1、 对任意a,b G,ba=bae=ba（ab）2=ba（ab）（ab）=ba2b（ab）=beb（ab）=b2（ab）=e（ab）=ab因此G为交换群.方法2 a2b2=e=（ab）2,由上一题的结论可知G为交换群.3. 设G是一非空的有限集合,其中定义了一个乘法ab,适合条件:（1） a（bc）=（ab）c;（2） 由ab=ac推出a=c;（3） 由ac=bc推出a=b;证明G在该乘法下成一群.方法1 设G=a1,a2,an,k是1,2,n中某一个数字,由（2）可知若i j（I,j=1,2,n）,有akai ak aj-aiak aj ak-再由乘法的封闭性可知G=a1,a2,an=aka1
2、, aka2, akan-G=a1,a2,an=a1ak, a2ak, anak-由和知对任意at G, 存在am G,使得akam=at.知对任意at G, 存在as G,使得asak=at. 由下一题的结论可知G在该乘法下成一群. 下面用另一种方法证明,这种方法看起来有些长但思路比较清楚。方法2 为了证明G在给定的乘法运算下成一群，只要证明G内存在幺元（单位元），并且证明G内每一个元素都可逆即可. 为了叙述方便可设G=a1,a2,an.（） 证明G内存在幺元. 存在at G，使得a1at=a1.（这一点的证明并不难，这里不给证明）; 证明a1at= ata1; 因为a1（ata1）at=（
3、a1at） （a1at）=（a1）2a1（a1at）at=（a1a1）at=a1（a1at）= （a1）2,故此a1（ata1）at= a1（a1at）at.由条件（1）,（2）可得到a1at= ata1. 证明at就是G的幺元;对任意ak G,a1（atak） =（a1at）ak=a1ak由条件（2）可知atak=ak. 类似可证akat=ak.因此at就是G的幺元.（） 证明G内任意元素都可逆；上面我们已经证明G内存在幺元，可以记幺元为e，为了方便可用a,b,c,等符号记G内元素.下面证明任意a G，存在b G，使得ab=ba=e.2,作一阶为2n的非交换群.7. 设G是一群, a,b G
4、,如果a-1ba=br,其中r为一正整数,证明a-ibai= .我们采用数学归纳法证明. 当k=1时, a-1ba=br= , 结论成立；假设当k=n时结论成立, 即a-nban= 成立, 下面证明当k=n+1时结论也成立. 我们注意到a-1bka= = bkr,因此a-（n+1）ban+1= a-1 （a-nban）a=a-1 a= = ,可见k=n+1时结论也成立.由归纳原理可知结论得证.8. 证明:群G为一交换群当且仅当映射 是一同构映射.（）首先证明当群G为一个交换群时映射 是一同构映射.由逆元的唯一性及 可知映射 为一一对应，又因为,并且群G为一个交换群,可得.因此有 . 综上可知群
5、G为一个交换群时映射 是一同构映射.（）接着证明当映射 是一同构映射,则群G为一个交换群.若映射 是一同构映射,则对任意 有另一方面，由逆元的性质可知因此对任意 有即映射 是一同构映射,则群G为一个交换群.9. 设S为群G的一个非空子集合，在G中定义一个关系ab当且仅当ab-1 S.证明这是一个等价关系的充分必要条件为S是一个子群.首先证明若是等价关系，则S是G的一个子群.对任意a G,有aa,故此aa-1=e S；对任意a,b S,由（ab）b-1=a S,可知abb，又be-1=b S,故be,由传递性可知abe，即（ab）e-1=ab S.再者因ae-1=a S, 故ae,由对称性可知e
6、a，即ea-1=a-1 S.可见S是G的一个子群.接着证明当S是G的一个子群,下面证明是一个等价关系.对任意a G, 有aa-1=e S，故此aa（自反性）;若ab，则ab-1 S,因为S为G的子群，故（ab-1）-1=ba-1 S,因此ba（对称性）;若ab，bc,那么ab-1 S,bc-1 S,故ab-1 bc-1=ac-1 S，因此ac（传递性）.综上可知是一个等价关系.10. 设n为一个正整数, nZ为正整数加群Z的一个子群，证明nZ与Z同构. 我们容易证明 为Z到nZ的同构映射,故此nZ与Z同构.11. 证明:在S4中，子集合B=e,（1 2）（3 4）,（1 3）（2 4）,（1 4）（2 3）是子群，证明B与U4不同构.可记a=（1 2）（3 4）, b=（1 3）（2 4）, c=（1 4）（2 3），那么置换的乘积表格如下：
