33ax2bxa2在
2、x1时有极值0，求常数a，b的值引申探究若本例的条件改为“x3，x1是f（x）x33ax2bxa2的两个极值点”，求常数a，b的值反思与感悟已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点：（1）根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解（2）因为导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性跟踪训练2已知函数f（x）ax3bx2cx在xx0处取得极大值5，其导函数yf（x）的图象经过点（1,0），（2,0），如图所示，求：（1）x0的值；（2）a，b，c的值类型三函数极值的综合应用例3设函数f（x）x36x5，xR.（1）求
3、函数f（x）的单调区间和极值；（2）若关于x的方程f（x）a有三个不同的实根，求实数a的取值范围反思与感悟利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便跟踪训练3已知函数f（x）x36x29x3，若函数yf（x）的图象与yf（x）5xm的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围1如图为yf（x）的导函数的图象，则下列判断正确的是（）f（x）在（3,1）上为增函数；x1是f（x）的极小值点；f（x）在（2,4）上为减函数，在（1,2）上是增函数；x2是f（x）的极
4、小值点A BC D2函数f（x）x34x4的极大值与极小值之和为（）A8 B. C10 D123函数f（x）x3ax23x9，已知f（x）在x3时取得极值，则a等于（）A2 B3 C4 D54已知f（x）x3ax2（a6）x1有极大值和极小值，则a的取值范围为（）A1a2 B36Ca2 Da5已知函数f（x）ax2bln x在x1处有极值.（2）判断f（x）的单调区间，并求极值1在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值2函数的极值是函数的局部性质可导函数f（x）在点xx0处取得极值的充要条件是f（x0）0且在xx0两侧f（x）符号相反3利用函数的极值可以
5、确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题答案精析问题导学知识点一思考1函数在点xa处的函数值f（a）比它在点xa附近的其他点的函数值都小思考2f（a）0，在点xa附近的左侧f（x）0.思考3函数在点xb处的函数值f（b）比它在点xb附近的其他点的函数值都大，f（b）0，且在点xb附近的左侧f（x）0，右侧f（x）（2）题型探究例1解（1）函数f（x）2x33x212x1的定义域为R，f（x）6x26x126（x2）（x1），解方程6（x2）（x1）0，得x12，x21.当x变化时，f（x）与f（x）的变化情况如下表：x（，2）2（2,1）1（1，）f（x）f（x）极大值21极小值6所以当
6、x2时，f（x）取极大值21；当x1时，f（x）取极小值6.（2）函数f（x）3ln x的定义域为（0，），f（x），令f（x）0，得x1.当x变化时，f（x），f（x）的变化情况如下表：（0,1）极小值3因此当x1时，f（x）有极小值3，无极大值跟踪训练1解（1）因为f（x）ex（axb）aex2x4ex（axab）2x4，所以f（0）ab44， 又f（0）b4， 由可得ab4.（2）f（x）ex（4x4）x24x，f（x）ex（4x8）2x44ex（x2）2（x2）（x2）（4ex2）解f（x）0，得x12，x2ln 2，（2，ln 2）ln 2（ln 2，）极大值极小值f（x）在（，2）
7、，（ln 2，）上单调递增，在（2，ln 2）上单调递减当x2时，函数f（x）取得极大值，极大值为f（2）4（1e2）例2解因为f（x）在x1时有极值0，且f（x）3x26axb，所以即解得或当a1，b3时，f（x）3x26x33（x1）20，所以f（x）在R上为增函数，无极值，故舍去当a2，b9时，f（x）3x212x93（x1）（x3），当x（3，1）时，f（x）为减函数；当x（1，）时，f（x）为增函数，所以f（x）在x1时取得极小值，因此a2，b9.解因为f（x）3x26axb，由极值点的必要条件可知即解得所以a2，b9.跟踪训练2解（1）由图象可知，在区间（，1）上f（x）0，在区间
8、（1,2）上f（x）0，在区间（2，）上f（x）0.故f（x）在（，1），（2，）上单调递增，在（1,2）上单调递减，因此f（x）在x1处取得极大值，所以x01.（2）f（x）3ax22bxc，由f（1）0，f（2）0，f（1）5，得解得a2，b9，c12.例3解（1）f（x）3x26，令f（x）0，解得x1，x2.因为当x或x时，f（x）0；当x时，f（x）0.所以f（x）的单调递增区间为（，），（，）；单调递减区间为（，）当x时，f（x）有极大值54；当x时，f（x）有极小值54.（2）由（1）的分析知，yf（x）的图象的大致形状及走向如图所示所以，当54a54时，直线ya与yf（x）的图
9、象有三个不同的交点，即方程f（x）a有三个不同的实根跟踪训练3解由f（x）x36x29x3，可得f（x）3x212x9，f（x）5xm（3x212x9）5xmx2x3m，则由题意可得x36x29x3x2x3m有三个不相等的实根，即g（x）x37x28xm的图象与x轴有三个不同的交点g（x）3x214x8（3x2）（x4），令g（x）0，得x或x4.当x变化时，g（x），g（x）的变化情况如下表：（，）（，4）4（4，）g（x）g（x）m16m则函数g（x）的极大值为g（）m，极小值为g（4）16m.由yf（x）的图象与yf（x）5xm的图象有三个不同交点，解得16m.即实数m的取值范围为（16，）当堂训练1B当x（3，1）时，f（x）0，所以f（x）在（3，1）上为减函数，在（1,2）上为增函数，故不正确；x1是f（x）的极小值点，故正确；当x（2,4）时，f（x）0，f（x）是减函数，故正确；x2是f（x）的极大值点，故不正确2A由f（x）x240，得x12，x22，函数f（x）的极大值与极小值的和为f（2）f（2）8.3D因为f（x）3x22ax3，则f（3）3（3）22a（3）30，所以a5.4Df（x）3x22axa6，
