1、百校联盟届高三TOP20四月联考全国II卷数学理试题Word版含答案百校联盟2019届高三TOP20四月联考（全国II卷）数学（理）试题第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A B C. D 2.已知复数，则的虚部为（ ）A B C. D 3.已知，若，则（ ）A8 B10 C.11 D124.中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他活动的民间艺术，在中国，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是各种民俗活动的重要组成部分.在如图所示的古代正八边形窗花
2、矢量图片中，则向正八边形窗花矢量图片中任投一点，落在正方形中的概率为（ ）A B C. D 5.执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）A5 B11 C. 14 D196.过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，与双曲线的渐近线交于两点，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）A B C. D 7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A B C. D 8.已知，则不等式的解集为（ ）A B C. D 9.已知数列中，则（ ）A1028 B1026 C. 1024 D102210.已知，若存在点，使得，则的取值范围为（ ）A B C. D
3、 11.已知函数，则函数在上的所有零点之和为（ ）A B C. D 12.在三棱锥中，平面和平面所成角为，则三棱锥外接球的体积为（ ）A B C. D 第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知函数则 14.已知的展开式中所有项的系数之和为16，则展开式中含项的系数为 (用数字作答).15.抛物线的焦点为，其准线为直线，过点作直线的垂线，垂足为，则的 角平分线所在的直线斜率是 16.已知的内角的对边分别为，若，则的最小值为 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列的前项和满足，且是的等差中项，是
4、等差数列，.（1）求数列的通项公式；（2），求数列的前项和.18.如图所示，在三棱台中，和均为等边三角形，四边形为直角梯形，平面，分别为的中点.（1）求证:平面；（2）求二面角的余弦值.19.某企业有甲、乙两条生产线生产同一种产品，为了检测两条生产线产品的质量情况，随机从两条生产线 生产的大量产品中各抽取了 40件产品作为样本，检测某一项质量指标值，得到如图所示的频率分布直方图，若，亦则该产品为示合格产品，若，则该产品为二等品，若，则该产品为一等品.（1）用样本估计总体的思想，从甲、乙两条生产线中各随机抽取一件产品，试估计这两件产品中恰好一件为二等品，一件为一等品的概率；（2）根据图1和图2，
5、对两条生产线从样本的平均值和方差方面进行比较，哪一条生产线更好；（3）从甲生产线的样本中，满足质量指标值在的产品中随机选出3件，记为指标值在中的件数，求的分布列和数学期望20.已知为圆上一动点，圆心关于轴的对称点为，点分别是线段上的点，且.（1）求点的轨迹方程；（2）直线与点的轨迹只有一个公共点，且点在第二象限，过坐标原点且与垂直的直线与圆相交于两点，求面积的取值范围.21.已知函数的导函数为，且，其中为自然对数的底数.（1）求函数的最大值；（2）证明 ：.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知平面直角坐标系中，曲线的参数方
6、程为(为参数），直线，直线，以原点为极点，轴正半轴为极轴(取相同的长度单位）建立极坐标系.（1）写出曲线和直线的极坐标方程；（2）若直线与曲线交于两点，直线与曲线交于两点，求线段的长度. 23.选修4-5：不等式选讲已知.（1）当时，求不等式的解集；（2）若关于的不等式恒成立，求的取值范围.百校联盟2019届高三TOP20四月联考（全国II卷）数学（理）试题答案一、选择题1-5: ACDCB 6-10: BDBDC 11、12：CA二、填空题13. 0 14. 15. 16. 三、解答题17.（1）由题意知，当时，又因为，且，则，所以，又成等差数列，则，所以， 解得，所以数列是以1为首项，3为
7、公比的等比数列，故.设的公差为，则， 解得，所以.（2）由（1）得，所以，两式相减得，整理得.18.（1）取的中点，连接，则，因为平面，平面，所以平面，因为三棱台中，所以，因为平面，平面，所以平面，因为，所以平面平面， 因为平面，所以平面.（2）取的中点，连接，因为平面，平面，所以， 因为，所以平面，所以，因为为直角梯形，所以为正方形，所以，所以两两互相垂直，分别以为轴建立空间直角坐标系，因为，所以，由，得，所以，设平面的一个法向量为，由得，令，得，设平面的一个法向量为，由得令，得，所以 由图观察可知，平面与平面所成二面角为钝角，所以其余弦值为.19.（1）由频率分布直方图可知，甲生产线中二等
8、品的概率为，等品的概率为，乙生产线中二等品的概率为，一等品的概率为，所以两件产品中一件为二等品，一件为一等品的概率为.（2）设两条生产线样本的平均值分别为，则，由频率分布直方图可知，甲生产线的数据较为分散，乙生产线的数据较为集中，所以甲生产线的数据方差大于乙生产线的数据方差，所以乙生产线更好.（3）甲生产线样本质量指标值在的件数为，质量指标值在的件数为，由题意可知的取值为0，1，2，3；所以，.所以的分布列为： 的数学期望.20.（1）因为，所以为的中点，因为，所以，所以点在的垂直平分线上，所以，因为，所以点在以为焦点的椭圆上，因为，所以，所以点的轨迹方程为.（2）由得，因为直线与椭圆相切于点
9、， 所以，即，解得，即点的坐标为，因为点在第二象限，所以，所以， 所以点的坐标为，设直线与垂直交于点，则是点到直线的距离，设直线的方程为，则，当且仅当，即时，有最大值，所以，即面积的取值范围为.21.（1）因为，所以 ，解得则，所以，令，得，令得，所以当时，.（2）由（1）得的最大值为0，所以，即，从而，要证，即，故只需证，即证成立； 令则，令，则，令，得，因为单调递增，所以当时，单调递减，即单调递减.当时，单调递增， 即单调递增，因为，由零点存在定理可知，使得，故当或时，单调递增；当时，单调递减，所以的最小值是或.由，得，因为，所以，故当时，所以原不等式成立.22.（1）依题意，曲线，即，将代入上式得， 因为直线，直线，故直线的极坐标方程为.（2）设两点对应的极径分别为，在中，令得，令得，因为，所以.23.（1）当时，由，得，当时，由，得；当时，由，得；当时，由，得；综上所述，的解集为.（2）不等式，即为，即关于的不等式恒成立，而，当且仅当时等号成立，所以，解得或，解得或.所以的取值范围是.
