1、9利用一个球体毛坯切削后得到一个四棱锥PABCD,其中底面四边形ABCD是边长为1的正方形,PA=1,且,则球体毛坯体积的最小值应为( )10若定义在R上的减函数,对任意的,不等式成立,则当时,的取值范围是( )A B. C. D.11.甲、乙两位同学各拿出六张游戏牌,用作投骰子的奖品,两人商定:骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分,否则乙得1分,先积得3分者获胜得所有12张游戏牌,并结束游戏比赛开始后,甲积2分,乙积1分,这时因意外事件中断游戏,以后他们不想再继续这场游戏,下面对这12张游戏牌的分配合理的是( )A甲得9张,乙得3张 B甲得6张,乙得6张C甲得8张,乙得4张 D甲得10张,乙得
2、2张12. 已知,且在(-1, 1内有且仅有两个不同的零点,则实数m的取值范围是( )A B C D 第卷 (非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13. 执行程序框图,如果输入,那么输出 14. 设则 15. 已知双曲线C的离心率为2,左、右焦点为,点A在C上,若,则 。16. 数列的首项,则数列的通项公式= 三、解答题(共70分)17(本题满分12分)在ABC中,a、b、c分别是A、B、C的对边长,已知a、b、c成等比数列,且a2c2acbc,求A的大小及的值18(本题满分12分)某商场根据以往某种商品的销售记录,绘制了日销售量的频率分布表(如表)和频率分布
3、直方图(如图)分组频数频率0,50n10.15(50,100n20.25(100,150n30.30(150,200n40.20(200,250n50.10 将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立(1)求的值(2)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都高于100个且另1天的日销售量不高于50个的概率;(3)用X表示在未来3天里日销售量高于100个的天数,求随机变量X的分布列和数学期望 19(本小题满分12分) 已知四棱锥PABCD的三视图如下图所示,E是侧棱PC上的动点(1)是否不论点E在何位置,都有BDAE?证明你的结论;(2)若点E为PC的中点,求二面角DAEB的
4、大小.20. (本题满分12分)已知椭圆:的一个焦点为,而且过点.(1)求椭圆的方程; (2)设椭圆的上下顶点分别为,是椭圆上异于的任一点,直线分别交轴于点,若直线与过点的圆相切,切点为.证明:线段的长为定值,并求出该定值.21(本题满分12分)已知函数(常数.(1)当时,求曲线在处的切线方程;(2)讨论函数在区间上零点的个数(为自然对数的底数).(请在第22、23、24题中任选一题解答,满分10分)22已知AB是圆的直径,C为圆上一点,CDAB于点D,弦BE与CD、AC 分别交于点M、N,且MN = MC(1)求证:MN = MB;(2)求证:OCMN。23在直角坐标系中,圆,圆(1)在以为
5、极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆的极坐标方程,并求出圆的交点坐标(用极坐标表示)(2)求圆与圆的公共弦的参数方程24.已知函数(1)若不等式的解集为,求实数a的值;(2)在(1)的条件下,若存在实数使成立,求实数的取值范围.20152016学年度高三正月联考数学(理)试卷答案一、选择题(60分)题号123456789101112答案BCAD二、填空题(20分)13. 4 14. 128 15. 16. 三、解答题(70分)17解:(1)a、b、c成等比数列,b2ac又a2c2acbc,b2+c2a2bc在ABC中,由余弦定理得cosA,A60(6分)(2)解法一:在ABC中,由正弦
6、定理得sinB,b2ac,A60,sin60(12分)解法二:在ABC中,由面积公式得bcsinAacsinBb2ac,A60,bcsinAb2sinBsinA(12分)18.(1)解:由频率分布直方图,得: =, =(2分)(2)解:设A1表示事件“日销售量高于100个”,A2表示事件“日销售量不高于50个”,B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量高于100个且另1天销售量不高于50个”P(A1)=0.30+0.20+0.10=0.6,P(A2)=0.15,故所求概率:P(B)=0.60.60.152=0.108(5分)(3)解:依题意,X的可能取值为0,1,2,3,且XB(3,0.
7、6)(6分)P(X=0)= P(X=1)=P(X=2)= P(X=3)= (10分)X的分布列为XP0.0640.2880.4320.216EX=30.6=1.8(12分)19 解:(1) 不论点E在何位置,都有BDAE. 证明如下:由三视图可知,四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形,侧棱PC底面ABCD,且PC2. (1分) 连结AC,ABCD是正方形,BDAC. (2分)PC底面ABCD,且BD平面ABCD,BDPC. (3分)又ACPCC,BD平面PAC. (4分)不论点E在何位置,都有AE平面PAC.不论点E在何位置,都有BDAE. (5分)(2) 解法1:在平面DAE内过点D作D
8、FAE于F,连结BF. (6分)ADAB1,DEBE,AEAE,RtADERtABE,从而ADFABF,BFAE.DFB为二面角DAEB的平面角(9分)在RtADE中,DF, BF.又BD,在DFB中,由余弦定理得cosDFB,DFB, 即二面角DAEB的大小为.(12分)解法2:如图,以点C为原点,CD,CB,CP所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系(6分)则D(1,0,0),A(1,1,0),B(0,1,0),E(0,0,1),从而(0,1,0),(1,0,1),(1,0,0),(0,1,1) 设平面ADE和平面ABE的法向量分别为由,取由,取(10分)设二面角DAEB的平面角为
9、,则,(11分),即二面角DAEB的大小为 (12分) 20(1)解法一:由题意得, ,解得,(3分) 所以椭圆的方程为.4分 解法二:椭圆的两个焦点分别为, 由椭圆的定义可得,所以, ,(3分) (2)解法一:由(1)可知,设, 直线:,令,得;直线: (6分) 设圆的圆心为,则,(10分)而,所以,所以,所以,即线段的长度为定值.12分解法二:由()可知,设,则,(8分)而,所以,所以,(10分)由切割线定理得(11分)21解:(1)当 时,. .又,1分曲线在点处的切线方程为2分 (2),.因为,于是当时,当时,.所以在上是增函数,在上是减函数. 5分所以 6分讨论函数的零点情况如下,即
10、时,函数无零点,在上也无零点;7分当,即时,函数在内有唯一零点,而 ,在内有一个零点;9分当,即时,由于, ,当时,即时,由单调性可知,函数 在内有唯一零点、在内有唯一零点满足,在内有两个零点; 10分当时,即时,而且,由单调性可知,无论还是,在内有唯一的一个零点,在内没有零点,从而在内只有一个零点;12分综上所述,有:当时,函数无零点;当或时,函数有一个零点;当时,函数有两个零点.22. 证明:(1)连结AE,BC,AB是圆O的直径,AEB=90,ACB=90MN=MC,MCN=MNC又ENA=MNC,ENA=MCNEAC=DCB,EAC=EBC, MBC=MCB,MB=MCMN=MB 5分(2)设OCBE=F,OB=OC,OBC=OCB由(1)知,MBC=MCB,DBM=FCM又DMB=FMCMDB=MFC,即MFC=90OCMN 10分23解:圆的极坐标方程为,圆的极坐标方程为,解得,故圆与圆交点的坐标为 5分注:极坐标系下点的表示不唯一(2)(解法一)由,得圆与圆交点的直角坐标为故圆与圆的公共弦的参数方程为(或参数方程写成) 10分(解法二)将代入,得,从而于是圆与圆的公共弦的参数方程为24.解:(1)由得,即 5分(2)由()知令则的最小值为4,故实数的取值范围是10分